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1. 若$\sqrt{a}$是二次根式，则$a$的值不可以是（
A.$6$
B.$-3.14$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$0$
B
）A.$6$
B.$-3.14$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$0$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式的核心要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。我们只需要逐一判断四个选项中的数值是否满足≥0的要求，不满足的就是a不可以取的值。
【解析】
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$的式子是二次根式的前提是被开方数$a≥ 0$，我们对各选项逐一判断：
A. $6＞0$，满足被开方数非负的要求，a可以取6；
B. $-3.14＜0$，不满足被开方数非负的要求，a不可以取-3.14；
C. $\dfrac{1}{5}＞0$，满足被开方数非负的要求，a可以取$\dfrac{1}{5}$；
D. $0≥ 0$，满足被开方数非负的要求，a可以取0。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记二次根式被开方数为非负数这一规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次根式的核心要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。我们只需要逐一判断四个选项中的数值是否满足≥0的要求，不满足的就是a不可以取的值。
【解析】
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$的式子是二次根式的前提是被开方数$a≥ 0$，我们对各选项逐一判断：
A. $6＞0$，满足被开方数非负的要求，a可以取6；
B. $-3.14＜0$，不满足被开方数非负的要求，a不可以取-3.14；
C. $\dfrac{1}{5}＞0$，满足被开方数非负的要求，a可以取$\dfrac{1}{5}$；
D. $0≥ 0$，满足被开方数非负的要求，a可以取0。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记二次根式被开方数为非负数这一规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. [2025·六安金安区期中]若二次根式$\sqrt{x+7}$有意义,则$x$的取值范围是 （
A.$x≠-7$
B.$x=-7$
C.$x≥-7$
D.$x≤-7$
C
）A.$x≠-7$
B.$x=-7$
C.$x≥-7$
D.$x≤-7$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的核心规则：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题思路为：第一步先找到二次根式的被开方数，本题中被开方数是$x+7$；第二步根据被开方数非负的要求列不等式；第三步解不等式得到$x$的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：二次根式有意义的条件为：被开方数为非负数。
本题中二次根式$\sqrt{x+7}$的被开方数是$x+7$，因此可列不等式：
$x+7≥0$
解不等式，两边同时减去7，得：
$x≥-7$
因此$x$的取值范围是$x≥-7$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考察二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数需满足非负的要求，就能快速列式求解，得分难度低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的核心规则：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题思路为：第一步先找到二次根式的被开方数，本题中被开方数是$x+7$；第二步根据被开方数非负的要求列不等式；第三步解不等式得到$x$的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：二次根式有意义的条件为：被开方数为非负数。
本题中二次根式$\sqrt{x+7}$的被开方数是$x+7$，因此可列不等式：
$x+7≥0$
解不等式，两边同时减去7，得：
$x≥-7$
因此$x$的取值范围是$x≥-7$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考察二次根式有意义的判定规则，只要牢记被开方数需满足非负的要求，就能快速列式求解，得分难度低。
【难度系数】
0.9
3. 下列计算正确的是 （
A.$-(\sqrt{5})^{2}=5$
B.$(\sqrt{3})^{2}=3$
C.$(\sqrt{16})^{2}=\pm 16$
D.$(-\sqrt{2})^{2}=-2$
B
）A.$-(\sqrt{5})^{2}=5$
B.$(\sqrt{3})^{2}=3$
C.$(\sqrt{16})^{2}=\pm 16$
D.$(-\sqrt{2})^{2}=-2$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质应用，解题思路是先回忆二次根式的核心性质：对于非负数a，$(\sqrt{a})^2=a$，同时要注意运算顺序、符号运算规则以及算术平方根的非负性，逐个计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二次根式的性质逐个分析选项：
A选项：先计算$(\sqrt{5})^2=5$，再添加前面的负号，得$-(\sqrt{5})^2=-5≠5$，故A错误；
B选项：根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{3})^2=3$，故B正确；
