10. (1) 解不等式组$\begin{cases}2x+4＜0,\\1-2x＞0,\end{cases}$并把它们的解集表示在数轴上.

(2) 解不等式组$\begin{cases}5x-1＜3(x+1),\\\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{5x+1}{2}≤1,\end{cases}$并把它们的解集表示在数轴上.

(3) 解不等式组$\begin{cases}2(x-1)+1＜-3,\\x-1≥\dfrac{1+x}{3},\end{cases}$并把它们的解集表示在数轴上.

(4) 解不等式组$\begin{cases}4(x+1)≤7x+10,\\2x-3＜\dfrac{x-1}{2},\end{cases}$并求出所有整数解的和.

(1)
解：
解不等式$2x+4＜0$，得$x＜-2$。
解不等式$1-2x＞0$，得$x＜\dfrac{1}{2}$。
所以不等式组的解集为$\boldsymbol{x＜-2}$。
数轴表示：在数轴上$-2$对应位置画空心圆圈，向左延伸画出解集区域。
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(2)
解：
解不等式$5x-1＜3(x+1)$，得$5x-1＜3x+3$，化简得$x＜2$。
解不等式$\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{5x+1}{2}≤1$，两边同乘6得$2(2x-1)-3(5x+1)≤6$，展开化简得$-11x≤11$，即$x≥-1$。
所以不等式组的解集为$\boldsymbol{-1≤ x＜2}$。
数轴表示：在数轴上$-1$对应位置画实心点，$2$对应位置画空心圆圈，两点之间画出解集区域。
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(3)
解：
解不等式$2(x-1)+1＜-3$，得$2x-2+1＜-3$，化简得$x＜-1$。
解不等式$x-1≥\dfrac{1+x}{3}$，两边同乘3得$3x-3≥1+x$，化简得$x≥2$。
两个不等式的解集没有公共部分，所以该不等式组无解。
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(4)
解：
解不等式$4(x+1)≤7x+10$，得$4x+4≤7x+10$，化简得$x≥-2$。
解不等式$2x-3＜\dfrac{x-1}{2}$，两边同乘2得$4x-6＜x-1$，化简得$x＜\dfrac{5}{3}$。
所以不等式组的解集为$-2≤ x＜\dfrac{5}{3}$。
该范围内的所有整数解为$-2,-1,0,1$，
整数解的和为：$-2+(-1)+0+1=-2$。
答：所有整数解的和为$-2$。