例 1 如图是一块长为 $ a $、宽为 $ b(a ＞ b) $ 的长方形纸片,在长方形纸片两端分别剪去两个半圆,则阴影部分的面积是( )。


A.$ a^{2}b^{2} $
B.$ ab - \pi a^{2} $
C.$ ab - \frac{\pi}{4}b^{2} $
D.$ ab - \frac{\pi}{4}a^{2} $
[解答] 阴影部分的面积 $ = $ 长方形的面积 $ - 2 × $ 半圆的面积 $ = ab - \pi(\frac{b}{2})^{2} = ab - \frac{\pi}{4}b^{2} $。
[答案] C

C

阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个半圆的面积。
长方形的面积为：$ab$。
两个半圆合起来为一个整圆，直径为$b$，所以半径为$\frac{b}{2}$。
整圆的面积为：
$\pi × (\frac{b}{2})^2 = \frac{\pi b^2}{4} $。
阴影部分的面积为：
$ ab - \frac{\pi b^2}{4} $。

例 2 如图,用黑、白两种颜色的菱形纸片,按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图案。求第 2024 个图案中白色纸片的个数。

[解答] 将已知三个图案中白色纸片数拆分,得出规律：每增加一个黑色纸片时,相应增加 3 个白色纸片,据此可得第 $ n $ 个图案中白色纸片数。
因为第 1 个图案中白色纸片有 $ 4 = 1 + 1 × 3 $ (张)；
第 2 个图案中白色纸片有 $ 7 = 1 + 2 × 3 $ (张)；
第 3 个图案中白色纸片有 $ 10 = 1 + 3 × 3 $ (张)；
...
所以第 $ n $ 个图案中白色纸片有 $ 1 + n × 3 = 3n + 1 $ (张)。
当 $ n = 2024 $ 时, $ 3n + 1 = 6073 $。即第 2024 个图案中白色纸片的个数为 6073。

由题意，得
第 1 个图案中白色纸片数为：
$4 = 1 + 1 × 3 = 3 × 1 + 1$，
第 2 个图案中白色纸片数为：
$7 = 1 + 2 × 3 = 3 × 2 + 1$，
第 3 个图案中白色纸片数为：
$10 = 1 + 3 × 3 = 3 × 3 + 1$，
$\ldots$
依此类推，第$n$个图案中白色纸片数为：
$3n + 1$，
当$n = 2024$时，
$3n + 1 = 3 × 2024 + 1 = 6073$。
所以第 2024 个图案中白色纸片的个数为 6073。

例 3 某企业今年 1 月份产值为 $ x $ 万元,2 月份比 1 月份减少了 10%,3 月份比 2 月份增加了 15%,则 3 月份的产值是( )。

A.$ (1 - 10\%)(1 + 15\%)x $ 万元
B.$ (1 - 10\% + 15\%)x $ 万元
C.$ (x - 10\%)(x + 15\%) $ 万元
D.$ (1 + 10\% - 15\%)x $ 万元
[解答] 为了分析问题中的数量关系,对原题中的文字逐句“翻译”：
因为 2 月份比 1 月份减少了 10%,1 月份产值为 $ x $ 万元,所以,2 月份产值 $ = (1 - 10\%) × 1 $ 月份产值 $ = (1 - 10\%)x $。
因为 3 月份比 2 月份增加了 15%,
所以,3 月份产值 $ = (1 + 15\%) × 2 $ 月份产值 $ = (1 + 15\%)(1 - 10\%)x $。
[答案] A

A

根据题意，1月份产值为$x$万元。
2月份比1月份减少了$10\%$，所以2月份的产值为$(1 - 10\%)x = 0.9x$万元。
3月份比2月份增加了$15\%$，所以3月份的产值为$(1 + 15\%) × 2$月份的产值$ = (1 + 15\%) × 0.9x = (1 - 10\%)(1 + 15\%)x$万元。