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一、选择题
1. 不等式组$\begin{cases}x＞\dfrac{3}{2}, \\ x＜\dfrac{8}{3}\end{cases}$的解集是 （ ）
A.$x＞\dfrac{3}{2}$
B.$x＜\dfrac{8}{3}$
C.$x＞\dfrac{3}{2}$或$x＜\dfrac{8}{3}$
D.$\dfrac{3}{2}＜x＜\dfrac{8}{3}$
1. 不等式组$\begin{cases}x＞\dfrac{3}{2}, \\ x＜\dfrac{8}{3}\end{cases}$的解集是 （ ）
A.$x＞\dfrac{3}{2}$
B.$x＜\dfrac{8}{3}$
C.$x＞\dfrac{3}{2}$或$x＜\dfrac{8}{3}$
D.$\dfrac{3}{2}＜x＜\dfrac{8}{3}$
答案
1.D
解析
【分析】
解这道题首先要回忆一元一次不等式组解集的判定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。首先先比较两个边界值$\frac{3}{2}$和$\frac{8}{3}$的大小，再结合两个不等式的不等号方向，对应口诀即可确定解集。
【解析】
第一步：比较两个边界的大小，通分可得$\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$，$\frac{8}{3}=\frac{16}{6}$，因此$\frac{3}{2}＜\frac{8}{3}$。
第二步：分析两个不等式的要求，$x＞\frac{3}{2}$是要求x大于较小的数，$x＜\frac{8}{3}$是要求x小于较大的数，符合“大小小大中间找”的解集判定规则，因此不等式组的解集为$\frac{3}{2}＜x＜\frac{8}{3}$，对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集的确定
2. 分数大小比较
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，核心是掌握不等式组解集的判定口诀，先确定两个边界的大小关系，再对应规则就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要回忆一元一次不等式组解集的判定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。首先先比较两个边界值$\frac{3}{2}$和$\frac{8}{3}$的大小，再结合两个不等式的不等号方向，对应口诀即可确定解集。
【解析】
第一步：比较两个边界的大小，通分可得$\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$，$\frac{8}{3}=\frac{16}{6}$，因此$\frac{3}{2}＜\frac{8}{3}$。
第二步：分析两个不等式的要求，$x＞\frac{3}{2}$是要求x大于较小的数，$x＜\frac{8}{3}$是要求x小于较大的数，符合“大小小大中间找”的解集判定规则，因此不等式组的解集为$\frac{3}{2}＜x＜\frac{8}{3}$，对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集的确定
2. 分数大小比较
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，核心是掌握不等式组解集的判定口诀，先确定两个边界的大小关系，再对应规则就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
2. 一元一次不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\ x ＞ b\end{cases}(a≠b)$的解集是$x ＞ b$，则$a$与$b$的关系为( )
A.$a ＞ b$
B.$a ＜ b$
C.$a ＞ b ＞ 0$
D.$a ＜ b ＜ 0$
A.$a ＞ b$
B.$a ＜ b$
C.$a ＞ b ＞ 0$
D.$a ＜ b ＜ 0$
答案
2.B
解析
【分析】
首先识别该不等式组的类型：两个不等式均为大于某常数的同向不等式，属于“同大”类的一元一次不等式组。回忆一元一次不等式组解集的判定规则，“同大取大”即解集为大于两个常数中更大的那个数。结合题目给出的解集为$x＞b$，可推断出$b$是两个常数中更大的数，再结合$a≠b$的条件，即可得出$a$与$b$的大小关系。
【解析】
解：题中不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\ x ＞ b\end{cases}(a≠b)$为两个同向大于的一元一次不等式，根据不等式组解集判定的“同大取大”原则：当两个不等式都为大于某数时，最终解集取大于两个常数中较大值的部分。
已知该不等式组的解集为$x＞b$，说明$b$是$a$、$b$中较大的数，结合$a≠b$的条件，可得$a＜b$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解集判定、同大取大原则
【点评】
本题是不等式组解集判定的基础题型，主要考查对不等式组解集判定口诀的掌握和应用，熟练记忆口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先识别该不等式组的类型：两个不等式均为大于某常数的同向不等式，属于“同大”类的一元一次不等式组。回忆一元一次不等式组解集的判定规则，“同大取大”即解集为大于两个常数中更大的那个数。结合题目给出的解集为$x＞b$，可推断出$b$是两个常数中更大的数，再结合$a≠b$的条件，即可得出$a$与$b$的大小关系。
【解析】
解：题中不等式组$\begin{cases}x ＞ a, \\ x ＞ b\end{cases}(a≠b)$为两个同向大于的一元一次不等式，根据不等式组解集判定的“同大取大”原则：当两个不等式都为大于某数时，最终解集取大于两个常数中较大值的部分。
