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2. 如果不等式组$\begin{cases}x ＞ 2m + 1, \\ x ＞ 7 - m\end{cases}$的解集是$x ＞ 7 - m$，则$m$ ______ .
答案
2. $≤2$
解析
【分析】
首先观察不等式组的两个不等式，均为x大于一个代数式，属于“同大”类型的一元一次不等式组。回忆不等式组解集的“同大取大”原则：当两个不等式都是大于号时，公共解集取两个右边表达式中更大的那个对应的不等式。本题已知解集为$x＞7-m$，说明$7-m$大于或等于$2m+1$（若二者相等，两个不等式解集一致，公共解集仍为该值，因此需要包含等号），接下来解关于m的一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
解：
∵不等式组$\begin{cases}x ＞ 2m + 1, \\ x ＞ 7 - m\end{cases}$的解集是$x ＞ 7 - m$，
根据“同大取大”的解集规律可得：
$7 - m ≥ 2m + 1$，
移项得：$-m - 2m ≥ 1 - 7$，
合并同类项得：$-3m ≥ -6$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≤ 2$。
【答案】
$≤2$
【知识点】
一元一次不等式组的解集规律、解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组的解集应用，解题核心是熟练掌握“同大取大”的解集判断规则，容易出错的地方是忽略两个边界值相等的情况，漏写等号，求解后可代入验证等号是否符合题意，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先观察不等式组的两个不等式，均为x大于一个代数式，属于“同大”类型的一元一次不等式组。回忆不等式组解集的“同大取大”原则：当两个不等式都是大于号时，公共解集取两个右边表达式中更大的那个对应的不等式。本题已知解集为$x＞7-m$，说明$7-m$大于或等于$2m+1$（若二者相等，两个不等式解集一致，公共解集仍为该值，因此需要包含等号），接下来解关于m的一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
解：
∵不等式组$\begin{cases}x ＞ 2m + 1, \\ x ＞ 7 - m\end{cases}$的解集是$x ＞ 7 - m$，
根据“同大取大”的解集规律可得：
$7 - m ≥ 2m + 1$，
移项得：$-m - 2m ≥ 1 - 7$，
合并同类项得：$-3m ≥ -6$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ≤ 2$。
【答案】
$≤2$
【知识点】
一元一次不等式组的解集规律、解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组的解集应用，解题核心是熟练掌握“同大取大”的解集判断规则，容易出错的地方是忽略两个边界值相等的情况，漏写等号，求解后可代入验证等号是否符合题意，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 已知正整数$x$满足$\frac{x-2}{3}＜0$，则代数式$(x-1)^{100}-\frac{5}{x}$的值是
-5
。答案
3. -5
解析
【分析】
解题时首先需要求解给定的一元一次不等式，得到x的取值范围；再结合x是正整数的限制条件，确定x的唯一取值；最后将x的值代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
1. 解不等式$\frac{x-2}{3}＜0$：
不等式两边同时乘3，不等号方向不变，得$x-2＜0$，解得$x＜2$。
2. 确定x的取值：
因为x是正整数，小于2的正整数只有1，所以$x=1$。
3. 代入代数式计算：
将$x=1$代入$(x-1)^{100}-\frac{5}{x}$得：
$\begin{aligned}原式&=(1-1)^{100}-\frac{5}{1}\\&=0^{100}-5\\&=0-5\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
-5
【知识点】
一元一次不等式解法；代数式求值；正整数的概念
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先通过解不等式结合正整数的限制确定x的取值，再代入代数式计算，计算时注意零的正整数次幂为0，不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要求解给定的一元一次不等式，得到x的取值范围；再结合x是正整数的限制条件，确定x的唯一取值；最后将x的值代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
1. 解不等式$\frac{x-2}{3}＜0$：
不等式两边同时乘3，不等号方向不变，得$x-2＜0$，解得$x＜2$。
