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3. 暑假期间，小情计划制作一架小型飞机模型，如图 Q3-3 所示的四边形ABCD是飞机的尾翼示意图，小情测量发现AB=26 cm，AD=10 cm，∠DBC=90°，BC=32 cm，CD=40 cm. 根据设计要求需保证AD//BC，请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由.
图 Q3-3
图 Q3-3
答案
该尾翼符合设计要求，说明理由略
解析
【分析】
要判断尾翼是否符合设计要求，本质是判断AD是否平行于BC。我们可以通过证明内错角相等推导两直线平行：已知∠DBC=90°，若能证明∠ADB=90°，则两个内错角相等，即可得AD//BC。解题步骤思路为：首先在Rt△DBC中利用勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若∠ADB为直角即可完成证明。
【解析】
解：在Rt△DBC中，∠DBC=90°，BC=32 cm，CD=40 cm，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{40^2-32^2}=\sqrt{1600-1024}=\sqrt{576}=24\ \mathrm{cm}$
在△ABD中，AD=10 cm，BD=24 cm，AB=26 cm，
$\because AD^2+BD^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$
$\therefore AD^2+BD^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC=90°$
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AD// BC$
因此该尾翼符合设计要求。
【答案】
该尾翼符合设计要求。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的判定
【点评】
本题结合飞机模型制作的实际情境考查几何知识的综合应用，解题关键是先通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理逆定理得到直角，最终通过内错角相等证明两直线平行，注重基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
要判断尾翼是否符合设计要求，本质是判断AD是否平行于BC。我们可以通过证明内错角相等推导两直线平行：已知∠DBC=90°，若能证明∠ADB=90°，则两个内错角相等，即可得AD//BC。解题步骤思路为：首先在Rt△DBC中利用勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若∠ADB为直角即可完成证明。
【解析】
解：在Rt△DBC中，∠DBC=90°，BC=32 cm，CD=40 cm，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{40^2-32^2}=\sqrt{1600-1024}=\sqrt{576}=24\ \mathrm{cm}$
在△ABD中，AD=10 cm，BD=24 cm，AB=26 cm，
$\because AD^2+BD^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$
$\therefore AD^2+BD^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC=90°$
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AD// BC$
因此该尾翼符合设计要求。
【答案】
该尾翼符合设计要求。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的判定
【点评】
本题结合飞机模型制作的实际情境考查几何知识的综合应用，解题关键是先通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理逆定理得到直角，最终通过内错角相等证明两直线平行，注重基础知识点的结合应用。
【难度系数】
0.7
4. 七巧板是中国古代劳动人民的发明，我国某一本古籍中写道：“近又有《七巧图》，其式五，其数七，其变化之式多至千余.”
【动手操作】第一步：在如图Q3-4①所示的16等份的硬方格纸板上(每个小正方形的边长均为1)，用一根彩色笔按如图所示的方式在大正方形中画线；
第二步：用小刀沿着所画线段裁剪开，就形成了如图Q3-4②所示的七巧板.
【问题解决】将图Q3-4②所示的七巧板的各个部分标上序号.
(1)请你利用制作的七巧板在网格图Q3-4③④(每个小正方形的边长均为1)中拼出平行四边形、正方形、菱形、矩形，并标上所用七巧板部分的序号；
(2)观察并计算不同数量板块拼出的特殊平行四边形的面积，并说明它们之间有什么关系.
【动手操作】第一步：在如图Q3-4①所示的16等份的硬方格纸板上(每个小正方形的边长均为1)，用一根彩色笔按如图所示的方式在大正方形中画线；
第二步：用小刀沿着所画线段裁剪开，就形成了如图Q3-4②所示的七巧板.
【问题解决】将图Q3-4②所示的七巧板的各个部分标上序号.
(1)请你利用制作的七巧板在网格图Q3-4③④(每个小正方形的边长均为1)中拼出平行四边形、正方形、菱形、矩形，并标上所用七巧板部分的序号；
(2)观察并计算不同数量板块拼出的特殊平行四边形的面积，并说明它们之间有什么关系.