已知该不等式组的解集为$x＞b$，说明$b$是$a$、$b$中较大的数，结合$a≠b$的条件，可得$a＜b$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解集判定、同大取大原则
【点评】
本题是不等式组解集判定的基础题型，主要考查对不等式组解集判定口诀的掌握和应用，熟练记忆口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3.若$a ＞ b$,则下列不等式①$-3 + a ＞ -3 + b$;②$-3a ＞ -3b$;③$-5a - 2 ＞ -5b - 2$;④$-\frac{a}{2} + 3 ＞ -\frac{b}{2} + 3$中,成立的个数是 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.A
解析
【分析】
要判断给出的不等式是否成立，需运用不等式的基本性质逐个验证：不等式两边加减同一个数时不等号方向不变；乘除同一个正数时不等号方向不变；乘除同一个负数时不等号方向必须改变。我们依次对4个式子分析即可得出成立的个数。
【解析】
已知$a＞b$，逐个判断：
① 不等式两边同时加$-3$，根据不等式性质，加减同一个数不等号方向不变，可得$-3+a＞-3+b$，故①成立；
② 不等式两边同时乘$-3$，$-3$是负数，不等号方向要改变，可得$-3a＜-3b$，故②不成立；
③ 不等式两边先乘$-5$（负数），不等号变向得$-5a＜-5b$，再同时减2，不等号方向不变，可得$-5a-2＜-5b-2$，故③不成立；
④ 不等式两边先乘$-\frac{1}{2}$（负数），不等号变向得$-\frac{a}{2}＜-\frac{b}{2}$，再同时加3，不等号方向不变，可得$-\frac{a}{2}+3＜-\frac{b}{2}+3$，故④不成立。
综上，只有1个不等式成立，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题的核心易错点是忽略不等式两边乘或除以负数时不等号方向需要改变，解题时要严格按照性质逐步推导，不要随意判断不等号方向。
【难度系数】
0.7
要判断给出的不等式是否成立，需运用不等式的基本性质逐个验证：不等式两边加减同一个数时不等号方向不变；乘除同一个正数时不等号方向不变；乘除同一个负数时不等号方向必须改变。我们依次对4个式子分析即可得出成立的个数。
【解析】
已知$a＞b$，逐个判断：
① 不等式两边同时加$-3$，根据不等式性质，加减同一个数不等号方向不变，可得$-3+a＞-3+b$，故①成立；
② 不等式两边同时乘$-3$，$-3$是负数，不等号方向要改变，可得$-3a＜-3b$，故②不成立；
③ 不等式两边先乘$-5$（负数），不等号变向得$-5a＜-5b$，再同时减2，不等号方向不变，可得$-5a-2＜-5b-2$，故③不成立；
④ 不等式两边先乘$-\frac{1}{2}$（负数），不等号变向得$-\frac{a}{2}＜-\frac{b}{2}$，再同时加3，不等号方向不变，可得$-\frac{a}{2}+3＜-\frac{b}{2}+3$，故④不成立。
综上，只有1个不等式成立，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题的核心易错点是忽略不等式两边乘或除以负数时不等号方向需要改变，解题时要严格按照性质逐步推导，不要随意判断不等号方向。
【难度系数】
0.7
4.检测游泳池的水质,要求三次检验的pH的平均值不小于7.2,且不大于7.8.已知第一次pH检测值为7.4,第二次pH检测值在7.0到7.9之间(包含7.0和7.9),若该游泳池检测合格,则第三次pH检测值的范围是 (
A.$7.2≤ x≤ 8.1$
B.$7.1≤ x≤ 8.0$
C.$7.2≤ x≤ 8.0$
D.$7.1≤ x≤ 8.1$
A
)A.$7.2≤ x≤ 8.1$
B.$7.1≤ x≤ 8.0$
C.$7.2≤ x≤ 8.0$
D.$7.1≤ x≤ 8.1$
答案
4.A
解析
【分析】
首先根据三次pH平均值的合格范围，转化得到三次pH总和的合格范围；结合已知的第一次检测值，进一步得到第二次与第三次检测值之和的范围。由于第二次检测值有固定的取值范围，要保证检测合格，需分别计算第三次的临界值：求第三次的最小值时，取第二次的最小检测值（此时要满足和的最低要求，第三次需取最小临界值）；求第三次的最大值时，取第二次的最大检测值（此时要满足和的最高要求，第三次需取最大临界值），最终得到第三次的取值范围。
【解析】
设第二次pH检测值为$y$，第三次pH检测值为$x$，根据题意可得：
1. 第二次的取值范围：$7.0 ≤ y ≤ 7.9$
2. 三次平均值合格条件：$7.2 ≤ \frac{7.4 + y + x}{3} ≤ 7.8$
给不等式三边同时乘3，得：
$21.6 ≤ 7.4 + y + x ≤ 23.4$
移项计算得第二次与第三次的和的范围：
$14.2 ≤ x + y ≤ 16$
① 求$x$的最小值：要满足$x + y ≥ 14.2$，当$y$取最小值$7.0$时，$x$取最小临界值：
$x_{\mathrm{min}} = 14.2 - 7.0 = 7.2$，即$x ≥ 7.2$
② 求$x$的最大值：要满足$x + y ≤ 16$，当$y$取最大值$7.9$时，$x$取最大临界值：
$x_{\mathrm{max}} = 16 - 7.9 = 8.1$，即$x ≤ 8.1$
综上，第三次pH检测值的范围是$7.2 ≤ x ≤ 8.1$。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，不等式应用，取值范围求解
【点评】
本题结合实际生活场景考查不等式的应用，解题关键是将平均值的约束转化为总和的约束，再结合已知量的边界值计算未知量的范围，需要注意计算边界时对应已知量的取值逻辑，避免混淆取最大值还是最小值。
【难度系数】
0.7
