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1. 我国《数书九章》中记述的秦九韶公式为
（其中a，b，c为三角形的三边长，S为三角形的面积）；古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$（其中$p = \frac{a + b + c}{2}$）。请根据以上叙述完成下面的任务：
任务一：王师傅准备开垦一块边长分别为$2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，$2\sqrt{7}\ \mathrm{m}$的三角形空地种植花卉，请你用秦九韶公式帮助王师傅计算该三角形空地的面积。
（其中a，b，c为三角形的三边长，S为三角形的面积）；古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$（其中$p = \frac{a + b + c}{2}$）。请根据以上叙述完成下面的任务：任务一：王师傅准备开垦一块边长分别为$2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，$2\sqrt{7}\ \mathrm{m}$的三角形空地种植花卉，请你用秦九韶公式帮助王师傅计算该三角形空地的面积。
答案
任务一：$2\sqrt{26}\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
要使用秦九韶公式计算三角形面积，首先观察公式的结构：公式中仅需要三边长的平方参与运算，因此第一步先计算出三边长的平方值，再依次计算公式内的$a^2b^2$、$(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2$两项，求差后乘以$\frac{1}{4}$，最后开平方即可得到面积，代入数值时注意计算准确即可。
【解析】
设该三角形的三边长分别为$a=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$b=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，$c=2\sqrt{7}\ \mathrm{m}$，先计算各边长的平方：
$a^2=(2\sqrt{5})^2=4×5=20$，
$b^2=(2\sqrt{6})^2=4×6=24$，
$c^2=(2\sqrt{7})^2=4×7=28$。
将上述结果代入秦九韶公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[20×24-(\frac{20+24-28}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[480 - 8^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×(480-64)}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×416}\\&=\sqrt{104}\\&=2\sqrt{26}\ (\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{26}\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
二次根式的运算，秦九韶公式的应用
【点评】
本题结合传统数学文化考查新公式的套用能力，解题核心是先准确计算各边长的平方，再按照公式的运算顺序逐步计算，计算过程中注意二次根式化简规则即可正确求解。
【难度系数】
0.7
要使用秦九韶公式计算三角形面积，首先观察公式的结构：公式中仅需要三边长的平方参与运算，因此第一步先计算出三边长的平方值，再依次计算公式内的$a^2b^2$、$(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2$两项，求差后乘以$\frac{1}{4}$，最后开平方即可得到面积，代入数值时注意计算准确即可。
【解析】
设该三角形的三边长分别为$a=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$b=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，$c=2\sqrt{7}\ \mathrm{m}$，先计算各边长的平方：
$a^2=(2\sqrt{5})^2=4×5=20$，
$b^2=(2\sqrt{6})^2=4×6=24$，
$c^2=(2\sqrt{7})^2=4×7=28$。
将上述结果代入秦九韶公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[20×24-(\frac{20+24-28}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[480 - 8^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×(480-64)}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×416}\\&=\sqrt{104}\\&=2\sqrt{26}\ (\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{26}\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
二次根式的运算，秦九韶公式的应用
【点评】
本题结合传统数学文化考查新公式的套用能力，解题核心是先准确计算各边长的平方，再按照公式的运算顺序逐步计算，计算过程中注意二次根式化简规则即可正确求解。
【难度系数】
0.7
任务二：图Q3-1是小情制作的一个风筝模型，其中$AB=BC=50\ \mathrm{cm}$，$AD=CD=40\ \mathrm{cm}$，$BD=60\ \mathrm{cm}$，请你用海伦公式帮助小情求出风筝模型$ABCD$的面积.
