21. (本小题满分 10 分)老师布置了这样一道题:如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 在对角线 AC 上,连接 DE,DF,BE,BF,且$DE=DF$.求证:四边形 BFDE 是菱形.小明的想法如下:
第一步:由$DE=DF$,$DA=DC$,$∠ DAE=∠ DCF=45^{\circ}$,可证明$△ DEA≌△ DFC$,得$AE=CF$.
第二步:连接 BD(如图②),交 AC 于点 O,可证得$OB=OD$,$OE=OF$,进而可得四边形 BFDE 是平行四边形.
第三步:由$DE=DF$,四边形 BFDE 是平行四边形,可得四边形 BFDE 是菱形.
请指出小明想法中的错误之处,并按小明的思路,写出正确的证明过程.

小明想法中的错误之处：第一步中，仅由$DE = DF$，$DA = DC$，$∠ DAE=∠ DCF = 45^{\circ}$不能证明$△ DEA≌△ DFC$，因为这三个条件构成“SSA”，无法判定三角形全等。
正确证明过程：
1. 在正方形$ABCD$中，$AC$为对角线，$\therefore AD = CD$，$∠ DAE=∠ DCF = 45^{\circ}$。
$\because DE = DF$，$\therefore ∠ DEF=∠ DFE$。
$\because ∠ DEA=180^{\circ}-∠ DEF$，$∠ DFC=180^{\circ}-∠ DFE$，$\therefore ∠ DEA=∠ DFC$。
在$△ DEA$和$△ DFC$中，$\begin{cases}∠ DAE=∠ DCF\\∠ DEA=∠ DFC\\DE = DF\end{cases}$，$\therefore △ DEA≌△ DFC(AAS)$，$\therefore AE = CF$。
2. 连接$BD$交$AC$于点$O$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AC$与$BD$互相平分，$\therefore OA = OC$，$OB = OD$。
$\because AE = CF$，$\therefore OA - AE=OC - CF$，即$OE = OF$。
$\therefore$四边形$BFDE$的对角线$BD$与$EF$互相平分，$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形。
3. $\because DE = DF$，且四边形$BFDE$是平行四边形，$\therefore$四边形$BFDE$是菱形。