C选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4，因此$(\sqrt{16})^2=4^2=16$，算术平方根的结果是非负的，不可能等于-16，故C错误；
D选项：负数的平方为正数，$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2≠-2$，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根的定义
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用类题目，解题时要注意区分二次根式平方运算的符号、运算顺序，牢记算术平方根的结果具有非负性，避免出现符号错误或混淆平方根和算术平方根的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的性质应用，解题思路是先回忆二次根式的核心性质：对于非负数a，$(\sqrt{a})^2=a$，同时要注意运算顺序、符号运算规则以及算术平方根的非负性，逐个计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二次根式的性质逐个分析选项：
A选项：先计算$(\sqrt{5})^2=5$，再添加前面的负号，得$-(\sqrt{5})^2=-5≠5$，故A错误；
B选项：根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{3})^2=3$，故B正确；
C选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4，因此$(\sqrt{16})^2=4^2=16$，算术平方根的结果是非负的，不可能等于-16，故C错误；
D选项：负数的平方为正数，$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2≠-2$，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，算术平方根的定义
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用类题目，解题时要注意区分二次根式平方运算的符号、运算顺序，牢记算术平方根的结果具有非负性，避免出现符号错误或混淆平方根和算术平方根的问题。
【难度系数】
0.8
4. [2025·合肥五十中期中]化简$\sqrt{(3-π)^2}$的结果是 （
A.$3-π$
B.$-3-π$
C.$π-3$
D.$π+3$
C
）A.$3-π$
B.$-3-π$
C.$π-3$
D.$π+3$
答案
4.C
解析
【分析】
要化简$\sqrt{(3-π)^2}$，首先回忆二次根式的重要性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此需要先将原式转化为绝对值形式；接下来需要判断绝对值内$3-π$的正负性，已知$π\approx3.14$，可得$3＜π$，即$3-π$是负数；最后根据负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$
$\because π\approx3.14＞3$，$\therefore 3-π＜0$
根据负数的绝对值是它的相反数，得：
$|3-π|=-(3-π)=π-3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.实数大小比较
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的核心是先利用二次根式的性质将待化简式转化为绝对值形式，再结合绝对值的性质完成化简，需牢记相关性质，避免忽略绝对值内式子的正负直接去根号。
【难度系数】
0.8
要化简$\sqrt{(3-π)^2}$，首先回忆二次根式的重要性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此需要先将原式转化为绝对值形式；接下来需要判断绝对值内$3-π$的正负性，已知$π\approx3.14$，可得$3＜π$，即$3-π$是负数；最后根据负数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值符号即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|$
$\because π\approx3.14＞3$，$\therefore 3-π＜0$
根据负数的绝对值是它的相反数，得：
$|3-π|=-(3-π)=π-3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.实数大小比较
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的核心是先利用二次根式的性质将待化简式转化为绝对值形式，再结合绝对值的性质完成化简，需牢记相关性质，避免忽略绝对值内式子的正负直接去根号。
【难度系数】
0.8
5. (1)若$\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$是二次根式,则$x$可取的值是________;(写一个即可)
(2)若$\dfrac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义,则$a$可取的值是________.(写一个即可)
(2)若$\dfrac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义,则$a$可取的值是________.(写一个即可)
答案
(1)2(答案不唯一)
(2)3(答案不唯一)
(2)3(答案不唯一)
解析
【分析】
解决这道题需要先回忆两个核心条件：①二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0；②分式有意义的条件是分母不为0。
对于第(1)问，要让$\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$是二次根式，需要同时满足被开方数非负、分母不为0，列出不等式求出x的取值范围后，在范围内任选一个数即可；
对于第(2)问，要让分式有意义，需要同时满足根号内的被开方数非负、分式的分母不为0，列出不等式组求出a的取值范围后，在范围内任选一个数即可。
【解析】
