1. 如图，$\odot O$的半径为4，$BC$是$\odot O$的直径，$AC$是$\odot O$的切线，且$AC = 6$，那么$AB$的长为.

1.10

【解析】
因为AC是$\odot O$的切线，BC是$\odot O$的直径，所以$∠ ACB=90°$（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径）。
已知$\odot O$的半径为4，所以$BC=2×4=8$，又$AC=6$。
在$Rt△ ACB$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
10
【知识点】
切线的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查切线的性质与勾股定理的应用，解题关键是利用切线性质构造直角三角形，再通过勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AD$是$\odot O$的切线，切点为$A$，$AC$是$\odot O$的直径，$CD$交$\odot O$于点$B$，连结$OB$，若$\overset{\frown}{AB}$的度数为$68°$，则$∠ D$的度数为.

2.56°

【解析】
1. 由$\overset{\frown}{AB}$的度数为$68°$，得圆心角$∠AOB=68°$。
2. 因为$OB=OC$（同圆半径相等），所以$∠OCB=∠OBC$。
3. 又因为$∠AOB$是$△ OBC$的外角，所以$∠AOB=∠OCB+∠OBC=2∠OCB$，则$∠OCB=\frac{1}{2}∠AOB=34°$。
4. 因为$AD$是$\odot O$的切线，$AC$是直径，所以$AD⊥AC$，即$∠DAC=90°$。
5. 在$Rt△ DAC$中，$∠D+∠ACD=90°$，将$∠ACD=∠OCB=34°$代入，得$∠D=90°-34°=56°$。
【答案】
$56°$
【知识点】
切线的性质，等腰三角形性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题考查圆的相关性质与直角三角形的性质综合应用，需熟练掌握切线垂直于过切点的半径、圆心角与弧的关系及等腰三角形的性质，通过外角性质推导角度是解题关键。
【难度系数】
0.6

3. 如图，直线$AB$与$\odot O$相切于点$A$，$AC$，$CD$是$\odot O$的两条弦，且$CD // AB$.若$\odot O$的半径为5，$CD = 8$，则弦$AC$的长为()


A.8
B.10
C.$4\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{5}$

3.D

【解析】
连接AO并延长交CD于点E，
∵直线AB与$\odot O$相切于点A，
∴$OA ⊥ AB$，
∵$CD // AB$，
∴$OA ⊥ CD$，
根据垂径定理，得$CE=DE=\frac{1}{2}CD=4$，
在$Rt△ OCE$中，$OC=5$，$CE=4$，
由勾股定理得$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$AE=OA+OE=5+3=8$，
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查切线性质、垂径定理与勾股定理的综合运用，解题关键是通过构造辅助线，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6

4. 如图，菱形$OABC$的顶点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，过点$B$作$\odot O$的切线交$OA$的延长线于点$D$.若$\odot O$的半径为1，则$BD$的长为()


A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

4.D

【解析】
连接OB，
∵BD是$\odot O$的切线，
∴$OB⊥ BD$，即$∠ OBD=90°$，
∵四边形OABC是菱形，
∴$OA=AB$，
又
∵$OA=OB=1$（$\odot O$的半径），
∴$OA=OB=AB$，
∴$△ OAB$是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$，
在$Rt△ OBD$中，$OB=1$，$∠ DOB=60°$，
∴$BD=OB·\tan60°=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、切线的性质、解直角三角形
【点评】
本题综合考查菱形的性质、圆的切线性质及解直角三角形的知识，需结合图形性质推导角度，再利用三角函数求解线段长度，考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6