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14. 将平底薄壁直圆筒状的空杯放在饮料机的水平杯座上接饮料。杯座受到的压力 $F$ 随杯中饮料的高度 $h$ 变化的图像如图所示。饮料出口的横截面积 $S_{1} = 0.8\ \mathrm{cm}^{2}$，饮料流出的速度 $v = 50\ \mathrm{cm/s}$，杯高 $H = 10\ \mathrm{cm}$，杯底面积 $S_{2} = 30\ \mathrm{cm}^{2}$。
(1) 装满饮料时，杯底受到饮料的压力为多大？
(2) 饮料的密度为多大？
(3) 设杯底与杯座的接触面积也为 $S_{2}$，饮料持续流入空杯 $5\ \mathrm{s}$ 后关闭开关，杯对杯座的压强为多大？
(1) 装满饮料时，杯底受到饮料的压力为多大？
(2) 饮料的密度为多大？
(3) 设杯底与杯座的接触面积也为 $S_{2}$，饮料持续流入空杯 $5\ \mathrm{s}$ 后关闭开关，杯对杯座的压强为多大？
答案
14. (1) 由图可知空杯对杯座的压力：$ F_{0} = 0.9 \, \mathrm{N} $；装满饮料时，杯对杯座的压力：$ F_{1} = 4.5 \, \mathrm{N} $；因杯子为平底薄壁直圆筒状：$ F = F_{1} - F_{0} = 4.5 \, \mathrm{N} - 0.9 \, \mathrm{N} = 3.6 \, \mathrm{N} $。
(2) 饮料的质量：$ m = \frac{G}{g} = \frac{F}{g} = \frac{3.6 \, \mathrm{N}}{10 \, \mathrm{N/kg}} = 0.36 \, \mathrm{kg} $；
杯中饮料的体积：$ V = S_{2}H = 30 \, \mathrm{cm}^{2} × 10 \, \mathrm{cm} = 300 \, \mathrm{cm}^{3} = 3 × 10^{-4} \, \mathrm{m}^{3} $；
则饮料的密度：$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{0.36 \, \mathrm{kg}}{3 × 10^{-4} \, \mathrm{m}^{3}} = 1.2 × 10^{3} \, \mathrm{kg} $
(2) 饮料的质量：$ m = \frac{G}{g} = \frac{F}{g} = \frac{3.6 \, \mathrm{N}}{10 \, \mathrm{N/kg}} = 0.36 \, \mathrm{kg} $；
杯中饮料的体积：$ V = S_{2}H = 30 \, \mathrm{cm}^{2} × 10 \, \mathrm{cm} = 300 \, \mathrm{cm}^{3} = 3 × 10^{-4} \, \mathrm{m}^{3} $；
则饮料的密度：$ \rho = \frac{m}{V} = \frac{0.36 \, \mathrm{kg}}{3 × 10^{-4} \, \mathrm{m}^{3}} = 1.2 × 10^{3} \, \mathrm{kg} $
解析
【分析】
1. 第(1)问：从图像中读取空杯对杯座的压力和装满饮料时的总压力，由于杯子是平底薄壁直圆筒，杯底受到饮料的压力等于饮料的重力，用总压力减去空杯压力即可得到结果。
2. 第(2)问：先根据饮料的重力求出质量，再利用杯底面积和杯高计算饮料体积，最后通过密度公式计算饮料密度。
3. 第(3)问：先计算5秒内流出饮料的体积，再求出杯中饮料的高度，进而得到这些饮料的重力，算出杯对杯座的总压力，最后根据压强公式计算压强。
【解析】
(1) 由图像可知，空杯对杯座的压力 $F_0 = 0.9\ \mathrm{N}$，装满饮料时杯对杯座的总压力 $F_1 = 4.5\ \mathrm{N}$。
因为杯子为平底薄壁直圆筒状，杯底受到饮料的压力等于饮料的重力，所以装满饮料时杯底受到饮料的压力：
$F_{\mathrm{液}} = F_1 - F_0 = 4.5\ \mathrm{N} - 0.9\ \mathrm{N} = 3.6\ \mathrm{N}$
(2) 饮料的重力 $G = F_{\mathrm{液}} = 3.6\ \mathrm{N}$，根据 $G=mg$，可得饮料的质量：
$m = \frac{G}{g} = \frac{3.6\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.36\ \mathrm{kg}$
饮料的体积：
$V = S_2H = 30\ \mathrm{cm}^2 × 10\ \mathrm{cm} = 300\ \mathrm{cm}^3 = 3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
根据密度公式 $\rho = \frac{m}{V}$，可得饮料的密度：
$\rho = \frac{0.36\ \mathrm{kg}}{3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 1.2 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 5秒内流出饮料的体积：
$V' = S_1vt = 0.8\ \mathrm{cm}^2 × 50\ \mathrm{cm/s} × 5\ \mathrm{s} = 200\ \mathrm{cm}^3$
杯中饮料的高度：
$h' = \frac{V'}{S_2} = \frac{200\ \mathrm{cm}^3}{30\ \mathrm{cm}^2} = \frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$
这些饮料的重力：
