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1. 在$a＜4$，$2x≠6$，$3＞0$，$a+1$，$2x=4$中，不等式有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
根据不等式的定义：用不等号（＞、＜、≠等）表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断：
1. $a＜4$：用“＜”连接，是不等式；
2. $2x≠6$：用“≠”连接，是不等式；
3. $3＞0$：用“＞”连接，是不等式；
4. $a+1$：是代数式，不是不等式；
5. $2x=4$：是等式，不是不等式。
综上，不等式共有3个。
1. $a＜4$：用“＜”连接，是不等式；
2. $2x≠6$：用“≠”连接，是不等式；
3. $3＞0$：用“＞”连接，是不等式；
4. $a+1$：是代数式，不是不等式；
5. $2x=4$：是等式，不是不等式。
综上，不等式共有3个。
2. 若$ m＞n $，则下列不等式不一定成立的是（）
A.$ m+1＞n+1 $
B.$ -m＜-n $
C.$ \dfrac{m}{3}＞\dfrac{n}{3} $
D.$ m^2＞n^2 $
A.$ m+1＞n+1 $
B.$ -m＜-n $
C.$ \dfrac{m}{3}＞\dfrac{n}{3} $
D.$ m^2＞n^2 $
答案
D
解析
根据不等式的基本性质逐一分析：
1. 选项A：不等式两边同时加1，不等号方向不变，由$m＞n$可得$m+1＞n+1$，一定成立；
2. 选项B：不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，由$m＞n$可得$-m＜-n$，一定成立；
3. 选项C：不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，由$m＞n$可得$\dfrac{m}{3}＞\dfrac{n}{3}$，一定成立；
4. 选项D：举反例，如取$m=1$，$n=-2$，满足$m＞n$，但$m^2=1$，$n^2=4$，此时$m^2＜n^2$，故$m^2＞n^2$不一定成立。
1. 选项A：不等式两边同时加1，不等号方向不变，由$m＞n$可得$m+1＞n+1$，一定成立；
2. 选项B：不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，由$m＞n$可得$-m＜-n$，一定成立；
3. 选项C：不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，由$m＞n$可得$\dfrac{m}{3}＞\dfrac{n}{3}$，一定成立；
4. 选项D：举反例，如取$m=1$，$n=-2$，满足$m＞n$，但$m^2=1$，$n^2=4$，此时$m^2＜n^2$，故$m^2＞n^2$不一定成立。
3. 下列说法错误的是（）
A.不等式$x＜2$的正整数解只有一个
B.$-2$是不等式$2x-1＜0$的一个解
C.不等式$-3x＞9$的解集是$x＞-3$
D.不等式$x＜10$的整数解有无数个
A.不等式$x＜2$的正整数解只有一个
B.$-2$是不等式$2x-1＜0$的一个解
C.不等式$-3x＞9$的解集是$x＞-3$
D.不等式$x＜10$的整数解有无数个
答案
C
解析
逐个分析选项：
1. 分析A选项：不等式$x＜2$的正整数解只有$x=1$，仅1个，该说法正确。
2. 分析B选项：将$x=-2$代入$2x-1$，得$2×(-2)-1=-5＜0$，满足不等式，因此$-2$是$2x-1＜0$的一个解，该说法正确。
3. 分析C选项：解不等式$-3x＞9$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得解集为$x＜-3$，不是$x＞-3$，该说法错误。
4. 分析D选项：小于10的整数有无数个，因此不等式$x＜10$的整数解有无数个，该说法正确。
综上，错误的是C。
1. 分析A选项：不等式$x＜2$的正整数解只有$x=1$，仅1个，该说法正确。
2. 分析B选项：将$x=-2$代入$2x-1$，得$2×(-2)-1=-5＜0$，满足不等式，因此$-2$是$2x-1＜0$的一个解，该说法正确。
3. 分析C选项：解不等式$-3x＞9$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得解集为$x＜-3$，不是$x＞-3$，该说法错误。
4. 分析D选项：小于10的整数有无数个，因此不等式$x＜10$的整数解有无数个，该说法正确。
综上，错误的是C。
4. 若关于 $ x $ 的不等式$-2x+a ≥ 2$ 的解集如图所示，则 $ a $ 的值是()
A.0
B.2
C.-2
D.4
A.0
B.2
C.-2
D.4
答案
A
解析
先解不等式$-2x + a ≥ 2$，移项得$-2x ≥ 2 - a$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≤ \frac{a-2}{2}$。由数轴可知该不等式的解集为$x ≤ -1$，因此$\frac{a-2}{2} = -1$，解得$a=0$。
5. 若不等式组$\begin{cases}x-2a＞2, \\ 3x+3＞4x-b\end{cases}$的解集为$-2＜x＜3$，则$a+b$的值是（ ）
A.1
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$
A.1
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$
答案
C
解析
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解$x-2a＞2$，移项得：$x＞2+2a$；
2. 解$3x+3＞4x-b$，移项合并同类项得：$x＜b+3$。
因此该不等式组的解集为$2+2a＜x＜b+3$，结合已知解集$-2＜x＜3$，可得：
$\begin{cases}2+2a=-2\\b+3=3\end{cases}$
解得$a=-2$，$b=0$，因此$a+b=-2+0=-2$。
1. 解$x-2a＞2$，移项得：$x＞2+2a$；
2. 解$3x+3＞4x-b$，移项合并同类项得：$x＜b+3$。
因此该不等式组的解集为$2+2a＜x＜b+3$，结合已知解集$-2＜x＜3$，可得：
$\begin{cases}2+2a=-2\\b+3=3\end{cases}$
解得$a=-2$，$b=0$，因此$a+b=-2+0=-2$。
6. 如果$5a - 3x^{2+a} ＞ 1$是关于$x$的一元一次不等式，那么其解集为________.
