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1. (2024·天津)如图所示的是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
答案
B
解析
【分析】
解题首先要明确主视图的定义：主视图是从几何体的正前方观察得到的平面图形。解题时先确定从正面看该组合体的列数，再逐一确定每一列小正方形的个数，最后和选项比对即可得到答案。观察该立体图形可知，从正面看横向共3列，从左到右每列小正方形的数量分别为1个、1个、2个，对应匹配选项即可。
【解析】
主视图是从几何体正面观察得到的图形，观察题干中的立体图形：
从正面看共有3列，左数第一列只有1个小正方形，左数第二列只有1个小正方形，左数第三列有上下2个小正方形，符合该特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
主视图的识别；简单组合体的三视图
【点评】
本题考查三视图中主视图的判断，解题关键是明确主视图的观察方向，准确梳理每列小正方形的数量，是视图类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确主视图的定义：主视图是从几何体的正前方观察得到的平面图形。解题时先确定从正面看该组合体的列数，再逐一确定每一列小正方形的个数，最后和选项比对即可得到答案。观察该立体图形可知，从正面看横向共3列，从左到右每列小正方形的数量分别为1个、1个、2个，对应匹配选项即可。
【解析】
主视图是从几何体正面观察得到的图形，观察题干中的立体图形：
从正面看共有3列，左数第一列只有1个小正方形，左数第二列只有1个小正方形，左数第三列有上下2个小正方形，符合该特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
主视图的识别；简单组合体的三视图
【点评】
本题考查三视图中主视图的判断，解题关键是明确主视图的观察方向，准确梳理每列小正方形的数量，是视图类的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. (2024·北京)如图所示,直线 AB 和 CD 相交于点 O,OE ⊥ OC. 若∠AOC = $58^{\circ}$,则∠EOB 的大小为( )
A.$29^{\circ}$
B.$32^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$58^{\circ}$
A.$29^{\circ}$
B.$32^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$58^{\circ}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①OE⊥OC，根据垂直的定义可得∠COE=90°；②AB是直线，因此AB上方的三个角∠AOC、∠COE、∠EOB的和为平角180°。已知∠AOC的度数，将已知角度代入三个角的和的关系中，即可求出∠EOB的度数。也可以先利用邻补角求出∠COB的度数，再减去∠COE的90°得到结果。
【解析】
解：
∵OE⊥OC，
∴∠COE=90°（垂直的定义），
∵直线AB为平角，即∠AOB=180°，
∴∠AOC + ∠COE + ∠EOB = 180°，
已知∠AOC=58°，代入得：
∠EOB=180° - ∠AOC - ∠COE=180°-58°-90°=32°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义、平角的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，核心是梳理清楚图形中各角的位置关系，结合垂直、平角的基础性质即可求解，是对几何入门基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①OE⊥OC，根据垂直的定义可得∠COE=90°；②AB是直线，因此AB上方的三个角∠AOC、∠COE、∠EOB的和为平角180°。已知∠AOC的度数，将已知角度代入三个角的和的关系中，即可求出∠EOB的度数。也可以先利用邻补角求出∠COB的度数，再减去∠COE的90°得到结果。
【解析】
解：
∵OE⊥OC，
∴∠COE=90°（垂直的定义），
∵直线AB为平角，即∠AOB=180°，
∴∠AOC + ∠COE + ∠EOB = 180°，
已知∠AOC=58°，代入得：
∠EOB=180° - ∠AOC - ∠COE=180°-58°-90°=32°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义、平角的性质、角度计算
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，核心是梳理清楚图形中各角的位置关系，结合垂直、平角的基础性质即可求解，是对几何入门基础概念的考察。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示,C,D 是线段 AB 上的点,若 AB = 16,AC : CB = 1 : 3,点 D 为 BC 的中点,则线段 AD 的长度是( )
A.12
B.10
C.9
D.8
A.12
B.10
C.9
D.8
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用已知的线段AB总长和AC与CB的比例关系，求出AC、BC的长度；再根据点D是BC中点的性质，计算出CD的长度；最后根据线段和的关系AD=AC+CD，即可求出AD的长度。
【解析】
解：已知$AB=16$，$AC:CB=1:3$，
线段AB总共被分为$1+3=4$份，每份长度为$16÷4=4$，
因此$AC=1×4=4$，$CB=3×4=12$。
又因为点D为BC的中点，根据线段中点的定义，
$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
所以$AD=AC+CD=4+6=10$。
【答案】
B
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，比例运算
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，结合比例性质和中点定义逐步推导即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
