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7. 如图，$∠ ABC = 80°$，$O$为射线$BC$上一点，以点$O$为圆心，$\frac{1}{2}OB$长为半径作$\odot O$，要使射线$BA$与$\odot O$相切，应将射线$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转
50°或110°
。答案
7. 50°或110°
解析
【解析】
设旋转后射线$BA$与$\odot O$相切于点$D$，连接$OD$，根据切线的性质可知$OD⊥ BD$。
已知$OD=\frac{1}{2}OB$，在$Rt△ OBD$中，$\sin∠ OBD=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，可得$∠ OBD=30°$。
分两种情况讨论：
1. 当旋转后的射线在$∠ ABC$内部时，旋转角为$∠ ABC - ∠ OBD=80° - 30°=50°$；
2. 当旋转后的射线在$∠ ABC$外部时，旋转角为$∠ ABC + ∠ OBD=80° + 30°=110°$。
综上，旋转角为$50°$或$110°$。
【答案】
$50°$或$110°$
【知识点】
切线的性质，分类讨论思想，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题考查切线性质与分类讨论思想的综合应用，需考虑射线旋转的两种位置情况，避免漏解，对几何动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
设旋转后射线$BA$与$\odot O$相切于点$D$，连接$OD$，根据切线的性质可知$OD⊥ BD$。
已知$OD=\frac{1}{2}OB$，在$Rt△ OBD$中，$\sin∠ OBD=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，可得$∠ OBD=30°$。
分两种情况讨论：
1. 当旋转后的射线在$∠ ABC$内部时，旋转角为$∠ ABC - ∠ OBD=80° - 30°=50°$；
2. 当旋转后的射线在$∠ ABC$外部时，旋转角为$∠ ABC + ∠ OBD=80° + 30°=110°$。
综上，旋转角为$50°$或$110°$。
【答案】
$50°$或$110°$
【知识点】
切线的性质，分类讨论思想，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题考查切线性质与分类讨论思想的综合应用，需考虑射线旋转的两种位置情况，避免漏解，对几何动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
8. 如图，正方形$ABCD$的边长为1，以$A$为圆心，1为半径的圆与直线$BC$有怎样的位置关系？以$A$为圆心，半径为多少时的圆与直线$BD$相切？
答案
8. 相切 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【解析】
1. 判定以A为圆心、1为半径的圆与直线BC的位置关系：
在正方形$ABCD$中，$AB ⊥ BC$，且$AB=1$，即点$A$到直线$BC$的距离$d=1$。
已知圆的半径$r=1$，因为$d=r$，所以该圆与直线$BC$相切。
2. 求圆与直线$BD$相切时的半径：
正方形$ABCD$边长为1，由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
过点$A$作$AO ⊥ BD$于点$O$，根据正方形对角线的性质，$AO=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即点$A$到直线$BD$的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
当圆与直线$BD$相切时，圆的半径等于点$A$到直线$BD$的距离，故半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
相切；$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合正方形的性质，考查直线与圆的位置关系的判定，核心是利用“圆心到直线的距离与半径的大小关系”判断位置，需熟练掌握点到直线距离的计算方法。
【难度系数】
0.6
1. 判定以A为圆心、1为半径的圆与直线BC的位置关系：
在正方形$ABCD$中，$AB ⊥ BC$，且$AB=1$，即点$A$到直线$BC$的距离$d=1$。
已知圆的半径$r=1$，因为$d=r$，所以该圆与直线$BC$相切。
2. 求圆与直线$BD$相切时的半径：
正方形$ABCD$边长为1，由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
过点$A$作$AO ⊥ BD$于点$O$，根据正方形对角线的性质，$AO=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即点$A$到直线$BD$的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
当圆与直线$BD$相切时，圆的半径等于点$A$到直线$BD$的距离，故半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
