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11. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$∠ C=90°$,$AC=30\ \mathrm{cm}$,$BC=21\ \mathrm{cm}$. 动点 $P$ 从点 $C$ 出发,沿 $CA$ 方向运动;动点 $Q$ 同时从点 $B$ 出发,沿 $BC$ 方向运动. 点 $P,Q$ 的运动速度均为 $1\ \mathrm{cm/s}$,当 $△ PCQ$ 的面积为 $55\ \mathrm{cm}^2$ 时,求 $t$ 的值.
答案
11.解:由题意,得$PC=t,CQ=21-t$.可列方程为$\dfrac{1}{2}t(21-t)=55$,解得$t_1=10,t_2=11$.答:当$△ PCQ$的面积为$55\ \mathrm{cm}^2$时,$t$的值为10或11.
解析
【分析】
这是一道结合动点场景的一元二次方程应用题，解题可按以下思路推进：首先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出Rt△PCQ两条直角边PC、CQ的长度；再利用直角三角形的面积公式，结合题目给出的面积条件，列出关于t的一元二次方程；最后解方程并验证解是否符合实际运动的取值范围，即可得到正确结果。
【解析】
设点P、Q的运动时间为t s。
∵点P、Q的运动速度均为1 cm/s，
∴PC = t cm，BQ = t cm，
又
∵BC = 21 cm，
∴CQ = BC - BQ = (21 - t) cm。
∵∠C = 90°，△PCQ为直角三角形，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · PC · CQ = 55$
将PC、CQ代入得：
$\frac{1}{2}t(21 - t) = 55$
整理方程得：$t^2 - 21t + 110 = 0$
因式分解得：$(t - 10)(t - 11) = 0$
解得$t_1 = 10$，$t_2 = 11$。
验证：当t=10时，CQ=11 cm＞0；当t=11时，CQ=10 cm＞0，两个解均符合实际运动情况，均有效。
【答案】
当△PCQ的面积为55 cm²时，t的值为10或11。
【知识点】
一元二次方程的应用；直角三角形面积计算；动点问题分析
【点评】
本题将动态动点问题和一元二次方程应用相结合，解题关键是把动态的运动过程转化为静态的数量关系，用含t的代数式表示出直角三角形的两条直角边，再结合面积公式列方程求解，求解后要注意判断解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
这是一道结合动点场景的一元二次方程应用题，解题可按以下思路推进：首先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出Rt△PCQ两条直角边PC、CQ的长度；再利用直角三角形的面积公式，结合题目给出的面积条件，列出关于t的一元二次方程；最后解方程并验证解是否符合实际运动的取值范围，即可得到正确结果。
【解析】
设点P、Q的运动时间为t s。
∵点P、Q的运动速度均为1 cm/s，
∴PC = t cm，BQ = t cm，
又
∵BC = 21 cm，
∴CQ = BC - BQ = (21 - t) cm。
∵∠C = 90°，△PCQ为直角三角形，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · PC · CQ = 55$
将PC、CQ代入得：
$\frac{1}{2}t(21 - t) = 55$
整理方程得：$t^2 - 21t + 110 = 0$
因式分解得：$(t - 10)(t - 11) = 0$
解得$t_1 = 10$，$t_2 = 11$。
验证：当t=10时，CQ=11 cm＞0；当t=11时，CQ=10 cm＞0，两个解均符合实际运动情况，均有效。
【答案】
当△PCQ的面积为55 cm²时，t的值为10或11。
【知识点】
一元二次方程的应用；直角三角形面积计算；动点问题分析
【点评】
本题将动态动点问题和一元二次方程应用相结合，解题关键是把动态的运动过程转化为静态的数量关系，用含t的代数式表示出直角三角形的两条直角边，再结合面积公式列方程求解，求解后要注意判断解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
12. 一种服装的进价为 100 元/件，经市场调查发现，若该服装的售价为 $ x $ 元/件，则年销售量为$(1\,000 - 2x)$件. 销售该服装的员工每年工资等其他费用总计 40 000 元.