2. 确定x的取值：
因为x是正整数，小于2的正整数只有1，所以$x=1$。
3. 代入代数式计算：
将$x=1$代入$(x-1)^{100}-\frac{5}{x}$得：
$\begin{aligned}原式&=(1-1)^{100}-\frac{5}{1}\\&=0^{100}-5\\&=0-5\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
-5
【知识点】
一元一次不等式解法；代数式求值；正整数的概念
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先通过解不等式结合正整数的限制确定x的取值，再代入代数式计算，计算时注意零的正整数次幂为0，不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知方程组$\begin{cases}5x -7y=5m+4, \\2x -y=3 -m\end{cases}$的解$x,y$的和不小于4，则$m$的取值范围是 ______ 。
答案
4. $m≤ -\frac{4}{9}$
解析
【分析】
要得到m的取值范围，首先需要解关于x、y的二元一次方程组，将x、y用含m的代数式表示，再根据“x、y的和不小于4”即x+y≥4，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
解方程组$\begin{cases}5x -7y=5m+4&① \\2x -y=3 -m&②\end{cases}$
由②×7得：$14x -7y = 21 -7m$ ③
用③-①消去y：
$\begin{aligned}14x-7y - (5x-7y) &= 21-7m -(5m+4) \\9x &= 17 -12m \\x &= \frac{17-12m}{9}\end{aligned}$
把$x = \frac{17-12m}{9}$代入②得：
$y = 2x -3 +m = 2×\frac{17-12m}{9} -3 +m = \frac{7-15m}{9}$
则$x+y = \frac{17-12m}{9} + \frac{7-15m}{9} = \frac{24-27m}{9} = \frac{8-9m}{3}$
根据题意x、y的和不小于4，可得不等式：
$\frac{8-9m}{3} ≥ 4$
两边同乘3得：$8-9m ≥ 12$
移项得：$-9m ≥ 4$
两边同除以-9，不等号方向改变，得：
$m ≤ -\frac{4}{9}$
【答案】
$m≤ -\frac{4}{9}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的应用；不等式的性质
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，解题核心是先将方程组的解用参数m表示，再结合题目的不等关系列不等式求解，解题时要注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.65
要得到m的取值范围，首先需要解关于x、y的二元一次方程组，将x、y用含m的代数式表示，再根据“x、y的和不小于4”即x+y≥4，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
解方程组$\begin{cases}5x -7y=5m+4&① \\2x -y=3 -m&②\end{cases}$
由②×7得：$14x -7y = 21 -7m$ ③
用③-①消去y：
$\begin{aligned}14x-7y - (5x-7y) &= 21-7m -(5m+4) \\9x &= 17 -12m \\x &= \frac{17-12m}{9}\end{aligned}$
把$x = \frac{17-12m}{9}$代入②得：
$y = 2x -3 +m = 2×\frac{17-12m}{9} -3 +m = \frac{7-15m}{9}$
则$x+y = \frac{17-12m}{9} + \frac{7-15m}{9} = \frac{24-27m}{9} = \frac{8-9m}{3}$
根据题意x、y的和不小于4，可得不等式：
$\frac{8-9m}{3} ≥ 4$
两边同乘3得：$8-9m ≥ 12$
移项得：$-9m ≥ 4$
两边同除以-9，不等号方向改变，得：
$m ≤ -\frac{4}{9}$
【答案】
$m≤ -\frac{4}{9}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的应用；不等式的性质
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合题，解题核心是先将方程组的解用参数m表示，再结合题目的不等关系列不等式求解，解题时要注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.65
三、解答题
1. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 3b ≥ 2a, \\ \frac{2}{3}a + x ≤ 2b\end{cases}$的解集是$-5 ≤ x ≤ 2$，求$a,b$的值。
1. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 3b ≥ 2a, \\ \frac{2}{3}a + x ≤ 2b\end{cases}$的解集是$-5 ≤ x ≤ 2$，求$a,b$的值。
答案
1. $a = -2,b = \frac{1}{3}$
解析
【分析】
解决本题的思路是：首先分别解出不等式组中两个不等式的解集，用含a、b的代数式表示x的取值范围；再根据题中给出的已知解集，让两个解集的对应边界相等，得到关于a、b的二元一次方程组；最后解这个二元一次方程组，就能求出a、b的值。
【解析】
第一步：解不等式组中的两个不等式
解不等式$x + 3b ≥ 2a$，移项得：
$x ≥ 2a - 3b$
解不等式$\frac{2}{3}a + x ≤ 2b$，移项得：
$x ≤ 2b - \frac{2}{3}a$
所以原不等式组的解集为$2a - 3b ≤ x ≤ 2b - \frac{2}{3}a$。
第二步：根据已知解集列方程组
已知不等式组的解集为$-5 ≤ x ≤ 2$，因此可得：
$\begin{cases}2a - 3b = -5&①\\2b - \frac{2}{3}a = 2&②\end{cases}$
第三步：解二元一次方程组
先整理方程②，两边同时乘3消去分母：
$6b - 2a = 6$，即$-2a + 6b = 6$ ③
将①+③消去a：
$(2a - 3b) + (-2a + 6b) = -5 + 6$
$3b = 1$
解得$b = \frac{1}{3}$
把$b = \frac{1}{3}$代入①：
$2a - 3×\frac{1}{3} = -5$
$2a - 1 = -5$
$2a = -4$
解得$a = -2$
【答案】
$a = -2,b = \frac{1}{3}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集
2. 解二元一次方程组
3. 不等式的性质
【点评】
本题属于不等式与方程组的综合基础题，解题的核心是抓住不等式组的解集与含参数的代数式解集的对应关系，建立方程组求解，计算时要注意分数运算的准确性，选择合适的消元方法可以简化计算。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路是：首先分别解出不等式组中两个不等式的解集，用含a、b的代数式表示x的取值范围；再根据题中给出的已知解集，让两个解集的对应边界相等，得到关于a、b的二元一次方程组；最后解这个二元一次方程组，就能求出a、b的值。
【解析】
第一步：解不等式组中的两个不等式
解不等式$x + 3b ≥ 2a$，移项得：
$x ≥ 2a - 3b$
解不等式$\frac{2}{3}a + x ≤ 2b$，移项得：
$x ≤ 2b - \frac{2}{3}a$
所以原不等式组的解集为$2a - 3b ≤ x ≤ 2b - \frac{2}{3}a$。
第二步：根据已知解集列方程组
已知不等式组的解集为$-5 ≤ x ≤ 2$，因此可得：
$\begin{cases}2a - 3b = -5&①\\2b - \frac{2}{3}a = 2&②\end{cases}$
第三步：解二元一次方程组
先整理方程②，两边同时乘3消去分母：
$6b - 2a = 6$，即$-2a + 6b = 6$ ③
将①+③消去a：
$(2a - 3b) + (-2a + 6b) = -5 + 6$
$3b = 1$
解得$b = \frac{1}{3}$
把$b = \frac{1}{3}$代入①：
$2a - 3×\frac{1}{3} = -5$
$2a - 1 = -5$
$2a = -4$
解得$a = -2$
【答案】
$a = -2,b = \frac{1}{3}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集
2. 解二元一次方程组
3. 不等式的性质
【点评】
本题属于不等式与方程组的综合基础题，解题的核心是抓住不等式组的解集与含参数的代数式解集的对应关系，建立方程组求解，计算时要注意分数运算的准确性，选择合适的消元方法可以简化计算。
【难度系数】
0.7
2.安全骑行齐参与,戴好头盔记心中.随着人们交通安全意识的增强,某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全,某商店购进A种头盔2个和B种头盔1个,共需208元,购进A种头盔3个和B种头盔5个,共需620元.
(1)求A,B两种头盔的单价;
(2)若该商店计划用不超过1368元的资金购进A,B两种头盔共20个,销售1个A种头盔可获利20元,销售1个B种头盔可获利32元,且购进A种头盔的数量不超过B种头盔数量的3倍,求该商店共有几种购买方案,假如这些头盔能全部售出,最大利润是多少元?
(1)求A,B两种头盔的单价;
(2)若该商店计划用不超过1368元的资金购进A,B两种头盔共20个,销售1个A种头盔可获利20元,销售1个B种头盔可获利32元,且购进A种头盔的数量不超过B种头盔数量的3倍,求该商店共有几种购买方案,假如这些头盔能全部售出,最大利润是多少元?