解题时先利用已知的线段AB总长和AC与CB的比例关系，求出AC、BC的长度；再根据点D是BC中点的性质，计算出CD的长度；最后根据线段和的关系AD=AC+CD，即可求出AD的长度。
【解析】
解：已知$AB=16$，$AC:CB=1:3$，
线段AB总共被分为$1+3=4$份，每份长度为$16÷4=4$，
因此$AC=1×4=4$，$CB=3×4=12$。
又因为点D为BC的中点，根据线段中点的定义，
$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
所以$AD=AC+CD=4+6=10$。
【答案】
B
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，比例运算
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，结合比例性质和中点定义逐步推导即可，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
4. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观. 如图所示,西柏坡位于淇淇家南偏西 $70^{\circ}$的方向,则淇淇家位于西柏坡的( )
A.南偏西 $70^{\circ}$方向
B.南偏东 $20^{\circ}$方向
C.北偏西 $20^{\circ}$方向
D.北偏东 $70^{\circ}$方向
A.南偏西 $70^{\circ}$方向
B.南偏东 $20^{\circ}$方向
C.北偏西 $20^{\circ}$方向
D.北偏东 $70^{\circ}$方向
答案
D
解析
【分析】
要解决这道相对方向的问题，首先明确方向角的观测点是可以互换的，两个地点的相对位置具有“方向相反、角度相等”的规律。首先先确定已知条件的观测点：题目给出“西柏坡位于淇淇家南偏西70°”，此时观测点是淇淇家；现在要找淇淇家相对于西柏坡的方向，观测点变为西柏坡，只需要把原来的方向换成相反方向，角度保持不变即可推导结果。
【解析】
根据相对位置的性质：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向相反，角度大小相等。
已知西柏坡位于淇淇家南偏西70°方向，将观测点从淇淇家转换为西柏坡时，原方向“南”的反方向是“北”，“西”的反方向是“东”，角度仍为70°，因此淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向。
【答案】
D
【知识点】
方向角；位置的相对性
【点评】
本题是方向角在实际生活中的应用题目，解题核心是掌握两个地点相对位置的变化规律，熟练运用该规律可以快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道相对方向的问题，首先明确方向角的观测点是可以互换的，两个地点的相对位置具有“方向相反、角度相等”的规律。首先先确定已知条件的观测点：题目给出“西柏坡位于淇淇家南偏西70°”，此时观测点是淇淇家；现在要找淇淇家相对于西柏坡的方向，观测点变为西柏坡，只需要把原来的方向换成相反方向，角度保持不变即可推导结果。
【解析】
根据相对位置的性质：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向相反，角度大小相等。
已知西柏坡位于淇淇家南偏西70°方向，将观测点从淇淇家转换为西柏坡时，原方向“南”的反方向是“北”，“西”的反方向是“东”，角度仍为70°，因此淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向。
【答案】
D
【知识点】
方向角；位置的相对性
【点评】
本题是方向角在实际生活中的应用题目，解题核心是掌握两个地点相对位置的变化规律，熟练运用该规律可以快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
5. 如图所示,∠ABC = ∠DCE = $90^{\circ}$,∠A = $45^{\circ}$,∠EDC = $60^{\circ}$. 若 DC 平分∠BDE,则∠BCE 的度数为______.
答案
120°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据DC平分∠BDE，结合已知的∠EDC=60°，可先得到∠BDC的度数；再在Rt△BCD中利用三角形内角和为180°，算出∠BCD的度数；最后∠BCE是∠BCD与∠DCE的和，代入对应角度即可求出结果。
【解析】
解：
∵ DC平分∠BDE，∠EDC=60°，
∴ ∠BDC=∠EDC=60°（角平分线的定义）。
在△BCD中，∠ABC=90°，即∠CBD=90°，
根据三角形内角和为180°，得：
∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=180°-90°-60°=30°。
又
∵ ∠DCE=90°，
∴ ∠BCE=∠BCD + ∠DCE=30°+90°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是合理利用角平分线的性质和三角形内角和定理，逐步推导所求角的组成部分的度数，再通过角的和差得到最终结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据DC平分∠BDE，结合已知的∠EDC=60°，可先得到∠BDC的度数；再在Rt△BCD中利用三角形内角和为180°，算出∠BCD的度数；最后∠BCE是∠BCD与∠DCE的和，代入对应角度即可求出结果。
【解析】
解：
∵ DC平分∠BDE，∠EDC=60°，
∴ ∠BDC=∠EDC=60°（角平分线的定义）。
在△BCD中，∠ABC=90°，即∠CBD=90°，
根据三角形内角和为180°，得：
∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=180°-90°-60°=30°。
又
∵ ∠DCE=90°，
∴ ∠BCE=∠BCD + ∠DCE=30°+90°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的关键是合理利用角平分线的性质和三角形内角和定理，逐步推导所求角的组成部分的度数，再通过角的和差得到最终结果。
【难度系数】
0.8
6. (2024·北京)如图所示,将一副三角板(三角板 AMB 和三角板 CND)叠放在一起,使两个直角顶点 M,N 重合. 若∠AMD = $118^{\circ}48'$,则∠BMC = ______.