(1)用含 $ x $ 的代数式表示每年销售该服装的获利金额；
(2)若希望该服装一年的获利金额为 32 800 元，且使其年销售量较大，你认为售价应定为多少？
(1)用含 $ x $ 的代数式表示每年销售该服装的获利金额；
(2)若希望该服装一年的获利金额为 32 800 元，且使其年销售量较大，你认为售价应定为多少？
答案
12.解:(1)每年销售该服装的获利金额为$(x-100)·(1\ 000-2x)-40\ 000=-2x^2+1\ 200x-140\ 000$.
(2)根据题意,得$-2x^2+1\ 200x-140\ 000=32\ 800$,解得$x_1=360,x_2=240$.当$x=360$时,$1\ 000-2x=280$;当$x=240$时,$1\ 000-2x=520$.$\because$要使该服装年销售量较大,$\therefore x=240$.答:售价应定为240元/件.
(2)根据题意,得$-2x^2+1\ 200x-140\ 000=32\ 800$,解得$x_1=360,x_2=240$.当$x=360$时,$1\ 000-2x=280$;当$x=240$时,$1\ 000-2x=520$.$\because$要使该服装年销售量较大,$\therefore x=240$.答:售价应定为240元/件.
解析
【分析】
（1）计算年获利金额需遵循利润计算逻辑：年获利=每件利润×年销售量-固定其他费用。其中每件利润为售价减进价，即$(x-100)$元，年销售量为$(1000-2x)$件，固定费用为40000元，代入后化简即可得到对应代数式。
（2）将获利金额32800元代入（1）的代数式得到一元二次方程，求解得到两个售价后，分别计算对应销量，选择销量更大的售价即可。
【解析】
(1) 每件服装利润为$(x-100)$元，结合年销售量和固定费用，年获利金额为：
$\begin{split}&(x-100)(1000-2x)-40000\\=&-2x^2+1200x-100000-40000\\=&-2x^2+1200x-140000\end{split}$
(2) 由题意列方程：
$-2x^2+1200x-140000=32800$
整理得$x^2-600x+86400=0$，解得$x_1=240$，$x_2=360$。
计算对应销量：当$x=240$时，年销售量为$1000-2×240=520$件；当$x=360$时，年销售量为$1000-2×360=280$件。
因要求年销售量较大，且$520＞280$，故售价应定为240元/件。
【答案】
(1) $-2x^2+1200x-140000$
(2) 240元/件
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程求解；实际方案选择
【点评】
本题结合生活销售场景考查代数应用能力，解题时需先理清利润的计算逻辑，求解方程后要注意结合题干限制条件筛选结果，避免漏看要求直接写出所有解导致出错。
【难度系数】
0.7
（1）计算年获利金额需遵循利润计算逻辑：年获利=每件利润×年销售量-固定其他费用。其中每件利润为售价减进价，即$(x-100)$元，年销售量为$(1000-2x)$件，固定费用为40000元，代入后化简即可得到对应代数式。
（2）将获利金额32800元代入（1）的代数式得到一元二次方程，求解得到两个售价后，分别计算对应销量，选择销量更大的售价即可。
【解析】
(1) 每件服装利润为$(x-100)$元，结合年销售量和固定费用，年获利金额为：
$\begin{split}&(x-100)(1000-2x)-40000\\=&-2x^2+1200x-100000-40000\\=&-2x^2+1200x-140000\end{split}$
(2) 由题意列方程：
$-2x^2+1200x-140000=32800$
整理得$x^2-600x+86400=0$，解得$x_1=240$，$x_2=360$。
计算对应销量：当$x=240$时，年销售量为$1000-2×240=520$件；当$x=360$时，年销售量为$1000-2×360=280$件。
因要求年销售量较大，且$520＞280$，故售价应定为240元/件。
【答案】
(1) $-2x^2+1200x-140000$
(2) 240元/件
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程求解；实际方案选择
【点评】
本题结合生活销售场景考查代数应用能力，解题时需先理清利润的计算逻辑，求解方程后要注意结合题干限制条件筛选结果，避免漏看要求直接写出所有解导致出错。
【难度系数】
0.7