图Q3-1
任务三：根据前两个任务的计算和你对秦九韶公式和海伦公式的观察，你认为什么情况下计算三角形面积适合用秦九韶公式，什么情况下计算三角形面积适合用海伦公式？
图Q3-1
任务三：根据前两个任务的计算和你对秦九韶公式和海伦公式的观察，你认为什么情况下计算三角形面积适合用秦九韶公式，什么情况下计算三角形面积适合用海伦公式？
答案
任务二：$750\sqrt{7}\ \mathrm{cm^2}$
任务三：略
任务三：略
解析
【分析】
首先观察风筝模型ABCD，对角线BD将其分为△ABD和△CBD两个三角形，两个三角形三边对应相等，面积相等。我们可以先利用海伦公式计算其中一个三角形的面积，再乘以2得到总面积。海伦公式使用步骤：先求三角形的半周长$p=\frac{a+b+c}{2}$，再代入公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$计算面积即可。
【解析】
任务二：
∵ 对角线BD将四边形ABCD分为△ABD和△CBD，其中△ABD三边长为$AB=50\ \mathrm{cm}$、$AD=40\ \mathrm{cm}$、$BD=60\ \mathrm{cm}$，△CBD三边长为$BC=50\ \mathrm{cm}$、$CD=40\ \mathrm{cm}$、$BD=60\ \mathrm{cm}$，两三角形三边对应相等，故面积相等。
第一步：计算△ABD的半周长
$p_1=\frac{AB+AD+BD}{2}=\frac{50+40+60}{2}=75\ \mathrm{cm}$
第二步：代入海伦公式计算△ABD的面积
$S_1=\sqrt{p_1(p_1-AB)(p_1-AD)(p_1-BD)}$
$=\sqrt{75×(75-50)×(75-40)×(75-60)}$
$=\sqrt{75×25×35×15}=375\sqrt{7}\ \mathrm{cm^2}$
第三步：计算四边形总面积
$S_{ABCD}=2S_1=2×375\sqrt{7}=750\sqrt{7}\ \mathrm{cm^2}$
任务三：
当三角形三边长均为整数，且计算得到的半周长为整数时，使用海伦公式更简便；当三角形三边长为无理数，或半周长不是整数，直接计算三边的平方更简便时，适合使用秦九韶公式。
【答案】
任务二：$\boxed{750\sqrt{7}\ \mathrm{cm^2}}$
任务三：当三角形三边长为整数且半周长为整数时适合用海伦公式；当三边长为无理数或半周长非整数，计算三边平方更简便时适合用秦九韶公式（表述合理即可）
【知识点】
海伦公式、图形分割求面积
【点评】
本题结合生活中的风筝模型考查海伦公式的实际应用，解题核心是将不规则四边形拆分为两个三角形分别计算面积，既考查了公式的掌握情况，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察风筝模型ABCD，对角线BD将其分为△ABD和△CBD两个三角形，两个三角形三边对应相等，面积相等。我们可以先利用海伦公式计算其中一个三角形的面积，再乘以2得到总面积。海伦公式使用步骤：先求三角形的半周长$p=\frac{a+b+c}{2}$，再代入公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$计算面积即可。
【解析】
任务二：
∵ 对角线BD将四边形ABCD分为△ABD和△CBD，其中△ABD三边长为$AB=50\ \mathrm{cm}$、$AD=40\ \mathrm{cm}$、$BD=60\ \mathrm{cm}$，△CBD三边长为$BC=50\ \mathrm{cm}$、$CD=40\ \mathrm{cm}$、$BD=60\ \mathrm{cm}$，两三角形三边对应相等，故面积相等。
第一步：计算△ABD的半周长
$p_1=\frac{AB+AD+BD}{2}=\frac{50+40+60}{2}=75\ \mathrm{cm}$
第二步：代入海伦公式计算△ABD的面积
$S_1=\sqrt{p_1(p_1-AB)(p_1-AD)(p_1-BD)}$
$=\sqrt{75×(75-50)×(75-40)×(75-60)}$
$=\sqrt{75×25×35×15}=375\sqrt{7}\ \mathrm{cm^2}$
第三步：计算四边形总面积
$S_{ABCD}=2S_1=2×375\sqrt{7}=750\sqrt{7}\ \mathrm{cm^2}$
任务三：
当三角形三边长均为整数，且计算得到的半周长为整数时，使用海伦公式更简便；当三角形三边长为无理数，或半周长不是整数，直接计算三边的平方更简便时，适合使用秦九韶公式。
【答案】
任务二：$\boxed{750\sqrt{7}\ \mathrm{cm^2}}$
任务三：当三角形三边长为整数且半周长为整数时适合用海伦公式；当三边长为无理数或半周长非整数，计算三边平方更简便时适合用秦九韶公式（表述合理即可）
【知识点】
海伦公式、图形分割求面积
【点评】
本题结合生活中的风筝模型考查海伦公式的实际应用，解题核心是将不规则四边形拆分为两个三角形分别计算面积，既考查了公式的掌握情况，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图 Q3-2 所示，两个村庄 A，B 在河的同侧，A，B 两村到笔直河岸 $ l $ 的距离分别为 $ AC = 1 \ \mathrm{km} $，$ BD = 3 \ \mathrm{km} $，测得 $ CD = 3 \ \mathrm{km} $. 现计划靠河岸在 C，D 两点间建一自来水厂，向 A，B 两村供自来水(要求水由河岸边直接输送到村中)，铺设水管的工程费用为每千米 2 万元. 若使铺设水管的费用最少，应如何确定自来水厂的位置 O(在图上画出 O 点)？并计算铺设水管的最少费用.