相切；$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合正方形的性质，考查直线与圆的位置关系的判定，核心是利用“圆心到直线的距离与半径的大小关系”判断位置，需熟练掌握点到直线距离的计算方法。
【难度系数】
0.6
9. 如图，以坐标原点$O$为圆心，作半径为2的圆，若直线$y = -x + b$与$\odot O$相交，则$b$的取值范围是
$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
。答案
9. $-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
解析
【解析】
要确定直线$y=-x+b$与$\odot O$相交时$b$的取值范围，步骤如下：
1. 已知$\odot O$的圆心为$O(0,0)$，半径$r=2$。
2. 将直线方程化为标准式：$x+y-b=0$。
3. 根据点到直线的距离公式，圆心$O$到直线的距离$d=\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$。
4. 直线与圆相交的条件是圆心到直线的距离小于半径，即$d ＜ r$，代入得$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$。
5. 解不等式：$|b| ＜ 2\sqrt{2}$，即$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$。
【答案】
$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【点评】
本题考查直线与圆相交的判定条件，需结合点到直线的距离公式建立不等式求解，重点考查对几何位置关系的代数转化能力及不等式的解法。
【难度系数】
0.6
要确定直线$y=-x+b$与$\odot O$相交时$b$的取值范围，步骤如下：
1. 已知$\odot O$的圆心为$O(0,0)$，半径$r=2$。
2. 将直线方程化为标准式：$x+y-b=0$。
3. 根据点到直线的距离公式，圆心$O$到直线的距离$d=\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$。
4. 直线与圆相交的条件是圆心到直线的距离小于半径，即$d ＜ r$，代入得$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$。
5. 解不等式：$|b| ＜ 2\sqrt{2}$，即$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$。
【答案】
$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【点评】
本题考查直线与圆相交的判定条件，需结合点到直线的距离公式建立不等式求解，重点考查对几何位置关系的代数转化能力及不等式的解法。
【难度系数】
0.6
10. 如图，给定一个半径为2的圆，圆心$O$到水平直线$l$的距离为$d$，即$OM = d$。我们把圆上到直线$l$的距离等于1的点的个数记为$m$。如当$d = 0$时，$l$为经过圆心$O$的一条直线，此时圆上有四个到直线$l$的距离等于1的点，即$m = 4$，由此可知：
(1)当$d = 3$时，$m =$
(2)当$m = 2$时，$d$的取值范围是
(1)当$d = 3$时，$m =$
1
；(2)当$m = 2$时，$d$的取值范围是
$1 ＜ d ＜ 3$
。答案
10. (1)1 (2)$1 ＜ d ＜ 3$
解析
【解析】
(1) 已知圆的半径为2，当$d=3$时，圆心到直线$l$的距离$d$大于圆的半径，此时圆上只有1个点到直线$l$的距离等于1，故$m=1$。
(2) 当$d=1$时，圆上到直线$l$距离为1的点有3个；当$d=3$时，圆上到直线$l$距离为1的点有1个。结合图形分析可得，当$1 ＜ d ＜ 3$时，圆上到直线$l$距离为1的点有2个，即$m=2$时，$d$的取值范围是$1 ＜ d ＜ 3$。
【答案】
(1)$1$；(2)$1 ＜ d ＜ 3$
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，需结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，通过数形结合分析圆上满足条件的点的个数，提升空间想象与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知圆的半径为2，当$d=3$时，圆心到直线$l$的距离$d$大于圆的半径，此时圆上只有1个点到直线$l$的距离等于1，故$m=1$。
(2) 当$d=1$时，圆上到直线$l$距离为1的点有3个；当$d=3$时，圆上到直线$l$距离为1的点有1个。结合图形分析可得，当$1 ＜ d ＜ 3$时，圆上到直线$l$距离为1的点有2个，即$m=2$时，$d$的取值范围是$1 ＜ d ＜ 3$。
【答案】
(1)$1$；(2)$1 ＜ d ＜ 3$
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，需结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，通过数形结合分析圆上满足条件的点的个数，提升空间想象与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
