10. (20 分)已知点 O 是直线 AB 上一点,∠COD = $90^{\circ}$,射线 OE 是∠AOD 的平分线.
【提出问题】
(1) 如图(1)所示,若∠BOD = $110^{\circ}$,求∠COE 的度数.
请补充并完成下列解答过程：
解：因为∠AOB = $180^{\circ}$,∠BOD = $110^{\circ}$,
所以∠AOD = ______°.
因为∠COD = $90^{\circ}$,
所以∠AOC = ∠COD - ∠AOD = ______°.
因为 OE 是∠AOD 的平分线,
所以∠AOE = ______∠AOD = ______°.
所以∠COE = ∠AOC + ______ = ______°.
【类比分析】
(2) 如图(2)所示,设∠COE = α,求∠BOD 的度数(用含 α 的代数式表示).
【变式探索】
(3) 如图(3)所示,若 3∠COE - 2∠BOD = $78^{\circ}$,求∠COE 的度数.

10.解:
(1)70 20 $\frac{1}{2}$ 35 ∠AOE 55
(2)因为∠COD = 90°,∠COE = α,
　所以∠EOD = ∠COD - ∠COE = 90° - α.
　因为OE是∠AOD的平分线，
　所以∠AOD = 2∠EOD = 2(90° - α)= 180° - 2α.
　因为∠AOB = 180°,
　所以∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - (180° - 2α)= 2α.
(3)设∠DOE = x°,
　根据题意,得3(x + 90) - 2×(180 - 2x)= 78,
　解得x = 24.所以∠COE = 114°.

【分析】
本题围绕直线上的平角、直角和角平分线的性质展开角度计算：
(1) 第一小问先根据平角为180°，用180°减去已知的∠BOD得到∠AOD的度数；再结合∠COD=90°，用90°减去∠AOD得到∠AOC的度数；然后根据角平分线的性质，得到∠AOE是∠AOD的一半，最后用∠AOC加∠AOE即可算出∠COE的度数。
(2) 第二小问先从∠COD=90°和已知的∠COE=α出发，先求出∠EOD的度数；再利用角平分线的性质得到∠AOD是∠EOD的2倍，最后用平角180°减去∠AOD就能用含α的式子表示出∠BOD。
(3) 第三小问用方程思想求解，设∠DOE为x°，结合角平分线性质表示出∠AOD，再用平角性质表示出∠BOD，同时∠COE可表示为90°+x°，代入题中给出的等量关系列方程，解出x后就能算出∠COE的度数。
【解析】
(1) 因为∠AOB是平角，度数为180°，∠BOD=110°，
所以∠AOD=180°-110°=70°。
因为∠COD=90°，
所以∠AOC=∠COD-∠AOD=90°-70°=20°。
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
所以∠COE=∠AOC+∠AOE=20°+35°=55°。
(2) 因为∠COD=90°，∠COE=α，
所以∠EOD=∠COD-∠COE=90°-α。
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠AOD=2∠EOD=2(90°-α)=180°-2α。
因为∠AOB=180°，
所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=180°-(180°-2α)=2α。
(3) 设∠DOE=x°，
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2x°，则∠BOD=180°-2x°。
观察图3可知∠COE=∠COD+∠DOE=90°+x°，
代入3∠COE-2∠BOD=78°得：
$3(90+x)-2(180-2x)=78$
展开计算得$270+3x-360+4x=78$，
合并同类项得$7x=168$，
解得$x=24$，
所以∠COE=90°+24°=114°。
【答案】
(1) 70，20，$\frac{1}{2}$，35，∠AOE，55
(2) $∠ BOD=2α$
(3) $∠ COE=114°$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角度和差计算
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的角度计算到代数式表示角度，再到结合方程思想求解角度，既考查了对几何中角相关性质的理解，也锻炼了用代数方法解决几何问题的能力，是角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.7