答案
解：
先对七巧板各部分标注序号：将两个大等腰直角三角形标为1、2，中等腰直角三角形标为3，小正方形标为4，小等腰直角三角形标为5，平行四边形标为6，另一个小等腰直角三角形标为7。
(1) 拼法示例（拼法不唯一，所有图形顶点均落在网格格点上）：
平行四边形：使用板块4、5、6、7拼接，得到底为3、高为2的平行四边形，在图③对应区域标注对应序号；
正方形：使用全部7块板块拼接，得到边长为4的正方形，在图③对应区域标注所有7个序号；
菱形：将板块1、2的斜边完全重合拼接，得到边长为$2\sqrt{2}$的菱形，在图④对应区域标注序号1、2；
矩形：使用板块3、4、5、6、7拼接，得到长为4、宽为2的矩形，在图④对应区域标注对应序号。
(2) 原大正方形总面积为$4×4=16$，七巧板各板块面积分别为：$S_1=S_2=4$，$S_3=S_4=S_6=2$，$S_5=S_7=1$。
不同数量板块拼出的特殊平行四边形面积：
2块板块拼接：最小正方形面积为$S_5+S_7=2$，菱形面积为$S_1+S_2=8$；
3块板块拼接：平行四边形面积为$S_5+S_6+S_7=4$；
4块板块拼接：正方形面积为$S_3+S_4+S_5+S_7=6$；
5块板块拼接：矩形面积为$S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=8$；
6块板块拼接：正方形面积为$S_1+S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=12$；
7块板块拼接：大正方形面积为16。
关系：所有拼出的特殊平行四边形的面积均为2的正整数倍，随着拼接所用板块数量增加，可拼出的特殊平行四边形的最大面积依次递增2，7块板块拼接得到的最大特殊平行四边形的面积等于七巧板整体的总面积16。
先对七巧板各部分标注序号：将两个大等腰直角三角形标为1、2，中等腰直角三角形标为3，小正方形标为4，小等腰直角三角形标为5，平行四边形标为6，另一个小等腰直角三角形标为7。
(1) 拼法示例（拼法不唯一，所有图形顶点均落在网格格点上）：
平行四边形：使用板块4、5、6、7拼接，得到底为3、高为2的平行四边形，在图③对应区域标注对应序号；
正方形：使用全部7块板块拼接，得到边长为4的正方形，在图③对应区域标注所有7个序号；
菱形：将板块1、2的斜边完全重合拼接，得到边长为$2\sqrt{2}$的菱形，在图④对应区域标注序号1、2；
矩形：使用板块3、4、5、6、7拼接，得到长为4、宽为2的矩形，在图④对应区域标注对应序号。
(2) 原大正方形总面积为$4×4=16$，七巧板各板块面积分别为：$S_1=S_2=4$，$S_3=S_4=S_6=2$，$S_5=S_7=1$。
不同数量板块拼出的特殊平行四边形面积：
2块板块拼接：最小正方形面积为$S_5+S_7=2$，菱形面积为$S_1+S_2=8$；
3块板块拼接：平行四边形面积为$S_5+S_6+S_7=4$；
4块板块拼接：正方形面积为$S_3+S_4+S_5+S_7=6$；
5块板块拼接：矩形面积为$S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=8$；
6块板块拼接：正方形面积为$S_1+S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=12$；
7块板块拼接：大正方形面积为16。
关系：所有拼出的特殊平行四边形的面积均为2的正整数倍，随着拼接所用板块数量增加，可拼出的特殊平行四边形的最大面积依次递增2，7块板块拼接得到的最大特殊平行四边形的面积等于七巧板整体的总面积16。
解析
【分析】
解决本题首先要明确七巧板各组成板块的形状、边长和面积参数，先给7个板块标注序号，确定每个板块的基础数据。(1)问拼接特殊平行四边形时，结合平行四边形、正方形、菱形、矩形的边、角特征选择对应板块拼接，保证图形顶点落在网格格点上即可，拼法不唯一。(2)问先计算单个板块的面积，再计算不同数量板块拼接得到的特殊平行四边形的面积，对比数值总结规律即可。
【解析】
首先对七巧板各部分标注序号：将两个大等腰直角三角形标为1、2，中等腰直角三角形标为3，小正方形标为4，小等腰直角三角形标为5，平行四边形标为6，另一个小等腰直角三角形标为7。
(1) 拼法示例（拼法不唯一，所有图形顶点均落在网格格点上）：
平行四边形：使用板块4、5、6、7拼接，得到底为3、高为2的平行四边形，在图③对应区域标注对应序号；
正方形：使用全部7块板块拼接，得到边长为4的正方形，在图③对应区域标注所有7个序号；
菱形：将板块1、2的斜边完全重合拼接，得到边长为$2\sqrt{2}$的菱形，在图④对应区域标注序号1、2；