(1) 若$\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$是二次根式，则被开方数$\dfrac{2}{x-1}≥0$，且分母$x-1≠0$。
因为分子$2＞0$，所以分母$x-1＞0$，解得$x＞1$，因此可取$x=2$（答案不唯一，只要大于1均可）。
(2) 若$\dfrac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，则根号内的被开方数$a+1≥0$，且分母$a-2≠0$。
解$a+1≥0$得$a≥-1$，解$a-2≠0$得$a≠2$，因此$a$的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$，可取$a=3$（答案不唯一，只要符合范围均可）。
【答案】
(1)2(答案不唯一)
(2)3(答案不唯一)
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次根式与分式有意义的条件，解题时要注意不要遗漏分母不为0的限制，求出取值范围后任选符合要求的数值即可。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要先回忆两个核心条件：①二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0；②分式有意义的条件是分母不为0。
对于第(1)问，要让$\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$是二次根式，需要同时满足被开方数非负、分母不为0，列出不等式求出x的取值范围后，在范围内任选一个数即可；
对于第(2)问，要让分式有意义，需要同时满足根号内的被开方数非负、分式的分母不为0，列出不等式组求出a的取值范围后，在范围内任选一个数即可。
【解析】
(1) 若$\sqrt{\dfrac{2}{x-1}}$是二次根式，则被开方数$\dfrac{2}{x-1}≥0$，且分母$x-1≠0$。
因为分子$2＞0$，所以分母$x-1＞0$，解得$x＞1$，因此可取$x=2$（答案不唯一，只要大于1均可）。
(2) 若$\dfrac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，则根号内的被开方数$a+1≥0$，且分母$a-2≠0$。
解$a+1≥0$得$a≥-1$，解$a-2≠0$得$a≠2$，因此$a$的取值范围是$a≥-1$且$a≠2$，可取$a=3$（答案不唯一，只要符合范围均可）。
【答案】
(1)2(答案不唯一)
(2)3(答案不唯一)
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次根式与分式有意义的条件，解题时要注意不要遗漏分母不为0的限制，求出取值范围后任选符合要求的数值即可。
【难度系数】
0.9
6. 如图,若实数 $a,b,c$ 在数轴上的对应点如图所示,则化简 $\sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2} - |a + b - c|$ 的结果是
$2a-b-c$
.答案
$2a-b-c$
解析
【分析】
解题时先根据数轴上点的位置判断出a、b、c的大小关系，再分别判断b、a-b、a+b-c的正负性；再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$和绝对值的代数意义，去掉原式中的根号和绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，由此可判断各代数式的正负：
1. $b＜0$，因此$\sqrt{b^2}=|b|=-b$；
2. $a ＜ b$，因此$a-b＜0$，故$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|=b-a$；
3. $a＜0,b＜0,c＞0$，因此$a+b＜0$，$a+b-c＜0$，故$|a+b-c|=-(a+b-c)=-a-b+c$。
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&= -b - (b - a) - (-a - b + c)\\&= -b - b + a + a + b - c\\&= 2a - b - c\end{aligned}$
【答案】
$2a-b-c$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题的核心是先结合数轴判断出待化简式中各部分的正负，再根据二次根式和绝对值的性质去符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先根据数轴上点的位置判断出a、b、c的大小关系，再分别判断b、a-b、a+b-c的正负性；再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$和绝对值的代数意义，去掉原式中的根号和绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，由此可判断各代数式的正负：
1. $b＜0$，因此$\sqrt{b^2}=|b|=-b$；
2. $a ＜ b$，因此$a-b＜0$，故$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|=b-a$；
3. $a＜0,b＜0,c＞0$，因此$a+b＜0$，$a+b-c＜0$，故$|a+b-c|=-(a+b-c)=-a-b+c$。
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&= -b - (b - a) - (-a - b + c)\\&= -b - b + a + a + b - c\\&= 2a - b - c\end{aligned}$
【答案】
$2a-b-c$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是代数式化简的常见题型，解题的核心是先结合数轴判断出待化简式中各部分的正负，再根据二次根式和绝对值的性质去符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
7. 观察下表中的式子,写出第$ n $个式子(用含$ n $的式子表示).这个式子一定是二次根式吗?为什么?