答案
2. (1)A种头盔的单价是60元,B种头盔的单价是88元
(2)2种购买方案 最大利润是472元
(2)2种购买方案 最大利润是472元
解析
【分析】
(1) 第一问是二元一次方程组的实际应用，先设A、B两种头盔的单价为未知数，结合题干给出的两组购买总费用的等量关系列方程组，求解即可得到两种头盔的单价。
(2) 第二问是不等式组与一次函数结合的最值问题，先设购进A种头盔的数量为m个，可得B种头盔数量为(20-m)个，再根据“总进货资金不超过1368元”“A种头盔数量不超过B种头盔数量的3倍”两个限制条件列不等式组，求出m的整数解即可得到购买方案数；最后根据总利润的计算规则列出总利润关于m的一次函数，结合一次函数的增减性就能求出最大利润。
【解析】
(1) 设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 208 \\3x + 5y = 620\end{cases}$
由第一个方程得$y=208-2x$，代入第二个方程：
$3x+5(208-2x)=620$
$3x+1040-10x=620$
$-7x=-420$
解得$x=60$
将$x=60$代入$y=208-2x$，得$y=208-2×60=88$
(2) 设购进A种头盔m个，则购进B种头盔$(20-m)$个，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60m + 88(20 - m) ≤ 1368 \\m ≤ 3(20 - m)\end{cases}$
解第一个不等式：
$60m+1760-88m≤1368$
$-28m≤-392$
$m≥14$
解第二个不等式：
$m≤60-3m$
$4m≤60$
$m≤15$
所以不等式组的解集为$14≤ m≤15$，因为m为正整数，所以m可取14、15，共2种购买方案。
设总利润为W元，根据题意得：
$W=20m+32(20-m)=-12m+640$
因为$-12＜0$，所以W随m的增大而减小，因此当$m=14$时，W取得最大值，最大值为$-12×14+640=472$元。
【答案】
(1)A种头盔的单价是60元,B种头盔的单价是88元
(2)2种购买方案 最大利润是472元
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活热点情境出题，考查了方程、不等式与一次函数的综合应用，解题核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，列对应的式子求解，求最值时注意结合一次函数的增减性分析，同时要注意购买数量需为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是二元一次方程组的实际应用，先设A、B两种头盔的单价为未知数，结合题干给出的两组购买总费用的等量关系列方程组，求解即可得到两种头盔的单价。
(2) 第二问是不等式组与一次函数结合的最值问题，先设购进A种头盔的数量为m个，可得B种头盔数量为(20-m)个，再根据“总进货资金不超过1368元”“A种头盔数量不超过B种头盔数量的3倍”两个限制条件列不等式组，求出m的整数解即可得到购买方案数；最后根据总利润的计算规则列出总利润关于m的一次函数，结合一次函数的增减性就能求出最大利润。
【解析】
(1) 设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 208 \\3x + 5y = 620\end{cases}$
由第一个方程得$y=208-2x$，代入第二个方程：
$3x+5(208-2x)=620$
$3x+1040-10x=620$
$-7x=-420$
解得$x=60$
将$x=60$代入$y=208-2x$，得$y=208-2×60=88$
(2) 设购进A种头盔m个，则购进B种头盔$(20-m)$个，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}60m + 88(20 - m) ≤ 1368 \\m ≤ 3(20 - m)\end{cases}$
解第一个不等式：
$60m+1760-88m≤1368$
$-28m≤-392$
$m≥14$
解第二个不等式：
$m≤60-3m$
$4m≤60$
$m≤15$
所以不等式组的解集为$14≤ m≤15$，因为m为正整数，所以m可取14、15，共2种购买方案。
设总利润为W元，根据题意得：
$W=20m+32(20-m)=-12m+640$
因为$-12＜0$，所以W随m的增大而减小，因此当$m=14$时，W取得最大值，最大值为$-12×14+640=472$元。
【答案】
(1)A种头盔的单价是60元,B种头盔的单价是88元
(2)2种购买方案 最大利润是472元
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活热点情境出题，考查了方程、不等式与一次函数的综合应用，解题核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，列对应的式子求解，求最值时注意结合一次函数的增减性分析，同时要注意购买数量需为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.7