答案
61°12′
解析
【分析】
首先明确直角三角板的直角度数为90°，即∠AMB=∠CMD=90°，观察角的组成可得：∠AMD与∠BMC的和等于两个直角的和，也就是180°。因此要求∠BMC，只需用180°减去已知的∠AMD即可，计算时注意度分秒是60进制，借位时1°要换算成60′再计算。
【解析】
解：由三角板的性质可知，∠AMB=∠CMD=90°。
∵ ∠AMD = ∠AMB + ∠BMD，∠CMD = ∠BMC + ∠BMD
∴ ∠AMD + ∠BMC = ∠AMB + ∠BMD + ∠BMC = ∠AMB + ∠CMD = 90°+90°=180°
已知∠AMD=118°48'，则：
∠BMC = 180° - 118°48'
将180°转化为179°60'，计算得：
179°60' - 118°48' = 61°12'
【答案】
61°12′
【知识点】
角的和差计算，度分秒的运算，直角的定义
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题核心是通过角的组成推导出已知角和待求角的数量关系，熟练掌握度分秒的60进制换算规则是正确计算的关键。
【难度系数】
0.8
首先明确直角三角板的直角度数为90°，即∠AMB=∠CMD=90°，观察角的组成可得：∠AMD与∠BMC的和等于两个直角的和，也就是180°。因此要求∠BMC，只需用180°减去已知的∠AMD即可，计算时注意度分秒是60进制，借位时1°要换算成60′再计算。
【解析】
解：由三角板的性质可知，∠AMB=∠CMD=90°。
∵ ∠AMD = ∠AMB + ∠BMD，∠CMD = ∠BMC + ∠BMD
∴ ∠AMD + ∠BMC = ∠AMB + ∠BMD + ∠BMC = ∠AMB + ∠CMD = 90°+90°=180°
已知∠AMD=118°48'，则：
∠BMC = 180° - 118°48'
将180°转化为179°60'，计算得：
179°60' - 118°48' = 61°12'
【答案】
61°12′
【知识点】
角的和差计算，度分秒的运算，直角的定义
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题核心是通过角的组成推导出已知角和待求角的数量关系，熟练掌握度分秒的60进制换算规则是正确计算的关键。
【难度系数】
0.8
7. 将一根绳子对折后用线段 AB 表示,现从 P 处将绳子剪断,剪断后的各段绳子中最长的一段为 84 cm. 若 AP = $\frac{2}{5}$AB,则这条绳子的原长为______cm.