首先根据三次pH平均值的合格范围，转化得到三次pH总和的合格范围；结合已知的第一次检测值，进一步得到第二次与第三次检测值之和的范围。由于第二次检测值有固定的取值范围，要保证检测合格，需分别计算第三次的临界值：求第三次的最小值时，取第二次的最小检测值（此时要满足和的最低要求，第三次需取最小临界值）；求第三次的最大值时，取第二次的最大检测值（此时要满足和的最高要求，第三次需取最大临界值），最终得到第三次的取值范围。
【解析】
设第二次pH检测值为$y$，第三次pH检测值为$x$，根据题意可得：
1. 第二次的取值范围：$7.0 ≤ y ≤ 7.9$
2. 三次平均值合格条件：$7.2 ≤ \frac{7.4 + y + x}{3} ≤ 7.8$
给不等式三边同时乘3，得：
$21.6 ≤ 7.4 + y + x ≤ 23.4$
移项计算得第二次与第三次的和的范围：
$14.2 ≤ x + y ≤ 16$
① 求$x$的最小值：要满足$x + y ≥ 14.2$，当$y$取最小值$7.0$时，$x$取最小临界值：
$x_{\mathrm{min}} = 14.2 - 7.0 = 7.2$，即$x ≥ 7.2$
② 求$x$的最大值：要满足$x + y ≤ 16$，当$y$取最大值$7.9$时，$x$取最大临界值：
$x_{\mathrm{max}} = 16 - 7.9 = 8.1$，即$x ≤ 8.1$
综上，第三次pH检测值的范围是$7.2 ≤ x ≤ 8.1$。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，不等式应用，取值范围求解
【点评】
本题结合实际生活场景考查不等式的应用，解题关键是将平均值的约束转化为总和的约束，再结合已知量的边界值计算未知量的范围，需要注意计算边界时对应已知量的取值逻辑，避免混淆取最大值还是最小值。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}3x+a＜2,\\2x-b＞1\end{cases}$的解集为$-2＜x＜1$，则$(a-2)(b+1)=$ ______ .
1.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}3x+a＜2,\\2x-b＞1\end{cases}$的解集为$-2＜x＜1$，则$(a-2)(b+1)=$ ______ .
答案
1. 12
解析
【分析】
首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含参数a、b的式子表示出每个不等式的解集；再根据不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，将其与题目给出的已知解集-2＜x＜1对应，得到关于a、b的一元一次方程；最后解出a、b的值，代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$3x+a＜2$：
移项得$3x＜2-a$，
两边同时除以3得$x＜\frac{2-a}{3}$。
2. 解不等式$2x-b＞1$：
移项得$2x＞1+b$，
两边同时除以2得$x＞\frac{1+b}{2}$。
因此不等式组的解集为$\frac{1+b}{2}＜x＜\frac{2-a}{3}$。
已知不等式组的解集为$-2＜x＜1$，对应可得：
$\begin{cases}\frac{1+b}{2}=-2\\\frac{2-a}{3}=1\end{cases}$
分别解这两个方程：
由$\frac{1+b}{2}=-2$，两边乘2得$1+b=-4$，解得$b=-5$；
由$\frac{2-a}{3}=1$，两边乘3得$2-a=3$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=-5$代入$(a-2)(b+1)$得：
$(-1-2)×(-5+1)=(-3)×(-4)=12$。
【答案】
12
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组解集的应用，代数式求值
【点评】
本题是不等式组解集应用的基础题型，解题核心是先求出含参数的不等式组的解集，再与已知解集对应建立方程求解参数，掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含参数a、b的式子表示出每个不等式的解集；再根据不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，将其与题目给出的已知解集-2＜x＜1对应，得到关于a、b的一元一次方程；最后解出a、b的值，代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$3x+a＜2$：
移项得$3x＜2-a$，
两边同时除以3得$x＜\frac{2-a}{3}$。
2. 解不等式$2x-b＞1$：
移项得$2x＞1+b$，
两边同时除以2得$x＞\frac{1+b}{2}$。
因此不等式组的解集为$\frac{1+b}{2}＜x＜\frac{2-a}{3}$。
已知不等式组的解集为$-2＜x＜1$，对应可得：
$\begin{cases}\frac{1+b}{2}=-2\\\frac{2-a}{3}=1\end{cases}$
分别解这两个方程：
由$\frac{1+b}{2}=-2$，两边乘2得$1+b=-4$，解得$b=-5$；
由$\frac{2-a}{3}=1$，两边乘3得$2-a=3$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=-5$代入$(a-2)(b+1)$得：
$(-1-2)×(-5+1)=(-3)×(-4)=12$。
【答案】
12
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组解集的应用，代数式求值
【点评】
本题是不等式组解集应用的基础题型，解题核心是先求出含参数的不等式组的解集，再与已知解集对应建立方程求解参数，掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
