1. 下面说法正确的个数有()
① 直角三角形的两个锐角互余；② 有两个角互余的三角形是直角三角形；③ 九边形共存在 27 条对角线；④ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

D

① 直角三角形的两个锐角互余，正确。
② 有两个角互余的三角形，第三个角为 $90°$，是直角三角形，正确。
③ 九边形的对角线数为 $\frac{9 × (9-3)}{2} = 27$，正确。
④ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确。
所有 $4$ 个说法均正确。

2. 如图，$∠ ACE$ 是 $△ ABC$ 的外角，$BD$ 平分 $∠ ABC$，$CD$ 平分 $∠ ACE$，且 $BD$，$CD$ 相交于点 $D$. 若 $∠ D = 40^{\circ}$，则 $∠ A$ 的度数为()

A.$60^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$110^{\circ}$

B

设∠ABD=∠DBC=x，则∠ABC=2x；设∠ACD=∠DCE=y，则∠ACE=2y。
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，即2y=∠A+2x①。
∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠D+∠DBC，即y=∠D+x②。
将②代入①得：2(∠D+x)=∠A+2x，化简得∠A=2∠D。
∵∠D=40°，∴∠A=2×40°=80°。

3. 如图，有下列结论：① $∠ A ＞ ∠ ACD$；② $∠ B + ∠ ACB = 180^{\circ} - ∠ A$；③ $∠ A + ∠ ACB ＜ 180^{\circ}$；④ $∠ HEC ＞ ∠ B$. 其中，正确的是(填序号).

① $∠A$ 是 $△ ABD$ 的一个内角，$∠ACD$ 是 $△ ACD$ 的一个外角，
根据三角形外角定理，外角 $∠ACD$ 等于不相邻的两个内角之和，即：
$∠ACD = ∠A + ∠D$，
因此，$∠A ＜ ∠ACD$，
故①错误。
② 根据三角形内角和定理，$△ ABC$ 的内角和为 $180°$，即：
$∠A + ∠B + ∠ACB = 180°$，
移项得：
$∠B + ∠ACB = 180° - ∠A$，
故②正确。
③ 在 $△ ABC$ 中，内角和为 $180°$，即：
$∠A + ∠B + ∠ACB = 180°$，
因此，$∠A + ∠ACB ＜ 180°$，
故③正确。
④ $∠HEC$ 是 $△ BHE$ 的一个外角。
根据三角形外角定理，外角 $∠HEC$ 等于不相邻的两个内角之和，即：
$∠HEC = ∠B + ∠EHB$，
因此，$∠HEC ＞ ∠B$，
故④正确。
综上所述，正确的结论是：②③④。

4. 按图填空，完成下面的证明过程.
已知：如图，$AB // CD$. 求证：$∠ BED = ∠ B + ∠ D$.
证明：过点 $E$ 作 $EF // AB$，
$\therefore ∠ 1 =$().
$\because AB // CD$(已知)，
$\therefore EF // CD$(如果两条直线与同一直线平行，那么它们也平行)，
$\therefore ∠ 2 =$().
$\because ∠ BED = ∠ 1 + ∠ 2$，
$\therefore ∠ BED = ∠ B + ∠ D$(等量代换).

证明：过点 $E$ 作 $EF // AB$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ B$（两直线平行，内错角相等）.
$\because AB // CD$（已知），
$\therefore EF // CD$（如果两条直线与同一直线平行，那么它们也平行），
$\therefore ∠ 2 = ∠ D$（两直线平行，内错角相等）.
$\because ∠ BED = ∠ 1 + ∠ 2$，
$\therefore ∠ BED = ∠ B + ∠ D$（等量代换）.
故答案为 $∠ B$；两直线平行，内错角相等；$∠ D$；两直线平行，内错角相等。

5. 学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程，请你帮助他完成剩余证明过程.
已知：如图，$△ ABC$. 求证：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$.
证明：过点 $A$ 作直线 $DE // BC$…

证明：过点A作直线DE//BC，
则∠DAB=∠B（两直线平行，内错角相等），
∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等），
因为∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角的定义），
所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换），
即∠A+∠B+∠C=180°。