矩形：使用板块3、4、5、6、7拼接，得到长为4、宽为2的矩形，在图④对应区域标注对应序号。
(2) 原大正方形总面积为$4×4=16$，七巧板各板块面积分别为：$S_1=S_2=4$，$S_3=S_4=S_6=2$，$S_5=S_7=1$。
不同数量板块拼出的特殊平行四边形面积：
2块板块拼接：最小正方形面积为$S_5+S_7=2$，菱形面积为$S_1+S_2=8$；
3块板块拼接：平行四边形面积为$S_5+S_6+S_7=4$；
4块板块拼接：正方形面积为$S_3+S_4+S_5+S_7=6$；
5块板块拼接：矩形面积为$S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=8$；
6块板块拼接：正方形面积为$S_1+S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=12$；
7块板块拼接：大正方形面积为16。
关系：所有拼出的特殊平行四边形的面积均为2的正整数倍，随着拼接所用板块数量增加，可拼出的特殊平行四边形的最大面积依次递增2，7块板块拼接得到的最大特殊平行四边形的面积等于七巧板整体的总面积16。
【答案】
(1) 拼法不唯一，上述示例合理即可，按要求在对应网格中标注序号；
(2) 不同板块拼接的特殊平行四边形面积分别为2、4、6、8、12、16，所有拼出的特殊平行四边形面积均为2的正整数倍，拼接所用板块越多，可拼出的最大特殊平行四边形面积依次递增2，7块拼接的最大面积等于七巧板总面积16。
【知识点】
七巧板拼接、特殊平行四边形性质、图形面积计算
【点评】
本题以传统发明七巧板为背景，将动手操作和数学知识结合，既考查了特殊平行四边形的相关性质，也锻炼了实践操作和归纳总结能力，题目开放性强，能激发探究兴趣。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确七巧板各组成板块的形状、边长和面积参数，先给7个板块标注序号，确定每个板块的基础数据。(1)问拼接特殊平行四边形时，结合平行四边形、正方形、菱形、矩形的边、角特征选择对应板块拼接，保证图形顶点落在网格格点上即可，拼法不唯一。(2)问先计算单个板块的面积，再计算不同数量板块拼接得到的特殊平行四边形的面积，对比数值总结规律即可。
【解析】
首先对七巧板各部分标注序号：将两个大等腰直角三角形标为1、2，中等腰直角三角形标为3，小正方形标为4，小等腰直角三角形标为5，平行四边形标为6，另一个小等腰直角三角形标为7。
(1) 拼法示例（拼法不唯一，所有图形顶点均落在网格格点上）：
平行四边形：使用板块4、5、6、7拼接，得到底为3、高为2的平行四边形，在图③对应区域标注对应序号；
正方形：使用全部7块板块拼接，得到边长为4的正方形，在图③对应区域标注所有7个序号；
菱形：将板块1、2的斜边完全重合拼接，得到边长为$2\sqrt{2}$的菱形，在图④对应区域标注序号1、2；
矩形：使用板块3、4、5、6、7拼接，得到长为4、宽为2的矩形，在图④对应区域标注对应序号。
(2) 原大正方形总面积为$4×4=16$，七巧板各板块面积分别为：$S_1=S_2=4$，$S_3=S_4=S_6=2$，$S_5=S_7=1$。
不同数量板块拼出的特殊平行四边形面积：
2块板块拼接：最小正方形面积为$S_5+S_7=2$，菱形面积为$S_1+S_2=8$；
3块板块拼接：平行四边形面积为$S_5+S_6+S_7=4$；
4块板块拼接：正方形面积为$S_3+S_4+S_5+S_7=6$；
5块板块拼接：矩形面积为$S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=8$；
6块板块拼接：正方形面积为$S_1+S_3+S_4+S_5+S_6+S_7=12$；
7块板块拼接：大正方形面积为16。
关系：所有拼出的特殊平行四边形的面积均为2的正整数倍，随着拼接所用板块数量增加，可拼出的特殊平行四边形的最大面积依次递增2，7块板块拼接得到的最大特殊平行四边形的面积等于七巧板整体的总面积16。
【答案】
(1) 拼法不唯一，上述示例合理即可，按要求在对应网格中标注序号；
(2) 不同板块拼接的特殊平行四边形面积分别为2、4、6、8、12、16，所有拼出的特殊平行四边形面积均为2的正整数倍，拼接所用板块越多，可拼出的最大特殊平行四边形面积依次递增2，7块拼接的最大面积等于七巧板总面积16。
【知识点】
七巧板拼接、特殊平行四边形性质、图形面积计算
【点评】
本题以传统发明七巧板为背景，将动手操作和数学知识结合，既考查了特殊平行四边形的相关性质，也锻炼了实践操作和归纳总结能力，题目开放性强，能激发探究兴趣。
【难度系数】
0.6