答案
140或210
解析
【分析】解决本题首先要明确对折后线段AB的长度是绳子原长的一半，原长=2AB。根据AP=$\frac{2}{5}$AB可求出PB=$\frac{3}{5}$AB，由于题目未说明对折的折点位置，需分两种情况讨论：①折点在A端时，剪断后AP对应双层绳子，展开长度为2AP；②折点在B端时，剪断后PB对应双层绳子，展开长度为2PB。分别将两种情况的最长段长度与84cm建立等量关系，求解后即可得到绳子原长。
【解析】设对折后线段AB的长度为x cm，则绳子的原长为2x cm。
由AP=$\frac{2}{5}$AB，得AP=$\frac{2}{5}x$ cm，因此PB=AB-AP=$x-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}x$ cm。
分两种情况讨论：
1. 当对折的折点在A端时：
剪断后AP段为双层绳子，展开后的长度为$2× AP=2×\frac{2}{5}x=\frac{4}{5}x$ cm，剩余两段绳子的长度均为$\frac{3}{5}x$ cm。
此时最长段长度为$\frac{4}{5}x$ cm，根据题意列方程：
$\frac{4}{5}x=84$
解得$x=105$
绳子原长为$2x=2×105=210$ cm。
2. 当对折的折点在B端时：
剪断后PB段为双层绳子，展开后的长度为$2× PB=2×\frac{3}{5}x=\frac{6}{5}x$ cm，剩余两段绳子的长度均为$\frac{2}{5}x$ cm。
此时最长段长度为$\frac{6}{5}x$ cm，根据题意列方程：
$\frac{6}{5}x=84$
解得$x=70$
绳子原长为$2x=2×70=140$ cm。
综上，这条绳子的原长为140 cm或210 cm。
【答案】140或210
【知识点】线段和差计算，分类讨论思想，折叠问题
【点评】本题的易错点是遗漏对折折点的两种可能，导致只算出一个答案，解题时要结合生活中的对折剪断场景，全面考虑所有可能性，避免漏解。
【难度系数】0.5
【解析】设对折后线段AB的长度为x cm，则绳子的原长为2x cm。
由AP=$\frac{2}{5}$AB，得AP=$\frac{2}{5}x$ cm，因此PB=AB-AP=$x-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}x$ cm。
分两种情况讨论：
1. 当对折的折点在A端时：
剪断后AP段为双层绳子，展开后的长度为$2× AP=2×\frac{2}{5}x=\frac{4}{5}x$ cm，剩余两段绳子的长度均为$\frac{3}{5}x$ cm。
此时最长段长度为$\frac{4}{5}x$ cm，根据题意列方程：
$\frac{4}{5}x=84$
解得$x=105$
绳子原长为$2x=2×105=210$ cm。
2. 当对折的折点在B端时：
剪断后PB段为双层绳子，展开后的长度为$2× PB=2×\frac{3}{5}x=\frac{6}{5}x$ cm，剩余两段绳子的长度均为$\frac{2}{5}x$ cm。
此时最长段长度为$\frac{6}{5}x$ cm，根据题意列方程：
$\frac{6}{5}x=84$
解得$x=70$
绳子原长为$2x=2×70=140$ cm。
综上，这条绳子的原长为140 cm或210 cm。
【答案】140或210
【知识点】线段和差计算，分类讨论思想，折叠问题
【点评】本题的易错点是遗漏对折折点的两种可能，导致只算出一个答案，解题时要结合生活中的对折剪断场景，全面考虑所有可能性，避免漏解。
【难度系数】0.5
8. 龙泉冬天某天 18 时 07 分日落,此时钟表上时针与分针之间的夹角为______度.
答案
141.5
解析
【分析】
要解决钟面夹角问题，首先要明确钟表表盘的基本度数规则：整个表盘为周角360°，被平均分成12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。解题时先算整点时刻两针的夹角，再计算经过若干分钟后分针、时针各自转动的角度，最后根据两针的位置关系调整得到最终夹角即可。本题先算18时整的夹角，再计算过7分钟后两针的位置变化就能求解。
【解析】
1. 明确钟表转动的基本规律
整个表盘是360°，共12个大格，每个大格角度为$360°÷12=30°$；
分针60分钟转一圈，每分钟转动$360°÷60=6°$；
时针12小时转一圈，每分钟转动$30°÷60=0.5°$。
2. 计算18时整时针与分针的夹角
18时整，时针指向6，分针指向12，两针间隔6个大格，夹角为$6×30°=180°$。
3. 计算7分钟后两针的角度变化
7分钟内，分针向时针方向转动了$7×6°=42°$；
7分钟内，时针向远离分针的方向转动了$7×0.5°=3.5°$。
4. 计算最终夹角
此时两针的夹角 = 整点夹角 - 分针转动的角度 + 时针转动的角度，即：
$180° - 42° + 3.5° = 141.5°$
【答案】
141.5
【知识点】
钟面角计算，角的和差运算，度的计算
【点评】
本题是钟面角的常考题型，解题的关键是熟记时针和分针的转动速度，易错点是容易忽略时针会随分钟的流逝发生转动，只要理清两针的位置变化和角度增减关系就能正确求解。
【难度系数】
0.6
要解决钟面夹角问题，首先要明确钟表表盘的基本度数规则：整个表盘为周角360°，被平均分成12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。解题时先算整点时刻两针的夹角，再计算经过若干分钟后分针、时针各自转动的角度，最后根据两针的位置关系调整得到最终夹角即可。本题先算18时整的夹角，再计算过7分钟后两针的位置变化就能求解。
【解析】
1. 明确钟表转动的基本规律
整个表盘是360°，共12个大格，每个大格角度为$360°÷12=30°$；
分针60分钟转一圈，每分钟转动$360°÷60=6°$；
时针12小时转一圈，每分钟转动$30°÷60=0.5°$。
2. 计算18时整时针与分针的夹角
18时整，时针指向6，分针指向12，两针间隔6个大格，夹角为$6×30°=180°$。
3. 计算7分钟后两针的角度变化
7分钟内，分针向时针方向转动了$7×6°=42°$；
7分钟内，时针向远离分针的方向转动了$7×0.5°=3.5°$。
4. 计算最终夹角
此时两针的夹角 = 整点夹角 - 分针转动的角度 + 时针转动的角度，即：
$180° - 42° + 3.5° = 141.5°$
【答案】
141.5
【知识点】
钟面角计算，角的和差运算，度的计算
【点评】
本题是钟面角的常考题型，解题的关键是熟记时针和分针的转动速度，易错点是容易忽略时针会随分钟的流逝发生转动，只要理清两针的位置变化和角度增减关系就能正确求解。
【难度系数】
0.6
9. (18 分)如图所示,某银行大堂的旋转门内部由三块宽为 2 m、高为 3 m 的玻璃隔板组成.
