20. 如图，在$□ ABCD$中，点$E, F$在对角线$AC$上，$DE // BF$，连接$BE, DF$。
(1) 求证$△ ADE ≌ △ CBF$。
(2) 若$BE = DE$，求证$□ ABCD$是菱形。

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ $AD = BC$，$AD // BC$
∴ $∠ DAE = ∠ BCF$
∵ $DE // BF$
∴ $∠ DEF = ∠ BFE$
∴ $∠ AED = ∠ CFB$
在$△ ADE$和$△ CBF$中
$\begin{cases}∠ DAE = ∠ BCF \\∠ AED = ∠ CFB \\AD = BC\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（AAS）
(2) 证明：
∵ $△ ADE ≌ △ CBF$
∴ $DE = BF$
又∵ $DE // BF$
∴ 四边形BEDF是平行四边形
∵ $BE = DE$
∴ 平行四边形BEDF是菱形
∴ $BD ⊥ AC$
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$BD ⊥ AC$
∴ 平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

21. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$P$是$AC$的中点，$N$是$BC$的中点，$M$是$AD$的中点，$∠ BAC = 80°$，$∠ ACD = 20°$。
(1) 求$∠ PMN$的度数。
(2) 求$\frac{PM}{MN}$的值。

解：
(1)
∵ P是AC的中点，M是AD的中点，
∴ PM是△ACD的中位线，
∴ PM//CD，PM = $\frac{1}{2}$CD，
∴ ∠APM = ∠ACD = 20°。
∵ P是AC的中点，N是BC的中点，
∴ PN是△ABC的中位线，
∴ PN//AB，PN = $\frac{1}{2}$AB，
∴ ∠CPN = ∠BAC = 80°。
∵ AB = CD，
∴ PM = PN，即△PMN是等腰三角形。
∵ ∠APM + ∠MPN + ∠CPN = 180°，
∴ ∠MPN = 180° - 20° - 80° = 80°，
∴ ∠PMN = $\frac{180° - ∠MPN}{2}$ = $\frac{180° - 80°}{2}$ = 50°。
(2)
过点P作PE⊥MN于点E，
∵ PM = PN，PE⊥MN，
∴ ME = $\frac{1}{2}$MN，∠MPE = $\frac{1}{2}$∠MPN = 40°。
在Rt△MPE中，$sin∠MPE = \frac{ME}{PM}$，
即$sin40° = \frac{\frac{1}{2}MN}{PM}$，
整理得：$\frac{PM}{MN} = \frac{1}{2sin40°}$。

22. 如图是由小正方形组成的$8 × 4$网格，每个小正方形的顶点叫作格点，$A, B$是格点，$C$是网格线上一点。仅用无刻度的直尺在给定网格中解答如下两个问题，每个问题的画线不得超过$4$条。
(1) 在图①中，先画$△ ABC$的角平分线$BD$，再在$AB$上画点$E$，使$BE = BC$。
(2) 在图②中，先在边$AC$上画点$F$，使$∠ ABF = 45°$，再画$△ ABC$的高$CG$。

解：
(1) 图①：
① 找到∠ABC内部的格点D，连接BD，BD即为△ABC的角平分线；
② 用直尺在AB上截取线段BE，使BE=BC，标记点E。
(2) 图②：
① 利用网格构造等腰直角三角形，连接线段BF交AC于点F，使∠ABF=45°；
② 过点C作AB的垂线CG，垂足为G，CG即为△ABC的高。