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14. 如图，在网格中，小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$都在格点上，求$∠ ABC$的正切值.
答案
14. $\dfrac{1}{2}$
解析
【解析】
连接AC，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
$AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
因为$AC^2 + AB^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 2 + 8 = 10$，$BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，所以$AC^2 + AB^2 = BC^2$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$tan∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理逆定理，锐角三角函数
【点评】
本题考查勾股定理逆定理与锐角三角函数的综合应用，通过构造直角三角形，利用勾股定理逆定理判断直角三角形，进而求解正切值，需熟练掌握勾股定理及三角函数的定义。
【难度系数】
0.6
连接AC，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
$AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
因为$AC^2 + AB^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 2 + 8 = 10$，$BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，所以$AC^2 + AB^2 = BC^2$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$tan∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
勾股定理逆定理，锐角三角函数
【点评】
本题考查勾股定理逆定理与锐角三角函数的综合应用，通过构造直角三角形，利用勾股定理逆定理判断直角三角形，进而求解正切值，需熟练掌握勾股定理及三角函数的定义。
【难度系数】
0.6
15. 在$△ ABC$中，$AB = 5$，$BC = 13$，$AD$是边$BC$上的高，$AD = 4$，求$CD$和$\sin C$.
答案
15. $CD=10$，$\sin C=\dfrac{2\sqrt{29}}{29}$或$CD=16$，$\sin C=\dfrac{\sqrt{17}}{17}$.
解析
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
因为$BC=13$，所以$CD=BC - BD=13 - 3=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 10^2}=2\sqrt{29}$，
由锐角三角函数定义得$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$。
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，同理得$BD=3$，
此时$CD=BC + BD=13 + 3=16$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 16^2}=4\sqrt{17}$，
由锐角三角函数定义得$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$。
【答案】
$CD=10$，$\sin C=\dfrac{2\sqrt{29}}{29}$或$CD=16$，$\sin C=\dfrac{\sqrt{17}}{17}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，分类讨论思想
【点评】
本题需结合三角形高的位置分类讨论，综合运用勾股定理与锐角三角函数定义求解，易因忽略高在三角形外部的情况而漏解。
【难度系数】
0.5
分两种情况讨论：
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
因为$BC=13$，所以$CD=BC - BD=13 - 3=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 10^2}=2\sqrt{29}$，
由锐角三角函数定义得$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$。
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，同理得$BD=3$，
此时$CD=BC + BD=13 + 3=16$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 16^2}=4\sqrt{17}$，
由锐角三角函数定义得$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$。
【答案】
$CD=10$，$\sin C=\dfrac{2\sqrt{29}}{29}$或$CD=16$，$\sin C=\dfrac{\sqrt{17}}{17}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，分类讨论思想
【点评】
本题需结合三角形高的位置分类讨论，综合运用勾股定理与锐角三角函数定义求解，易因忽略高在三角形外部的情况而漏解。
【难度系数】
0.5