答案
解:第$n$个式子是$\sqrt{n^2-n}$,一定是二次根式.理由:$\because\sqrt{n^2-n}$的被开方数$n^2-n=n(n-1),n≥1,\therefore n(n-1)$是非负数,并且是两个连续整数之积,$\therefore\sqrt{n^2-n}$一定是二次根式.
解析
【分析】
首先观察给出的前4个式子，发现第k个式子的被开方数为k的平方减去k，由此可归纳得到第n个式子的形式；再结合二次根式的定义（形如$\sqrt{a}$且$a≥0$的式子是二次根式），只需验证被开方数$n^2-n$的非负性即可判断该式是否为二次根式，对被开方数因式分解后，结合n为正整数的属性即可判断其正负性。
【解析】
1. 推导第n个式子：
观察已知式子：第1个为$\sqrt{1^2-1}$，第2个为$\sqrt{2^2-2}$，第3个为$\sqrt{3^2-3}$，第4个为$\sqrt{4^2-4}$，可归纳得出第n个式子为$\sqrt{n^2-n}$（n为正整数）。
2. 判断是否为二次根式：
对被开方数因式分解可得$n^2-n=n(n-1)$，
由于n表示式子的序号，为正整数，即$n≥1$，此时$n≥0$，$n-1≥0$，两个非负数的乘积为非负数，因此$n(n-1)≥0$，
即$\sqrt{n^2-n}$的被开方数为非负数，符合二次根式的定义。
【答案】
第$n$个式子是$\sqrt{n^2-n}$，一定是二次根式。理由：$\because\sqrt{n^2-n}$的被开方数$n^2-n=n(n-1),n≥1,\therefore n(n-1)$是非负数，$\therefore\sqrt{n^2-n}$一定是二次根式。
【知识点】
规律探究；二次根式的定义；提公因式法因式分解
【点评】
本题结合规律探究与二次根式的判定，既考查归纳推理能力，也考查对二次根式成立条件的掌握，解题核心是准确归纳出第n个式子的表达式，再验证被开方数的非负性。
【难度系数】
0.75
首先观察给出的前4个式子，发现第k个式子的被开方数为k的平方减去k，由此可归纳得到第n个式子的形式；再结合二次根式的定义（形如$\sqrt{a}$且$a≥0$的式子是二次根式），只需验证被开方数$n^2-n$的非负性即可判断该式是否为二次根式，对被开方数因式分解后，结合n为正整数的属性即可判断其正负性。
【解析】
1. 推导第n个式子：
观察已知式子：第1个为$\sqrt{1^2-1}$，第2个为$\sqrt{2^2-2}$，第3个为$\sqrt{3^2-3}$，第4个为$\sqrt{4^2-4}$，可归纳得出第n个式子为$\sqrt{n^2-n}$（n为正整数）。
2. 判断是否为二次根式：
对被开方数因式分解可得$n^2-n=n(n-1)$，
由于n表示式子的序号，为正整数，即$n≥1$，此时$n≥0$，$n-1≥0$，两个非负数的乘积为非负数，因此$n(n-1)≥0$，
即$\sqrt{n^2-n}$的被开方数为非负数，符合二次根式的定义。
【答案】
第$n$个式子是$\sqrt{n^2-n}$，一定是二次根式。理由：$\because\sqrt{n^2-n}$的被开方数$n^2-n=n(n-1),n≥1,\therefore n(n-1)$是非负数，$\therefore\sqrt{n^2-n}$一定是二次根式。
【知识点】
规律探究；二次根式的定义；提公因式法因式分解
【点评】
本题结合规律探究与二次根式的判定，既考查归纳推理能力，也考查对二次根式成立条件的掌握，解题核心是准确归纳出第n个式子的表达式，再验证被开方数的非负性。
【难度系数】
0.75