答案
解：
因为$5a - 3x^{2+a} ＞ 1$是关于$x$的一元一次不等式，
所以$x$的次数为1，即$2+a=1$，
解得$a=-1$。
将$a=-1$代入原不等式，得：
$5×(-1) - 3x ＞ 1$
整理得：$-5 - 3x ＞ 1$
移项得：$-3x ＞ 1 + 5$，即$-3x ＞ 6$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x ＜ -2$。
最终解集为$\boldsymbol{x ＜ -2}$。
因为$5a - 3x^{2+a} ＞ 1$是关于$x$的一元一次不等式，
所以$x$的次数为1，即$2+a=1$，
解得$a=-1$。
将$a=-1$代入原不等式，得：
$5×(-1) - 3x ＞ 1$
整理得：$-5 - 3x ＞ 1$
移项得：$-3x ＞ 1 + 5$，即$-3x ＞ 6$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x ＜ -2$。
最终解集为$\boldsymbol{x ＜ -2}$。
7. 若点$P(m-4,\ \dfrac{1}{2}m+3)$在第二象限，则$m$的取值范围是________.
答案
解：
第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列不等式组：
$\begin{cases}m - 4 ＜ 0 \\\dfrac{1}{2}m + 3 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$m-4＜0$，得：$m ＜ 4$
解不等式$\dfrac{1}{2}m + 3 ＞ 0$，得：$m ＞ -6$
所以$m$的取值范围是$-6 ＜ m ＜ 4$。
第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列不等式组：
$\begin{cases}m - 4 ＜ 0 \\\dfrac{1}{2}m + 3 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$m-4＜0$，得：$m ＜ 4$
解不等式$\dfrac{1}{2}m + 3 ＞ 0$，得：$m ＞ -6$
所以$m$的取值范围是$-6 ＜ m ＜ 4$。
8. 若不等式 $ x＞y $ 和 $ (a-3)x＜(a-3)y $ 成立，则 $ a $ 的取值范围是________.
答案
$\boldsymbol{a＜3}$
解析
解：
∵ $x ＞ y$，给不等式两边同乘$(a-3)$后不等号方向改变，得到$(a-3)x ＜ (a-3)y$，
∴ 根据不等式的性质，可知所乘的数为负数，即
$a - 3 ＜ 0$，
解得 $a ＜ 3$。
∵ $x ＞ y$，给不等式两边同乘$(a-3)$后不等号方向改变，得到$(a-3)x ＜ (a-3)y$，
∴ 根据不等式的性质，可知所乘的数为负数，即
$a - 3 ＜ 0$，
解得 $a ＜ 3$。
9. 学习了“解一元一次不等式”后，小杭解不等式$\frac{x-1}{2}-\frac{3x-2}{4}＜1$的过程如图. 小杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上.
$\frac{x-1}{2}-\frac{3x-2}{4}＜1$.
解：去分母，得$2(x-1)-3x-2＜1$.
去括号，得$2x-2-3x-2＜1$.
移项，得$2x-3x＜1+2+2$.
合并同类项，得$-x＜5$.
两边都除以$-1$，得$x＜-5$.
$\frac{x-1}{2}-\frac{3x-2}{4}＜1$.
解：去分母，得$2(x-1)-3x-2＜1$.
去括号，得$2x-2-3x-2＜1$.
移项，得$2x-3x＜1+2+2$.
合并同类项，得$-x＜5$.
两边都除以$-1$，得$x＜-5$.
答案
解：小杭的解答过程有错误。
正确的解答过程如下：
去分母，得 $2(x-1)-(3x-2) ＜ 4$。
去括号，得 $2x - 2 - 3x + 2 ＜ 4$。
移项，得 $2x - 3x ＜ 4 + 2 - 2$。
合并同类项，得 $-x ＜ 4$。
两边都除以$-1$，得 $x ＞ -4$。
将解集表示在数轴上：在数轴上$-4$对应的位置画空心圆圈，从该点出发沿数轴向右画射线，所有大于$-4$的数都属于该解集。
正确的解答过程如下：
去分母，得 $2(x-1)-(3x-2) ＜ 4$。
去括号，得 $2x - 2 - 3x + 2 ＜ 4$。
移项，得 $2x - 3x ＜ 4 + 2 - 2$。
合并同类项，得 $-x ＜ 4$。
两边都除以$-1$，得 $x ＞ -4$。
将解集表示在数轴上：在数轴上$-4$对应的位置画空心圆圈，从该点出发沿数轴向右画射线，所有大于$-4$的数都属于该解集。