$G' = \rho V'g = 1.2 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 200 × 10^{-6}\ \mathrm{m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} = 2.4\ \mathrm{N}$
杯对杯座的总压力：
$F_{\mathrm{总}} = F_0 + G' = 0.9\ \mathrm{N} + 2.4\ \mathrm{N} = 3.3\ \mathrm{N}$
杯对杯座的压强：
$p = \frac{F_{\mathrm{总}}}{S_2} = \frac{3.3\ \mathrm{N}}{30 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^2} = 1.1 × 10^3\ \mathrm{Pa}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.6\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{1.2 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$
(3) $\boldsymbol{1.1 × 10^3\ \mathrm{Pa}}$
【知识点】
压力与重力的关系；密度公式的应用；压强的计算
【点评】
本题结合图像考查压力、密度、压强的综合计算，关键是从图像中提取有效信息，准确进行单位换算，理清各物理量间的逻辑关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：从图像中读取空杯对杯座的压力和装满饮料时的总压力，由于杯子是平底薄壁直圆筒，杯底受到饮料的压力等于饮料的重力，用总压力减去空杯压力即可得到结果。
2. 第(2)问：先根据饮料的重力求出质量，再利用杯底面积和杯高计算饮料体积，最后通过密度公式计算饮料密度。
3. 第(3)问：先计算5秒内流出饮料的体积，再求出杯中饮料的高度，进而得到这些饮料的重力，算出杯对杯座的总压力，最后根据压强公式计算压强。
【解析】
(1) 由图像可知，空杯对杯座的压力 $F_0 = 0.9\ \mathrm{N}$，装满饮料时杯对杯座的总压力 $F_1 = 4.5\ \mathrm{N}$。
因为杯子为平底薄壁直圆筒状，杯底受到饮料的压力等于饮料的重力，所以装满饮料时杯底受到饮料的压力：
$F_{\mathrm{液}} = F_1 - F_0 = 4.5\ \mathrm{N} - 0.9\ \mathrm{N} = 3.6\ \mathrm{N}$
(2) 饮料的重力 $G = F_{\mathrm{液}} = 3.6\ \mathrm{N}$，根据 $G=mg$，可得饮料的质量：
$m = \frac{G}{g} = \frac{3.6\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.36\ \mathrm{kg}$
饮料的体积：
$V = S_2H = 30\ \mathrm{cm}^2 × 10\ \mathrm{cm} = 300\ \mathrm{cm}^3 = 3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
根据密度公式 $\rho = \frac{m}{V}$，可得饮料的密度：
$\rho = \frac{0.36\ \mathrm{kg}}{3 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 1.2 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 5秒内流出饮料的体积：
$V' = S_1vt = 0.8\ \mathrm{cm}^2 × 50\ \mathrm{cm/s} × 5\ \mathrm{s} = 200\ \mathrm{cm}^3$
杯中饮料的高度：
$h' = \frac{V'}{S_2} = \frac{200\ \mathrm{cm}^3}{30\ \mathrm{cm}^2} = \frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$
这些饮料的重力：
$G' = \rho V'g = 1.2 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 200 × 10^{-6}\ \mathrm{m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} = 2.4\ \mathrm{N}$
杯对杯座的总压力：
$F_{\mathrm{总}} = F_0 + G' = 0.9\ \mathrm{N} + 2.4\ \mathrm{N} = 3.3\ \mathrm{N}$
杯对杯座的压强：
$p = \frac{F_{\mathrm{总}}}{S_2} = \frac{3.3\ \mathrm{N}}{30 × 10^{-4}\ \mathrm{m}^2} = 1.1 × 10^3\ \mathrm{Pa}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3.6\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{1.2 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$
(3) $\boldsymbol{1.1 × 10^3\ \mathrm{Pa}}$
【知识点】
压力与重力的关系；密度公式的应用；压强的计算
【点评】
本题结合图像考查压力、密度、压强的综合计算，关键是从图像中提取有效信息，准确进行单位换算，理清各物理量间的逻辑关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6
