例 1 有下列不等式组：①$\begin{cases}x ＞ -2, \\x ＜ 3;\end{cases}$ ②$\begin{cases}x ＞ 0, \\x + 2 ＞ 4;\end{cases}$ ③$\begin{cases}x^{2} + 1 ＜ x, \\x^{2} + 2 ＞ 4;\end{cases}$ ④$\begin{cases}x + 3 ＞ 0, \\x ＜ -7;\end{cases}$ ⑤$\begin{cases}x + 1 ＞ 0, \\y - 1 ＜ 0.\end{cases}$其中一元一次不等式组有( )

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

B

①是一元一次不等式组；②解第二个不等式得$x＞2$，是一元一次不等式组；③含$x^2$，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤含两个未知数，不是一元一次不等式组。所以一元一次不等式组有①②④，共3个。

例 2 一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是。

$1 ≤ x ＜ 3$

由数轴可知，不等式组的解集为$1 ≤ x ＜ 3$。

例 3 解下列不等式组：
(1)$\begin{cases}2 - x ＞ -3, \\3x - 2 ≤ 4;\end{cases}$

(2)$\begin{cases}3(x + 1) ＜ 5x - 1, \frac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \frac{3}{2}x.\end{cases}$

解不等式组：
$\begin{cases}3(x + 1) ＜ 5x - 1, \\frac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \frac{3}{2}x.\end{cases}$
解第一个不等式：
$3(x + 1) ＜ 5x - 1$
$3x + 3 ＜ 5x - 1$
$3 + 1 ＜ 5x - 3x$
$4 ＜ 2x$
$x ＞ 2$
解第二个不等式：
$\frac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \frac{3}{2}x$
$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x ≤ 7 + 1$
$2x ≤ 8$
$x ≤ 4$
所以，不等式组的解集为 $2 ＜ x ≤ 4$。

1. 下列选项中，是一元一次不等式组的是()

A.$\begin{cases}1 + x ＞ 8, \\2x - 1 ＞ x^{2}\end{cases}$
B.$\begin{cases}x ＜ 3, \\3x + 6 ＞ 9, \\3 + x ≤ 7x\end{cases}$
C.$\begin{cases}\frac{1}{3} - \frac{1}{2}x ＜ 4, \\x ＞ y\end{cases}$
D.$\begin{cases}m ＜ 1, \\n ＞ 4\end{cases}$

B

根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
选项A中$2x - 1＞x^{2}$，未知数的次数是$2$，不是一元一次不等式，所以该不等式组不是一元一次不等式组。
选项B中三个不等式都是只含有一个未知数$x$，且未知数的次数都是$1$，符合一元一次不等式组的定义。
选项C中$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x＜4$，$x＞y$含有两个未知数，不符合一元一次不等式组的定义。
选项D中$m＜1$，$n＞4$含有两个未知数，不符合一元一次不等式组的定义。