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三、解答题
13. 已知二次函数 $ y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 } ( m ≠ 0 ) $.
(1) 试说明这个二次函数的图像与 $ x $轴有两个公共点；
(2) 若这个二次函数的图像经过点$ ( m + 1, m ) $，试确定该二次函数的表达式.
13. 已知二次函数 $ y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 } ( m ≠ 0 ) $.
(1) 试说明这个二次函数的图像与 $ x $轴有两个公共点；
(2) 若这个二次函数的图像经过点$ ( m + 1, m ) $，试确定该二次函数的表达式.
答案
解：$(1)\Delta=(-4m)^2-4×2\ \mathrm {m^2}=8\ \mathrm {m^2}$
∵m≠0
∴$8\ \mathrm {m^2}＞0$
∴这个二次函数的图像与x轴有两个公共点
(2)将(m+1，m)代入函数得$2(m+1)^2-4m(m+1)+\mathrm {m^2}=m$
解得m=-2或m=1
∴二次函数的表达式为$y=2x^2+8x+4$或$y=2x^2-4x+1$
∵m≠0
∴$8\ \mathrm {m^2}＞0$
∴这个二次函数的图像与x轴有两个公共点
(2)将(m+1，m)代入函数得$2(m+1)^2-4m(m+1)+\mathrm {m^2}=m$
解得m=-2或m=1
∴二次函数的表达式为$y=2x^2+8x+4$或$y=2x^2-4x+1$
解析
【解析】
(1) 对于二次函数$y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 }$，计算其判别式：$\Delta=(-4m)^2-4×2×m^2=8m^2$。
因为$m≠0$，所以$8m^2＞0$，即$\Delta＞0$，根据二次函数与x轴交点的判定规则，当$\Delta＞0$时，二次函数的图像与x轴有两个公共点。
(2) 将点$(m+1, m)$代入二次函数$y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 }$中，得到方程：$2(m+1)^2-4m(m+1)+m^2=m$。
展开并整理方程后解得$m=-2$或$m=1$。
将$m=-2$代入原函数，得表达式$y=2x^2+8x+4$；将$m=1$代入原函数，得表达式$y=2x^2-4x+1$。
【答案】
(1) 该二次函数的图像与x轴有两个公共点；
(2) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=2x^2+8x+4}$或$\boldsymbol{y=2x^2-4x+1}$。
【知识点】
二次函数与x轴交点判别式、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数的核心性质与待定系数法的应用，第一问利用判别式判断交点个数需紧扣$m≠0$的条件；第二问代入点坐标求解参数时，要注意方程整理与求解的准确性，最终得到两个符合要求的函数表达式。
(1) 对于二次函数$y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 }$，计算其判别式：$\Delta=(-4m)^2-4×2×m^2=8m^2$。
因为$m≠0$，所以$8m^2＞0$，即$\Delta＞0$，根据二次函数与x轴交点的判定规则，当$\Delta＞0$时，二次函数的图像与x轴有两个公共点。
(2) 将点$(m+1, m)$代入二次函数$y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 }$中，得到方程：$2(m+1)^2-4m(m+1)+m^2=m$。
展开并整理方程后解得$m=-2$或$m=1$。
将$m=-2$代入原函数，得表达式$y=2x^2+8x+4$；将$m=1$代入原函数，得表达式$y=2x^2-4x+1$。
【答案】
(1) 该二次函数的图像与x轴有两个公共点；
(2) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=2x^2+8x+4}$或$\boldsymbol{y=2x^2-4x+1}$。
【知识点】
二次函数与x轴交点判别式、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数的核心性质与待定系数法的应用，第一问利用判别式判断交点个数需紧扣$m≠0$的条件；第二问代入点坐标求解参数时，要注意方程整理与求解的准确性，最终得到两个符合要求的函数表达式。
14. 某公司从年初以来的累计利润 $ s $(万元)与时间 $ t $(月)之间(即前 $ t $个月的利润总和 $ s $与 $ t $之间的关系)满足二次函数关系.试根据图像提供的信息解答下列问题.
(1) 求累计利润 $ s $(万元)与时间 $ t $(月)之间的函数表达式.
