20.【知识再现】
如图1,四边形ABCD是正方形,点M,N分别在边BC,CD上,连接AM,AN,
MN.∠MAN=45°,延长CB至点G,使BG=DN,连接AG.根据全等三角形
的知识,我们可以证明MN=BM+DN.
(1)【知识探究】如图1,作AH⊥MN,垂足为H,猜想AH与AB有怎样的数量
关系,并给出证明;
(2)【知识应用】如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,AD=6,
则CD的长为;
(3)【知识拓展】如图3,四边形ABCD是正方形,E是BC边的中点,F是CD边
上一点,∠FEC=2∠BAE,AB=24,求DF的长.

20.(1)$AH=AB$.证明如下:
因为四边形ABCD是正方形,所以$∠ ABC=∠ D=90°$,所以$∠ ABG=90°$.易证$△ ABG≌ △ ADN$,所以$∠ BAG=∠ DAN,AG=AN$.因为$∠ BAD=90°,∠ MAN=45°$,所以$∠ DAN+∠ BAM=45°$.所以$∠ BAG+∠ BAM=45°$,即$∠ GAM=45°$.在$△ GAM$和$△ NAM$中,
$\begin{cases}AG=AN,\\∠ GAM=∠ NAM,\\AM=AM,\end{cases}$所以$△ GAM≌ △ NAM$,所以$∠ AMG=∠ AMN$,从而易证$△ ABM≌ △ AHM$,所以$AH=AB$.
(2)3
(3)连接AF,过点A作$AM⊥ EF$于点M.因为$∠ AEB=90°-∠ BAE$,$∠ FEC=2∠ BAE$,$∠ AEM=180°-∠ AEB-∠ FEC=90°-∠ BAE$,所以$∠ AEB=∠ AEM$.在$△ ABE$和$△ AME$中,$\begin{cases}∠ ABE=∠ AME,\\∠ AEB=∠ AEM,\\AE=AE,\end{cases}$所以$△ ABE≌ △ AME$,所以$BE=ME=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AB=12$,$AB=AM=AD$.易证$\mathrm{Rt}△ ADF≌ \mathrm{Rt}△ AMF$,所以$DF=MF$.设$DF=x$,则$EF=12+x$,$FC=24-x$.在$\mathrm{Rt}△ EFC$中,$EC^2+FC^2=EF^2$,即$12^2+(24-x)^2=(x+12)^2$,解得$x=8$,故DF的长为8.

【分析】
(1) 要证AH与AB的数量关系，先结合题干给出的全等条件证△GAM≌△NAM，得到AM平分∠GMN，再结合AB⊥BC、AH⊥MN，通过全等三角形或角平分线的性质即可证明AH=AB。
(2) 遇到∠BAC=45°且AD⊥BC的条件，可类比第一问的半角模型，将△ABD、△ACD分别沿AB、AC翻折构造正方形，设CD长为x，结合翻折性质和勾股定理列方程即可求解。
(3) 先根据已知角的关系推导得到∠AEB=∠AEM，作AM⊥EF后类比第一问结论，先证△ABE≌△AME，再证Rt△ADF≌Rt△AMF得到DF=MF，最后设DF=x，用含x的式子表示Rt△EFC的三边，通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $AH=AB$，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ABC=∠D=90°$，
∴$∠ABG=90°$。
易证$△ ABG≌△ ADN$，
∴$∠BAG=∠DAN$，$AG=AN$。
∵$∠BAD=90°$，$∠MAN=45°$，
∴$∠DAN+∠BAM=45°$，
∴$∠BAG+∠BAM=45°$，即$∠GAM=∠NAM=45°$。
在$△ GAM$和$△ NAM$中，$\begin{cases}AG=AN\\∠GAM=∠NAM\\AM=AM\end{cases}$，
∴$△ GAM≌△ NAM(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AMG=∠AMN$。
在$△ ABM$和$△ AHM$中，$\begin{cases}∠ABM=∠AHM=90°\\∠AMB=∠AMH\\AM=AM\end{cases}$，
∴$△ ABM≌△ AHM(\mathrm{AAS})$，
∴$AH=AB$。
(2) 设CD长为$x$，将△ABD沿AB翻折得△ABE，△ACD沿AC翻折得△ACF，延长EB、FC交于点G。由翻折性质得$AE=AF=AD=6$，$BE=BD=2$，$CF=CD=x$，$∠E=∠F=90°$，$∠EAF=2∠BAC=90°$，
∴四边形AEGF是边长为6的正方形。
则$BG=6-2=4$，$CG=6-x$，$BC=2+x$，在Rt△BCG中由勾股定理得：
$4^2+(6-x)^2=(2+x)^2$，解得$x=3$。
(3) 连接AF，过点A作$AM⊥EF$于点M。
∵$∠AEB=90°-∠BAE$，$∠FEC=2∠BAE$，
∴$∠AEM=180°-∠AEB-∠FEC=90°-∠BAE$，
∴$∠AEB=∠AEM$。
在$△ ABE$和$△ AME$中，$\begin{cases}∠ABE=∠AME=90°\\∠AEB=∠AEM\\AE=AE\end{cases}$，
∴$△ ABE≌△ AME(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=ME=\frac{1}{2}BC=12$，$AB=AM=AD$。
易证$\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AMF(\mathrm{HL})$，
∴$DF=MF$。
设$DF=x$，则$EF=12+x$，$FC=24-x$，在Rt△EFC中由勾股定理得：
$12^2+(24-x)^2=(x+12)^2$，解得$x=8$。
【答案】
(1) $AH=AB$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{3}$；
(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题围绕正方形半角模型层层递进设置问题，既考查了基础的全等三角形证明，也考查了模型迁移、构造辅助线的能力，同时结合方程思想用勾股定理求解线段长度，需要熟练掌握几何模型特征，灵活运用性质解题。
【难度系数】
0.6