例 某超市计划购进甲、乙两种商品,两种商品的进价、售价(单位:元/件)如表所示.

若该超市销售甲、乙两种商品共 50 件,其中销售甲种商品 $ x(x ≥ 30 $ 且 $ x $ 为整数)件,设销售完 50 件甲、乙两种商品的总利润为 $ y $ 元,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式和 $ y $ 的最小值.
分析: 由“总利润 $ = $ 每件甲种商品的利润 $ × $ 甲种商品的件数 $ + $ 每件乙种商品的利润 $ × $ 乙种商品的件数”求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,根据一次函数的性质求 $ y $ 的最小值.
解: 由题意,得 $ y = (200 - 120)x + (100 - 60)(50 - x) = 40x + 2000(x ≥ 30 $ 且 $ x $ 为整数).
$ \because k = 40 ＞ 0, \therefore y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
$ \therefore $ 当 $ x = 30 $ 时, $ y $ 取最小值,此时 $ y = 40 × 30 + 2000 = 3200 $,即 $ y $ 的最小值为 3200.

解：
由题意得：
$y=(200-120)x+(100-60)(50-x)$
$=80x+40(50-x)$
$=40x+2000$（$x≥30$且$x$为整数）
$\because k=40＞0$，
$\therefore y$随$x$的增大而增大。
$\therefore$当$x=30$时，$y$取得最小值，
$y_{最小}=40×30+2000=3200$
答：$y$与$x$之间的函数关系式为$y=40x+2000$（$x≥30$且$x$为整数），$y$的最小值为3200。

1. 直线 $ y = x - 1 $ 不经过的象限是().

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

B

对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＞0$时，直线从左到右上升；当$b＜0$时，直线与$y$轴交于负半轴。在直线$y=x-1$中，$k=1＞0$，$b=-1＜0$，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限。

2. 一次函数 $ y = (m - 2)x + 3 $ 的图象如图所示,则 $ m $ 的取值范围是().

A.$ m ＜ 2 $
B.$ 0 ＜ m ＜ 2 $
C.$ m ＜ 0 $
D.$ m ＞ 2 $

A

由一次函数图象的性质可知，当图象从左到右下降时，一次项系数小于0。对于函数$y=(m - 2)x + 3$，可得$m - 2 ＜ 0$，解不等式得$m ＜ 2$。