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11. 如图，矩形$ABCD$的周长为$30cm$，两条邻边$AB$与$BC$的比为$2:3$.求：
（1）$AC$的长；
（2）$∠α$的正弦、余弦、正切值.
（1）$AC$的长；
（2）$∠α$的正弦、余弦、正切值.
答案
11. (1)$3\sqrt{13}$
(2)$\sinα=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$ $\cosα=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$ $\tanα=\dfrac{2}{3}$
(2)$\sinα=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$ $\cosα=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$ $\tanα=\dfrac{2}{3}$
解析
【解析】
（1）设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=3x\ \mathrm{cm}$，
由矩形周长为$30\ \mathrm{cm}$，得$2(2x+3x)=30$，
解得$x=3$，则$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=9\ \mathrm{cm}$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ B=90°$，
根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\sinα=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{3\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$，
$\cosα=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{9}{3\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$，
$\tanα=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
（1）$3\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$；
（2）$\sinα=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$，$\cosα=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$，$\tanα=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查矩形性质、勾股定理与锐角三角函数的应用，通过比例关系求出矩形邻边长度是解题突破口，需注意三角函数值的分母有理化。
【难度系数】
0.8
（1）设$AB=2x\ \mathrm{cm}$，$BC=3x\ \mathrm{cm}$，
由矩形周长为$30\ \mathrm{cm}$，得$2(2x+3x)=30$，
解得$x=3$，则$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=9\ \mathrm{cm}$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ B=90°$，
根据勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\sinα=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{3\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$，
$\cosα=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{9}{3\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$，
$\tanα=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
（1）$3\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$；
（2）$\sinα=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$，$\cosα=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$，$\tanα=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查矩形性质、勾股定理与锐角三角函数的应用，通过比例关系求出矩形邻边长度是解题突破口，需注意三角函数值的分母有理化。
【难度系数】
0.8
12. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \frac{4}{5}$，$AB = 15$，求$△ ABC$的周长和$\tan A$的值.
答案
12. 周长为 36 $\tan A=\dfrac{4}{3}$
解析
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ C = 90°$，
因为$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，$AB = 15$，
所以$BC = AB × \sin A = 15 × \frac{4}{5} = 12$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$。
则$△ABC$的周长为$AB + BC + AC = 15 + 12 + 9 = 36$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$。
【答案】
周长为36，$\tan A=\dfrac{4}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，熟练掌握三角函数的边角关系与勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
在$Rt△ABC$中，$∠ C = 90°$，
因为$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，$AB = 15$，
所以$BC = AB × \sin A = 15 × \frac{4}{5} = 12$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$。
则$△ABC$的周长为$AB + BC + AC = 15 + 12 + 9 = 36$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$。
【答案】
周长为36，$\tan A=\dfrac{4}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，熟练掌握三角函数的边角关系与勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
13. 如图，直线$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$与$x$轴交于点$A$，与直线$y = 2x$交于点$B$.求：
（1）点$B$的坐标；
（2）$\sin∠ BAO$的值.
（1）点$B$的坐标；
（2）$\sin∠ BAO$的值.
答案
13. (1)$B(1,2)$ (2)$\sin∠ BAO=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
解析
【解析】
（1）求点B的坐标，联立两条直线的解析式组成方程组：
$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\y = 2x\end{cases}$
将$y=2x$代入$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$，得$2x = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$，
解得$x=1$，把$x=1$代入$y=2x$，得$y=2$，故点B的坐标为$(1,2)$。
（2）先求点A的坐标：在直线$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$中，令$y=0$，则$0 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$，解得$x=-3$，所以$A(-3,0)$。
过点B作$BC ⊥ x$轴于点C，则$C(1,0)$，可得$AC = 1 - (-3) = 4$，$BC = 2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$，
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAO = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
（1）$B(1,2)$；（2）$\sin∠ BAO=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
一次函数交点求解，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题综合考查一次函数与几何的综合应用，需掌握联立方程组求交点坐标的方法，通过构造直角三角形，结合勾股定理与锐角三角函数定义求解，培养数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
（1）求点B的坐标，联立两条直线的解析式组成方程组：
$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\y = 2x\end{cases}$
将$y=2x$代入$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$，得$2x = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$，
解得$x=1$，把$x=1$代入$y=2x$，得$y=2$，故点B的坐标为$(1,2)$。
（2）先求点A的坐标：在直线$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$中，令$y=0$，则$0 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$，解得$x=-3$，所以$A(-3,0)$。
过点B作$BC ⊥ x$轴于点C，则$C(1,0)$，可得$AC = 1 - (-3) = 4$，$BC = 2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$，
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAO = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
（1）$B(1,2)$；（2）$\sin∠ BAO=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
一次函数交点求解，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题综合考查一次函数与几何的综合应用，需掌握联立方程组求交点坐标的方法，通过构造直角三角形，结合勾股定理与锐角三角函数定义求解，培养数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