11. (22 分)【问题探究】
(1) 如图所示,点 C 在线段 AB 上,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点. 若 AC = 9 cm,CB = 6 cm,则线段 MN 的长为______cm；
【方法迁移】
(2) 已知点 C 在线段 AB 上,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点. 若 AC = a cm,CB = b cm,则线段 MN 的长为______cm；
【学以致用】
(3) 小明同学在解决问题“某校七(1)班延时服务统计情况如下,其中参加延时服务的女生人数是未参加延时服务的女生人数的 2 倍,参加延时服务的男生人数是全班男生人数的$\frac{2}{3}$. 若参加延时服务的男、女生共有 m 人,则该班共有学生多少人(用含 m 的式子表示)?”时,突然联想到上面的几何问题,请你将这个实际问题转化为几何模型,并直接写出答案.(建立几何模型就是画出相应的线段示意图,并分别注明相应线段的实际意义)

11.解:
(1)7.5
(2)$\frac{a + b}{2}$
(3)如图所示:
　　　　　　　BC
　线段AB的长度表示参加延时服务的女生人数;线段BC的长度表示未参加延时服务的女生人数;线段CD的长度表示参加延时服务的男生人数;线段DE的长度表示未参加延时服务的男生人数.
　设BC = x,CE = y,则2x + $\frac{2}{3}$y = m,
　所以3x + y = $\frac{3}{2}$m,
　即该班共有学生$\frac{3}{2}$m人.

【分析】
(1) 已知M、N分别是AC、BC的中点，根据线段中点的定义可先求出MC和CN的长度，再利用线段和的关系MN=MC+CN计算即可。
(2) 和第一问思路一致，仅将具体长度替换为字母表示，同理推导MN的长度，用含a、b的代数式表示即可。
(3) 可将不同类别的人数对应为不同线段的长度，把未参加延时的女生人数、参加延时的女生人数、男生总人数分别对应为线段长度，根据题目给出的数量关系列等式，再通过代数式变形求出全班总人数。
【解析】
(1) 解：
∵点M是AC的中点，$AC=9\mathrm{cm}$，
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5\mathrm{cm}$，
∵点N是BC的中点，$CB=6\mathrm{cm}$，
∴$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，
∴$MN=MC+CN=4.5+3=7.5\mathrm{cm}$。
(2) 解：
∵点M是AC的中点，$AC=a\mathrm{cm}$，
∴$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}\mathrm{cm}$，
∵点N是BC的中点，$CB=b\mathrm{cm}$，
∴$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{b}{2}\mathrm{cm}$，
∴$MN=MC+CN=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\frac{a+b}{2}\mathrm{cm}$。
(3) 解：几何模型如下：
画线段AE，点B、C、D依次在AE上：
线段AB长度表示参加延时服务的女生人数；
线段BC长度表示未参加延时服务的女生人数；
线段CE长度表示全班男生总人数（其中CD表示参加延时服务的男生人数，DE表示未参加延时服务的男生人数）。
设未参加延时服务的女生人数$BC=x$，全班男生总人数$CE=y$，
由题意得：参加延时服务的女生人数$AB=2x$，参加延时服务的男生人数$CD=\frac{2}{3}y$，
已知参加延时服务的男女生共有$m$人，即$AB+CD=2x+\frac{2}{3}y=m$，
等式两边同时乘以$\frac{3}{2}$得：$3x+y=\frac{3}{2}m$，
其中$3x$是全班女生总人数，$y$是全班男生总人数，故全班总人数为$\frac{3}{2}m$人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7.5}$
(2) $\boldsymbol{\frac{a+b}{2}}$
(3) 几何模型见解析，该班共有学生$\boldsymbol{\frac{3}{2}m}$人
【知识点】
线段中点的定义；线段和差计算；代数式应用
【点评】
本题由浅入深，先考察线段中点性质和线段长度计算的基础掌握情况，再引导学生将几何知识迁移到实际问题中，锻炼了逻辑推导能力和知识迁移应用的能力，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7