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16. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC ＞ BC$，分别以$△ ABC$的三边为边向外作三个正方形$ABHL$，$ACDE$，$BCFG$，连接$DF$。过点$C$作$AB$的垂线$CJ$，垂足为$J$，分别交$DF$，$LH$于点$I, K$。若$CI = 5$，$CJ = 4$，则四边形$AJKL$的面积是。
答案
80
解析
1. 证明$△ ABC ≌ △ DFC$：
由正方形性质得$AC=DC$，$BC=FC$，$∠ ACD=∠ BCF=90°$，故$∠ ACB=∠ DCF=90°$，根据SAS可证$△ ABC ≌ △ DFC$，因此$DF=AB$，$△ DFC$为直角三角形。
2. 求$AB$的长度：
在$Rt△ DFC$中，$CI$是斜边$DF$的中线，故$CI=\frac{1}{2}DF$，已知$CI=5$，得$DF=10$，因此$AB=10$。
3. 求$AJ$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$CJ ⊥ AB$，$CJ=4$，由射影定理得$AC^2=AJ · AB$；
$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2} × AB × CJ=20$，即$\frac{1}{2} × AC × BC=20$，得$AC · BC=40$；
结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2=100$，联立解得$AC^2=80$，故$AJ=\frac{AC^2}{AB}=\frac{80}{10}=8$。
4. 计算四边形$AJKL$的面积：
正方形$ABHL$中，$LA ⊥ AB$，$JK ⊥ AB$，故$AJKL$是矩形，$LA=AB=10$，$AJ=8$，面积$=AJ × LA=8 × 10=80$。
由正方形性质得$AC=DC$，$BC=FC$，$∠ ACD=∠ BCF=90°$，故$∠ ACB=∠ DCF=90°$，根据SAS可证$△ ABC ≌ △ DFC$，因此$DF=AB$，$△ DFC$为直角三角形。
2. 求$AB$的长度：
在$Rt△ DFC$中，$CI$是斜边$DF$的中线，故$CI=\frac{1}{2}DF$，已知$CI=5$，得$DF=10$，因此$AB=10$。
3. 求$AJ$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$CJ ⊥ AB$，$CJ=4$，由射影定理得$AC^2=AJ · AB$；
$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2} × AB × CJ=20$，即$\frac{1}{2} × AC × BC=20$，得$AC · BC=40$；
结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2=100$，联立解得$AC^2=80$，故$AJ=\frac{AC^2}{AB}=\frac{80}{10}=8$。
4. 计算四边形$AJKL$的面积：
正方形$ABHL$中，$LA ⊥ AB$，$JK ⊥ AB$，故$AJKL$是矩形，$LA=AB=10$，$AJ=8$，面积$=AJ × LA=8 × 10=80$。
三、解答题
17. 计算。
(1) $\sqrt{18} + \sqrt{20} - (\sqrt{2} - \sqrt{5})$。
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 8\sqrt{\frac{x}{4}} - x\sqrt{\frac{1}{x}}$。
17. 计算。
(1) $\sqrt{18} + \sqrt{20} - (\sqrt{2} - \sqrt{5})$。
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 8\sqrt{\frac{x}{4}} - x\sqrt{\frac{1}{x}}$。
答案
解：
(1) $\sqrt{18} + \sqrt{20} - (\sqrt{2} - \sqrt{5})$
$=3\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{5}$
$=(3\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2\sqrt{5} + \sqrt{5})$
$=2\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 8\sqrt{\frac{x}{4}} - x\sqrt{\frac{1}{x}}$
$=\frac{2}{3}×3\sqrt{x} + 8×\frac{\sqrt{x}}{2} - x×\frac{\sqrt{x}}{x}$
$=2\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - \sqrt{x}$
$=5\sqrt{x}$
(1) $\sqrt{18} + \sqrt{20} - (\sqrt{2} - \sqrt{5})$
$=3\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{5}$
$=(3\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2\sqrt{5} + \sqrt{5})$
$=2\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 8\sqrt{\frac{x}{4}} - x\sqrt{\frac{1}{x}}$
$=\frac{2}{3}×3\sqrt{x} + 8×\frac{\sqrt{x}}{2} - x×\frac{\sqrt{x}}{x}$
$=2\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - \sqrt{x}$
$=5\sqrt{x}$
18. 如图，矩形$ABCD$是一个底部直径$BC$为$12$ $cm$的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子$EG$，筷子露出杯子外$2$ $cm$，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子$EG$的长度。
答案
解：设筷子$ EG $的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则杯子的高度为$ (x - 2) \, \mathrm{cm} $。
由题意可知，$ EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 12 = 6 \, \mathrm{cm} $，$ CD = (x - 2) \, \mathrm{cm} $，且$ ED = EG = x \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt} △ ECD $中，根据勾股定理得：
$ EC^2 + CD^2 = ED^2 $
代入数值：
$ 6^2 + (x - 2)^2 = x^2 $
展开并整理：
$ 36 + x^2 - 4x + 4 = x^2 $
$ 40 - 4x = 0 $
解得：$ x = 10 $
答：筷子$ EG $的长度为$ 10 \, \mathrm{cm} $。
由题意可知，$ EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 12 = 6 \, \mathrm{cm} $，$ CD = (x - 2) \, \mathrm{cm} $，且$ ED = EG = x \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt} △ ECD $中，根据勾股定理得：
$ EC^2 + CD^2 = ED^2 $
代入数值：
$ 6^2 + (x - 2)^2 = x^2 $
展开并整理：
$ 36 + x^2 - 4x + 4 = x^2 $
$ 40 - 4x = 0 $
解得：$ x = 10 $
答：筷子$ EG $的长度为$ 10 \, \mathrm{cm} $。
19. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ B = 90°$，$AB = BC = 2$，$AD = 1$，$CD = 3$。
(1) 求$∠ DAB$的度数。
(2) 求四边形$ABCD$的面积。
(1) 求$∠ DAB$的度数。
(2) 求四边形$ABCD$的面积。
答案
解：
(1) 连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
$\therefore AC = 2\sqrt{2}$，$∠ BAC = 45°$，
在△ADC中，$AD=1$，$CD=3$，
$\because AD^2 + AC^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$，$CD^2 = 3^2 = 9$，
$\therefore AD^2 + AC^2 = CD^2$，
$\therefore ∠ DAC = 90°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$；
(2) 四边形$ABCD$的面积$= S_{△ ABC} + S_{△ ADC}$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$，
$S_{△ ADC} = \frac{1}{2} × AD × AC = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$= 2 + \sqrt{2}$。
(1) 连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
$\therefore AC = 2\sqrt{2}$，$∠ BAC = 45°$，
在△ADC中，$AD=1$，$CD=3$，
$\because AD^2 + AC^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$，$CD^2 = 3^2 = 9$，
$\therefore AD^2 + AC^2 = CD^2$，
$\therefore ∠ DAC = 90°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ DAC + ∠ BAC = 90° + 45° = 135°$；
(2) 四边形$ABCD$的面积$= S_{△ ABC} + S_{△ ADC}$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$，
$S_{△ ADC} = \frac{1}{2} × AD × AC = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$= 2 + \sqrt{2}$。
