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7.有一个直角三角形,它的三条边的长恰好是三个连续的整数,那么这个三角形三条边的长分别是多少?
答案
7.解:设较长的直角边长为x,则另一条直角边长为(x-1),斜边长为(x+1).根据题意,得$x^2+(x-1)^2=(x+1)^2$,解得$x_1=4,x_2=0$(不符合题意,舍去),$\therefore x-1=3,x+1=5$.答:这个三角形三条边的长分别是3,4,5.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确直角三角形的核心性质是勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知三边是连续整数，且斜边为最长边，因此可以通过设未知数简化计算：设较长的直角边长为x，则较短直角边比它小1，为(x-1)，斜边比最长直角边大1，为(x+1)。接下来根据勾股定理列一元二次方程，求解后需注意边长为正，要舍去不符合实际意义的根，最终得到三边长度。
【解析】
解：设较长的直角边长为x，则另一条直角边长为(x-1)，斜边长为(x+1)。
根据勾股定理列方程：
$x^2+(x-1)^2=(x+1)^2$
展开整理方程：
$x^2+x^2-2x+1=x^2+2x+1$
$x^2-4x=0$
因式分解得$x(x-4)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=0$。
由于边长不能为0，因此$x_2=0$不符合题意，舍去。
则较短直角边长为$x-1=4-1=3$，斜边长为$x+1=4+1=5$。
【答案】
这个三角形三条边的长分别是3，4，5。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础应用题，解题关键是结合连续整数的特点合理设未知数，再利用勾股定理建立等量关系，求解后注意验证根是否符合实际意义，能有效锻炼用方程思想解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确直角三角形的核心性质是勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知三边是连续整数，且斜边为最长边，因此可以通过设未知数简化计算：设较长的直角边长为x，则较短直角边比它小1，为(x-1)，斜边比最长直角边大1，为(x+1)。接下来根据勾股定理列一元二次方程，求解后需注意边长为正，要舍去不符合实际意义的根，最终得到三边长度。
【解析】
解：设较长的直角边长为x，则另一条直角边长为(x-1)，斜边长为(x+1)。
根据勾股定理列方程：
$x^2+(x-1)^2=(x+1)^2$
展开整理方程：
$x^2+x^2-2x+1=x^2+2x+1$
$x^2-4x=0$
因式分解得$x(x-4)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=0$。
由于边长不能为0，因此$x_2=0$不符合题意，舍去。
则较短直角边长为$x-1=4-1=3$，斜边长为$x+1=4+1=5$。
【答案】
这个三角形三条边的长分别是3，4，5。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础应用题，解题关键是结合连续整数的特点合理设未知数，再利用勾股定理建立等量关系，求解后注意验证根是否符合实际意义，能有效锻炼用方程思想解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,用一段77 m长的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈,每个长方形羊圈都有一扇1 m宽的门,墙的最大可用长度为30 m.若羊圈的总面积为300 m²,则边AB的长为 （
A.5 m
B.10 m
C.15 m
D.20 m
C
）A.5 m
B.10 m
C.15 m
D.20 m
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先设垂直于墙的边AB的长为x m，先推导平行于墙的边BC的长度：总篱笆长77m，加上3扇门各1m的宽度（门无需用篱笆），得到总等效用料长度，再减去4段垂直于墙的篱笆总长度4x，即可得到BC的表达式；再根据“长方形总面积=垂直边长×平行边长”列一元二次方程，求解后结合墙的最大可用长度为30m的限制条件，对得到的根进行取舍，最终得到符合题意的AB长度。
【解析】
解：设AB的长为x m，根据题意可知，平行于墙的边BC的长度为$77 + 3×1 - 4x = (80 - 4x)\ \mathrm{m}$。
由墙的最大可用长度为30m，可得限制条件：
$80 - 4x ≤ 30$，解得$x ≥ 12.5$。
又因为羊圈总面积为$300\ \mathrm{m}^2$，因此列方程：
$x(80 - 4x) = 300$
整理方程得：$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 5) = 0$
解得$x_1 = 15$，$x_2 = 5$。
由于$x ≥ 12.5$，因此$x_2=5$不符合题意，舍去，故$x=15$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、长方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题时要注意两个易错点：一是计算平行于墙的边长时不要遗漏门的宽度，二是求出方程的根后，要结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
解题时首先设垂直于墙的边AB的长为x m，先推导平行于墙的边BC的长度：总篱笆长77m，加上3扇门各1m的宽度（门无需用篱笆），得到总等效用料长度，再减去4段垂直于墙的篱笆总长度4x，即可得到BC的表达式；再根据“长方形总面积=垂直边长×平行边长”列一元二次方程，求解后结合墙的最大可用长度为30m的限制条件，对得到的根进行取舍，最终得到符合题意的AB长度。
【解析】
解：设AB的长为x m，根据题意可知，平行于墙的边BC的长度为$77 + 3×1 - 4x = (80 - 4x)\ \mathrm{m}$。
由墙的最大可用长度为30m，可得限制条件：
$80 - 4x ≤ 30$，解得$x ≥ 12.5$。
又因为羊圈总面积为$300\ \mathrm{m}^2$，因此列方程：
$x(80 - 4x) = 300$
整理方程得：$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 5) = 0$
解得$x_1 = 15$，$x_2 = 5$。
由于$x ≥ 12.5$，因此$x_2=5$不符合题意，舍去，故$x=15$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、长方形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题时要注意两个易错点：一是计算平行于墙的边长时不要遗漏门的宽度，二是求出方程的根后，要结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