(2) 截至几月末公司累计利润可达 $ 30 $万元？
(3) 第 $ 8 $个月公司所获利润是多少万元？
(1) 求累计利润 $ s $(万元)与时间 $ t $(月)之间的函数表达式.
(2) 截至几月末公司累计利润可达 $ 30 $万元？
(3) 第 $ 8 $个月公司所获利润是多少万元？
答案
解：(1)设s=at(t-4)
将(2，-2)代入得$a=\frac 12$
∴函数表达式为$s=\frac 12t(t-4)$，即$s=\frac 12t^2-2t$
(2)由$30=\frac 12t^2-2t$
解得$t_{1}=10$，$t_{2}=-6($舍去)
∴截至10月末公司累计利润可达30万元
(3)当t=7时，s=10.5；当t=8时，s=16
16-10.5=5.5(万元)
∴第8个月公司所获利润是5.5万元
将(2，-2)代入得$a=\frac 12$
∴函数表达式为$s=\frac 12t(t-4)$，即$s=\frac 12t^2-2t$
(2)由$30=\frac 12t^2-2t$
解得$t_{1}=10$，$t_{2}=-6($舍去)
∴截至10月末公司累计利润可达30万元
(3)当t=7时，s=10.5；当t=8时，s=16
16-10.5=5.5(万元)
∴第8个月公司所获利润是5.5万元
解析
【解析】
(1) 由图像可知二次函数过原点$(0,0)$和$(4,0)$，故设累计利润$s$与时间$t$的函数表达式为$s=at(t-4)$。
将点$(2,-2)$代入表达式得：$-2=a×2×(2-4)$，解得$a=\frac{1}{2}$。
因此函数表达式为$s=\frac{1}{2}t(t-4)$，整理得$s=\frac{1}{2}t^2-2t$。
(2) 令$s=30$，代入函数表达式得$30=\frac{1}{2}t^2-2t$，
整理为一元二次方程：$t^2-4t-60=0$，
解得$t_1=10$，$t_2=-6$（时间不能为负，舍去），
故截至10月末公司累计利润可达30万元。
(3) 当$t=7$时，$s=\frac{1}{2}×7^2-2×7=10.5$；
当$t=8$时，$s=\frac{1}{2}×8^2-2×8=16$；
第8个月的利润为$16-10.5=5.5$（万元），
即第8个月公司所获利润是5.5万元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{s=\frac{1}{2}t^2-2t}$；
(2) $\boldsymbol{10}$月末；
(3) $\boldsymbol{5.5}$万元。
【知识点】
二次函数实际应用、解一元二次方程、函数值计算
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，需结合图像特征合理设出函数表达式，利用方程思想解决实际问题，关键是理解累计利润的含义，区分累计利润与单月利润的计算方法。
(1) 由图像可知二次函数过原点$(0,0)$和$(4,0)$，故设累计利润$s$与时间$t$的函数表达式为$s=at(t-4)$。
将点$(2,-2)$代入表达式得：$-2=a×2×(2-4)$，解得$a=\frac{1}{2}$。
因此函数表达式为$s=\frac{1}{2}t(t-4)$，整理得$s=\frac{1}{2}t^2-2t$。
(2) 令$s=30$，代入函数表达式得$30=\frac{1}{2}t^2-2t$，
整理为一元二次方程：$t^2-4t-60=0$，
解得$t_1=10$，$t_2=-6$（时间不能为负，舍去），
故截至10月末公司累计利润可达30万元。
(3) 当$t=7$时，$s=\frac{1}{2}×7^2-2×7=10.5$；
当$t=8$时，$s=\frac{1}{2}×8^2-2×8=16$；
第8个月的利润为$16-10.5=5.5$（万元），
即第8个月公司所获利润是5.5万元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{s=\frac{1}{2}t^2-2t}$；
(2) $\boldsymbol{10}$月末；
(3) $\boldsymbol{5.5}$万元。
【知识点】
二次函数实际应用、解一元二次方程、函数值计算
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，需结合图像特征合理设出函数表达式，利用方程思想解决实际问题，关键是理解累计利润的含义，区分累计利润与单月利润的计算方法。
