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2. 阅读材料，解决下面的问题：
反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里，反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况，然后推出矛盾，从而证明原结论的正确性. 今天，就让我们借助反证法，深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念，像整数和分数统称为有理数，而无限不循环小数是无理数. 并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数，比如证明$\sqrt{2}$是无理数时，先假设$\sqrt{2}$是有理数，写成$\frac{m}{n}$（$m、n$是正整数，且没有大于1的公约数）的形式，然后通过一系列推理得出矛盾，进而证明$\sqrt{2}$是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明$\sqrt{2}$是无理数的过程，总结反证法的证明步骤.
(2)实践操作:你能仿照证明$\sqrt{2}$是无理数的方法，用反证法证明$\sqrt{2}-1$也是无理数吗？请写出详细的证明过程.
(3)拓展思考:除了$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}-1$，你还能想到哪些数可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数呢？选择一个数，和小组同学一起讨论并尝试证明.
反证法的奇妙之旅——探究数的性质
在数学的世界里，反证法是一种非常有趣且强大的证明方法. 通过假设与结论相反的情况，然后推出矛盾，从而证明原结论的正确性. 今天，就让我们借助反证法，深入探究数的性质.
【知识回顾】
我们已经学习了有理数和无理数的概念，像整数和分数统称为有理数，而无限不循环小数是无理数. 并且我们还知道可以用反证法来证明一个数是无理数，比如证明$\sqrt{2}$是无理数时，先假设$\sqrt{2}$是有理数，写成$\frac{m}{n}$（$m、n$是正整数，且没有大于1的公约数）的形式，然后通过一系列推理得出矛盾，进而证明$\sqrt{2}$是无理数.
【探究任务】
(1)小组讨论:仔细回顾证明$\sqrt{2}$是无理数的过程，总结反证法的证明步骤.
(2)实践操作:你能仿照证明$\sqrt{2}$是无理数的方法，用反证法证明$\sqrt{2}-1$也是无理数吗？请写出详细的证明过程.
(3)拓展思考:除了$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}-1$，你还能想到哪些数可以尝试用反证法来探究其是有理数还是无理数呢？选择一个数，和小组同学一起讨论并尝试证明.
答案
(1) 反证法证明步骤:第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2) 证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,$\therefore\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$(p、q是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.$\because p、q$是正整数,$\therefore\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.因此$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3) 答案不唯一,例如:探究$\sqrt{5}$是无理数.假设$\sqrt{5}$不是无理数,那么$\sqrt{5}$是有理数,$\therefore\sqrt{5}$可以写成$\frac{a}{b}$(a、b是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.根据平方根的意义,$(\frac{a}{b})^2=5$,即$\frac{a^2}{b^2}=5$,$5b^2=a^2$.$\because5b^2$是5的倍数,$\therefore a^2$是5的倍数,即a是5的倍数,设$a=5c$(c是正整数).把$a=5c$代入$5b^2=a^2$,得$5b^2=25c^2$,即$b^2=5c^2$,$\therefore b$也是5的倍数,即a、b都是5的倍数,这与a、b没有大于1的公约数相矛盾.$\therefore\sqrt{5}$不是有理数,它是无理数.
(2) 证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,$\therefore\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$(p、q是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.$\because p、q$是正整数,$\therefore\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.因此$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3) 答案不唯一,例如:探究$\sqrt{5}$是无理数.假设$\sqrt{5}$不是无理数,那么$\sqrt{5}$是有理数,$\therefore\sqrt{5}$可以写成$\frac{a}{b}$(a、b是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.根据平方根的意义,$(\frac{a}{b})^2=5$,即$\frac{a^2}{b^2}=5$,$5b^2=a^2$.$\because5b^2$是5的倍数,$\therefore a^2$是5的倍数,即a是5的倍数,设$a=5c$(c是正整数).把$a=5c$代入$5b^2=a^2$,得$5b^2=25c^2$,即$b^2=5c^2$,$\therefore b$也是5的倍数,即a、b都是5的倍数,这与a、b没有大于1的公约数相矛盾.$\therefore\sqrt{5}$不是有理数,它是无理数.
解析
【分析】
本题围绕反证法的应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：回顾证明$\sqrt{2}$是无理数的过程，梳理反证法的逻辑顺序：首先否定原结论，再基于假设开展推理，得出矛盾后推翻假设，最终肯定原结论，按这个逻辑提炼步骤即可。
2. 第(2)问：按照反证法的步骤操作，先假设$\sqrt{2}-1$是有理数，将其变形为用有理数表示$\sqrt{2}$的形式，结合已知$\sqrt{2}$是无理数的结论推出矛盾，即可完成证明。
3. 第(3)问：选择开方开不尽的数（如$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$等），仿照证明$\sqrt{2}$是无理数的流程：先假设该数是有理数，写成最简分数形式，平方后推导得出分子分母存在公共的大于1的因数，和最简分数的定义矛盾，即可证明其为无理数。
【解析】
(1) 梳理证明$\sqrt{2}$是无理数的流程，可提炼反证法的核心步骤：先对原结论提出反设，再结合已知条件开展逻辑推理，得到和已有公理、定理、已知条件矛盾的结果，即可推翻反设，判定原结论成立。
(2) 证明$\sqrt{2}-1$是无理数时，先假设它是有理数，将其整理为最简分数形式后变形，可得$\sqrt{2}$也为有理数，和已知$\sqrt{2}$是无理数的结论冲突，因此假设不成立，$\sqrt{2}-1$是无理数。
(3) 拓展探究可任选开方开不尽的正整数的算术平方根，以$\sqrt{5}$为例：先假设$\sqrt{5}$是有理数，写成最简分数$\frac{a}{b}$的形式，平方后推导可得$a$、$b$均为5的倍数，和$\frac{a}{b}$是最简分数的前提矛盾，因此$\sqrt{5}$是无理数。
【答案】
(1) 反证法证明步骤:第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2) 证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,$\therefore\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$(p、q是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.$\because p、q$是正整数,$\therefore\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.因此$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3) 答案不唯一,例如:探究$\sqrt{5}$是无理数.假设$\sqrt{5}$不是无理数,那么$\sqrt{5}$是有理数,$\therefore\sqrt{5}$可以写成$\frac{a}{b}$(a、b是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.根据平方根的意义,$(\frac{a}{b})^2=5$,即$\frac{a^2}{b^2}=5$,$5b^2=a^2$.$\because5b^2$是5的倍数,$\therefore a^2$是5的倍数,即a是5的倍数,设$a=5c$(c是正整数).把$a=5c$代入$5b^2=a^2$,得$5b^2=25c^2$,即$b^2=5c^2$,$\therefore b$也是5的倍数,即a、b都是5的倍数,这与a、b没有大于1的公约数相矛盾.$\therefore\sqrt{5}$不是有理数,它是无理数.