答案
作点A关于l对称的点A'，连接A'B交CD于一点，此点即为自来水厂的位置O，铺设水管的最少费用为10万元
解析
【分析】
要使铺设水管的费用最少，需使从水厂O到A、B两村的水管总长度AO+BO最短。本题属于直线同侧两点到直线上一点的距离和最小的经典最短路径问题，解题思路如下：①利用轴对称的性质，作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点转化为异侧两点；②根据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一个点，与直线l的交点即为所求的点O；③构造直角三角形，利用勾股定理计算最短总长度，再结合每千米的费用求出最少总费用。
【解析】
1. 确定水厂位置O：
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与线段CD的交点即为自来水厂的位置O。
原理：
∵点A和A'关于l对称，
∴AO=A'O，因此AO+BO = A'O+BO。根据两点之间线段最短，此时A'O+BO的最小值为线段A'B的长度，即水管总长度最短。
2. 计算最少费用：
过点A'作A'E⊥BD，交BD的延长线于点E。
易知四边形A'CDE为矩形，因此：
A'E = CD = 3 km，DE = A'C = AC = 1 km，
∴ BE = BD + DE = 3 + 1 = 4 km。
在Rt△A'BE中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'E^2 + BE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ km。
即水管最短总长度为5 km，总费用为 $5 × 2 = 10$ 万元。
【答案】
作点A关于l对称的点A'，连接A'B交CD于一点，此点即为自来水厂的位置O，铺设水管的最少费用为10万元
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景，将工程费用优化问题转化为数学中的最短路径问题，考查了轴对称性质和勾股定理的综合应用，解题核心是通过对称变换将同侧点路径和问题转化为异侧两点线段最短问题，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
要使铺设水管的费用最少，需使从水厂O到A、B两村的水管总长度AO+BO最短。本题属于直线同侧两点到直线上一点的距离和最小的经典最短路径问题，解题思路如下：①利用轴对称的性质，作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点转化为异侧两点；②根据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一个点，与直线l的交点即为所求的点O；③构造直角三角形，利用勾股定理计算最短总长度，再结合每千米的费用求出最少总费用。
【解析】
1. 确定水厂位置O：
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与线段CD的交点即为自来水厂的位置O。
原理：
∵点A和A'关于l对称，
∴AO=A'O，因此AO+BO = A'O+BO。根据两点之间线段最短，此时A'O+BO的最小值为线段A'B的长度，即水管总长度最短。
2. 计算最少费用：
过点A'作A'E⊥BD，交BD的延长线于点E。
易知四边形A'CDE为矩形，因此：
A'E = CD = 3 km，DE = A'C = AC = 1 km，
∴ BE = BD + DE = 3 + 1 = 4 km。
在Rt△A'BE中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'E^2 + BE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ km。
即水管最短总长度为5 km，总费用为 $5 × 2 = 10$ 万元。
【答案】
作点A关于l对称的点A'，连接A'B交CD于一点，此点即为自来水厂的位置O，铺设水管的最少费用为10万元
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景，将工程费用优化问题转化为数学中的最短路径问题，考查了轴对称性质和勾股定理的综合应用，解题核心是通过对称变换将同侧点路径和问题转化为异侧两点线段最短问题，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