(1) 将此旋转门旋转一周,能形成的几何体是______,这能说明的事实是______(选择正确的一项填入)；
A. 点动成线
B. 线动成面
C. 面动成体
(2) 求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积(边框及衔接处忽略不计,结果保留 π).
(1) 将此旋转门旋转一周,能形成的几何体是______,这能说明的事实是______(选择正确的一项填入)；
A. 点动成线
B. 线动成面
C. 面动成体
(2) 求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积(边框及衔接处忽略不计,结果保留 π).
答案
9.解:
(1)圆柱 C
(2)该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
所以体积为π×2²×3 = 12π(m³).
答:形成的几何体的体积是12π m³.
(1)圆柱 C
(2)该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
所以体积为π×2²×3 = 12π(m³).
答:形成的几何体的体积是12π m³.
解析
【分析】
(1) 首先明确旋转的对象：玻璃隔板属于长方形的平面，平面绕固定轴旋转一周会得到立体图形。长方形绕一侧的边旋转会形成圆柱，该过程是平面运动得到立体，对应“面动成体”的原理。
(2) 求旋转后几何体的体积，首先确定几何体为圆柱，回忆圆柱体积公式为“体积=底面积×高”，其中底面积为圆的面积$π r^2$。玻璃的宽2m就是圆柱的底面半径，玻璃的高3m就是圆柱的高，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 三块玻璃隔板是长方形的面，绕旋转轴旋转一周后形成的几何体是圆柱，该过程是平面运动得到立体图形，对应的事实是面动成体，因此选C。
(2) 旋转形成的几何体是圆柱，已知圆柱底面半径$r=2\mathrm{m}$，高$h=3\mathrm{m}$，根据圆柱体积公式：
$V=π r^2 h$
代入数值计算：
$V=π×2^2×3=12π(\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1) 圆柱；C
(2) $12π\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算
【点评】
本题结合生活中的旋转门场景考查几何基础概念和圆柱体积计算，解题关键是理解面动成体的原理，准确识别旋转得到的圆柱的底面半径和高，代入公式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确旋转的对象：玻璃隔板属于长方形的平面，平面绕固定轴旋转一周会得到立体图形。长方形绕一侧的边旋转会形成圆柱，该过程是平面运动得到立体，对应“面动成体”的原理。
(2) 求旋转后几何体的体积，首先确定几何体为圆柱，回忆圆柱体积公式为“体积=底面积×高”，其中底面积为圆的面积$π r^2$。玻璃的宽2m就是圆柱的底面半径，玻璃的高3m就是圆柱的高，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 三块玻璃隔板是长方形的面，绕旋转轴旋转一周后形成的几何体是圆柱，该过程是平面运动得到立体图形，对应的事实是面动成体，因此选C。
(2) 旋转形成的几何体是圆柱，已知圆柱底面半径$r=2\mathrm{m}$，高$h=3\mathrm{m}$，根据圆柱体积公式：
$V=π r^2 h$
代入数值计算：
$V=π×2^2×3=12π(\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1) 圆柱；C
(2) $12π\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算
【点评】
本题结合生活中的旋转门场景考查几何基础概念和圆柱体积计算，解题关键是理解面动成体的原理，准确识别旋转得到的圆柱的底面半径和高，代入公式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