【知识点】
1. 反证法
2. 有理数与无理数的定义
3. 无理数的证明
【点评】
本题以经典的无理数证明为载体，引导学生掌握反证法的逻辑和应用，既考查对基础概念、证明方法的理解，又锻炼逻辑推理能力，拓展部分还能激发自主探究的意识，兼顾基础性和拓展性。
【难度系数】
0.7
本题围绕反证法的应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：回顾证明$\sqrt{2}$是无理数的过程，梳理反证法的逻辑顺序：首先否定原结论，再基于假设开展推理，得出矛盾后推翻假设，最终肯定原结论，按这个逻辑提炼步骤即可。
2. 第(2)问：按照反证法的步骤操作，先假设$\sqrt{2}-1$是有理数，将其变形为用有理数表示$\sqrt{2}$的形式，结合已知$\sqrt{2}$是无理数的结论推出矛盾，即可完成证明。
3. 第(3)问：选择开方开不尽的数（如$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$等），仿照证明$\sqrt{2}$是无理数的流程：先假设该数是有理数，写成最简分数形式，平方后推导得出分子分母存在公共的大于1的因数，和最简分数的定义矛盾，即可证明其为无理数。
【解析】
(1) 梳理证明$\sqrt{2}$是无理数的流程，可提炼反证法的核心步骤：先对原结论提出反设，再结合已知条件开展逻辑推理，得到和已有公理、定理、已知条件矛盾的结果，即可推翻反设，判定原结论成立。
(2) 证明$\sqrt{2}-1$是无理数时，先假设它是有理数，将其整理为最简分数形式后变形，可得$\sqrt{2}$也为有理数，和已知$\sqrt{2}$是无理数的结论冲突，因此假设不成立，$\sqrt{2}-1$是无理数。
(3) 拓展探究可任选开方开不尽的正整数的算术平方根，以$\sqrt{5}$为例：先假设$\sqrt{5}$是有理数，写成最简分数$\frac{a}{b}$的形式，平方后推导可得$a$、$b$均为5的倍数，和$\frac{a}{b}$是最简分数的前提矛盾，因此$\sqrt{5}$是无理数。
【答案】
(1) 反证法证明步骤:第一步:提出反设,即假设要证明的结论不成立,也就是假设原命题的反面成立.第二步:进行推理,根据假设以及已知条件进行一系列的逻辑推理.第三步:推出矛盾,在推理过程中得出与已知条件、定理、公理或其他显然成立的事实相矛盾的结果.第四步:得出结论,由于出现矛盾,说明假设不成立,从而证明原命题成立.
(2) 证明:假设$\sqrt{2}-1$不是无理数,那么$\sqrt{2}-1$是有理数,$\therefore\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$(p、q是正整数,且没有大于1的公约数)的形式,则$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1=\frac{p+q}{q}$.$\because p、q$是正整数,$\therefore\frac{p+q}{q}$是有理数,这与已知$\sqrt{2}$是无理数相矛盾.因此$\sqrt{2}-1$不是有理数,它是无理数.
(3) 答案不唯一,例如:探究$\sqrt{5}$是无理数.假设$\sqrt{5}$不是无理数,那么$\sqrt{5}$是有理数,$\therefore\sqrt{5}$可以写成$\frac{a}{b}$(a、b是正整数,且没有大于1的公约数)的形式.根据平方根的意义,$(\frac{a}{b})^2=5$,即$\frac{a^2}{b^2}=5$,$5b^2=a^2$.$\because5b^2$是5的倍数,$\therefore a^2$是5的倍数,即a是5的倍数,设$a=5c$(c是正整数).把$a=5c$代入$5b^2=a^2$,得$5b^2=25c^2$,即$b^2=5c^2$,$\therefore b$也是5的倍数,即a、b都是5的倍数,这与a、b没有大于1的公约数相矛盾.$\therefore\sqrt{5}$不是有理数,它是无理数.
【知识点】
1. 反证法
2. 有理数与无理数的定义
3. 无理数的证明
【点评】
本题以经典的无理数证明为载体，引导学生掌握反证法的逻辑和应用，既考查对基础概念、证明方法的理解，又锻炼逻辑推理能力，拓展部分还能激发自主探究的意识，兼顾基础性和拓展性。
【难度系数】
0.7