9. 某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价 30%，销量不佳；第二次又降价 10%，销量大增，很快就清理了库存. 设两次降价的平均降价率为 $ x $，下面所列方程正确的是 （
A.$\frac{300 + 10\%}{2} = x$
B.$(1 - 30\%)(1 - 10\%) = (1 - 2x)$
C.$(1 - 30\%)(1 - 10\%) = 2(1 - x)$
D.$(1 - 30\%)(1 - 10\%) = (1 - x)^2$
D
）A.$\frac{300 + 10\%}{2} = x$
B.$(1 - 30\%)(1 - 10\%) = (1 - 2x)$
C.$(1 - 30\%)(1 - 10\%) = 2(1 - x)$
D.$(1 - 30\%)(1 - 10\%) = (1 - x)^2$
答案
9.D
解析
【分析】
解决这道题我们可以按照以下思路思考：首先明确这类降价问题的核心等量关系是两种降价方式的最终售价相等。第一步，将商品原价看作单位“1”，先计算两次分步降价后的最终售价：第一次降价30%后价格为原价的(1-30%)，第二次在第一次降价后的价格基础上再降10%，因此最终售价为两次降价比例的乘积。第二步，计算平均降价率为x时的最终售价：平均降价率意味着每次降价的百分率都是x，降价2次后，最终售价为$(1-x)^2$。第三步，将两个表示最终售价的式子联立成方程，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
设该商品原价为单位“1”：
1. 计算分步降价的最终售价：
第一次降价30%后售价为$1×(1-30\%)$，第二次在该价格基础上降价10%，因此最终售价为$(1-30\%)(1-10\%)$。
2. 计算平均降价率为x时的最终售价：
每次降价率为x，第一次降价后售价为$1×(1-x)$，第二次降价后售价为$(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$。
3. 联立等量关系：
两种降价方式的最终售价相等，因此可得方程：$(1-30\%)(1-10\%)=(1-x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题关键是找准“最终售价相等”的等量关系，正确表示不同降价方式下的最终售价，属于该类知识点的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以按照以下思路思考：首先明确这类降价问题的核心等量关系是两种降价方式的最终售价相等。第一步，将商品原价看作单位“1”，先计算两次分步降价后的最终售价：第一次降价30%后价格为原价的(1-30%)，第二次在第一次降价后的价格基础上再降10%，因此最终售价为两次降价比例的乘积。第二步，计算平均降价率为x时的最终售价：平均降价率意味着每次降价的百分率都是x，降价2次后，最终售价为$(1-x)^2$。第三步，将两个表示最终售价的式子联立成方程，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
设该商品原价为单位“1”：
1. 计算分步降价的最终售价：
第一次降价30%后售价为$1×(1-30\%)$，第二次在该价格基础上降价10%，因此最终售价为$(1-30\%)(1-10\%)$。
2. 计算平均降价率为x时的最终售价：
每次降价率为x，第一次降价后售价为$1×(1-x)$，第二次降价后售价为$(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$。
3. 联立等量关系：
两种降价方式的最终售价相等，因此可得方程：$(1-30\%)(1-10\%)=(1-x)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题关键是找准“最终售价相等”的等量关系，正确表示不同降价方式下的最终售价，属于该类知识点的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
10. [新课标·跨学科题]物理课代表在老师的指导下，学会了探究光的反射定律的实验操作方法.回到班上后，第一节课他手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了.问：一名同学每节课手把手教会了多少名同学？假设一名同学每节课手把手教会了$ x $名同学，可列方程为________.
答案
10.$(1+x)^2=49$
解析
【分析】
这是典型的传播类一元二次方程应用问题，解题时需按时间顺序理清每阶段会做实验的总人数：首先初始只有1名课代表会做实验；第一节课后，1名课代表教会x名同学，此时会做实验的总人数为1+x；第二节课时，每名已经会做实验的同学都能教会x名新同学，即总人数会在第一节课后的基础上扩大为原来的(1+x)倍，最终总人数等于全班49人，据此即可列出方程。
【解析】
设一名同学每节课手把手教会了$x$名同学。
1. 初始状态：会做实验的人数为1（仅课代表会）；
2. 第一节课结束后：会做实验的总人数为$1 + x$；
3. 第二节课结束后：每名会做实验的同学都教会$x$名新同学，因此总人数为第一节课后总人数的$(1+x)$倍，即$(1+x) × (1+x) = (1+x)^2$；
4. 已知全班49名同学恰好都会做实验，因此可列方程：$\boldsymbol{(1+x)^2=49}$。
【答案】
$(1+x)^2=49$
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模；列代数式
【点评】
本题结合物理实验的跨学科背景，考查一元二次方程在实际传播类问题中的应用，解题核心是理清每轮传播后总人数的变化规律，题型基础，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.8
这是典型的传播类一元二次方程应用问题，解题时需按时间顺序理清每阶段会做实验的总人数：首先初始只有1名课代表会做实验；第一节课后，1名课代表教会x名同学，此时会做实验的总人数为1+x；第二节课时，每名已经会做实验的同学都能教会x名新同学，即总人数会在第一节课后的基础上扩大为原来的(1+x)倍，最终总人数等于全班49人，据此即可列出方程。
【解析】
设一名同学每节课手把手教会了$x$名同学。
1. 初始状态：会做实验的人数为1（仅课代表会）；
2. 第一节课结束后：会做实验的总人数为$1 + x$；
3. 第二节课结束后：每名会做实验的同学都教会$x$名新同学，因此总人数为第一节课后总人数的$(1+x)$倍，即$(1+x) × (1+x) = (1+x)^2$；
4. 已知全班49名同学恰好都会做实验，因此可列方程：$\boldsymbol{(1+x)^2=49}$。
【答案】
$(1+x)^2=49$
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模；列代数式
【点评】
本题结合物理实验的跨学科背景，考查一元二次方程在实际传播类问题中的应用，解题核心是理清每轮传播后总人数的变化规律，题型基础，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.8
