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1. 若$ m=5-\sqrt{2025} $，则代数式$ m^2 - 10m + 26 $的值是 （
A.2 024
B.2 025
C.2 026
D.2 049
C
）A.2 024
B.2 025
C.2 026
D.2 049
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察所求代数式$m^2-10m+26$的结构，含有$m$的二次项和一次项，符合完全平方公式的特征，因此可以先对代数式配方简化，再代入$m$的表达式计算，能有效降低计算量，避免出错。也可以先化简$m$的表达式，再直接代入计算。
【解析】
方法一（配方法）：
对代数式进行变形：
$m^2 -10m +26 = (m^2 -10m +25) + 1 = (m - 5)^2 + 1$
已知$m = 5 - \sqrt{2025}$，可得$m - 5 = -\sqrt{2025}$
将其代入变形后的式子：
原式$= (-\sqrt{2025})^2 + 1 = 2025 + 1 = 2026$
方法二（直接代入法）：
先计算得$\sqrt{2025}=45$，因此$m = 5 - 45 = -40$
将$m=-40$代入原式：
原式$= (-40)^2 - 10×(-40) + 26 = 1600 + 400 + 26 = 2026$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，选择配方法可以简化计算过程，减少运算错误，解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选用简便方法。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$m^2-10m+26$的结构，含有$m$的二次项和一次项，符合完全平方公式的特征，因此可以先对代数式配方简化，再代入$m$的表达式计算，能有效降低计算量，避免出错。也可以先化简$m$的表达式，再直接代入计算。
【解析】
方法一（配方法）：
对代数式进行变形：
$m^2 -10m +26 = (m^2 -10m +25) + 1 = (m - 5)^2 + 1$
已知$m = 5 - \sqrt{2025}$，可得$m - 5 = -\sqrt{2025}$
将其代入变形后的式子：
原式$= (-\sqrt{2025})^2 + 1 = 2025 + 1 = 2026$
方法二（直接代入法）：
先计算得$\sqrt{2025}=45$，因此$m = 5 - 45 = -40$
将$m=-40$代入原式：
原式$= (-40)^2 - 10×(-40) + 26 = 1600 + 400 + 26 = 2026$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，选择配方法可以简化计算过程，减少运算错误，解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选用简便方法。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示,在矩形ABCD中,若AC=4,则BD的长为 （
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.2
D.1
A
）A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.2
D.1
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆矩形的相关性质，矩形的对角线具有相等的特征。观察图形可知，AC和BD是矩形ABCD的两条对角线，已知AC的长度，直接利用矩形对角线相等的性质就能求出BD的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
根据矩形的性质：矩形的对角线相等，
∴BD = AC，
又
∵已知AC=4，
∴BD=4。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形对角线相等的性质，只要熟练掌握矩形的基本性质，无需复杂计算即可直接得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆矩形的相关性质，矩形的对角线具有相等的特征。观察图形可知，AC和BD是矩形ABCD的两条对角线，已知AC的长度，直接利用矩形对角线相等的性质就能求出BD的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
根据矩形的性质：矩形的对角线相等，
∴BD = AC，
又
∵已知AC=4，
∴BD=4。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形对角线相等的性质，只要熟练掌握矩形的基本性质，无需复杂计算即可直接得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，则斜边长是 （
A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.1
C
）A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.1
答案
3.C
解析
【分析】
首先明确题目已知条件为直角三角形的两条直角边长分别是1和2，所求为斜边长。直角三角形三边满足勾股定理，因此解题思路为：先运用勾股定理计算两条直角边的平方和，得到斜边的平方，再结合边长为正数的属性，对结果开算术平方根即可得到斜边长，最后匹配对应选项。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$c$。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$c^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
由于三角形边长为正数，因此$c = \sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理的直接应用，只要熟练掌握勾股定理的内容，就能快速计算得出结果。
【难度系数】
0.9
首先明确题目已知条件为直角三角形的两条直角边长分别是1和2，所求为斜边长。直角三角形三边满足勾股定理，因此解题思路为：先运用勾股定理计算两条直角边的平方和，得到斜边的平方，再结合边长为正数的属性，对结果开算术平方根即可得到斜边长，最后匹配对应选项。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$c$。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$c^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
由于三角形边长为正数，因此$c = \sqrt{5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理的直接应用，只要熟练掌握勾股定理的内容，就能快速计算得出结果。
【难度系数】
0.9
4.若一个多边形的每个外角都是$72°$,则这个多边形的边数为 （
A.4
B.5
C.6
D.8
B
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形外角和的核心性质：任意多边形的外角和恒为360°，与边数无关。本题已知多边形每个外角都是72°，即所有外角度数相等，因此只需要用外角的总度数除以单个外角的度数，就能得到外角的个数，而多边形的外角个数和边数是相等的，由此即可求出边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，且该多边形每个外角的度数都是72°，
又
∵多边形的边数 = 外角和÷单个外角的度数，
∴这个多边形的边数为：$360° ÷ 72° = 5$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形边数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对多边形外角和定理的记忆与应用，解题的关键是牢记多边形外角和固定为360°，掌握已知外角度数求边数的计算方法，是多边形章节的常规基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆多边形外角和的核心性质：任意多边形的外角和恒为360°，与边数无关。本题已知多边形每个外角都是72°，即所有外角度数相等，因此只需要用外角的总度数除以单个外角的度数，就能得到外角的个数，而多边形的外角个数和边数是相等的，由此即可求出边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，且该多边形每个外角的度数都是72°，
又
∵多边形的边数 = 外角和÷单个外角的度数，
∴这个多边形的边数为：$360° ÷ 72° = 5$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形边数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对多边形外角和定理的记忆与应用，解题的关键是牢记多边形外角和固定为360°，掌握已知外角度数求边数的计算方法，是多边形章节的常规基础题。
【难度系数】
0.9
5. 下列各式中，与$\sqrt{12}$是同类二次根式的是 （
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
C
）A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
答案
5.C
解析
【分析】
要判断哪个式子与$\sqrt{12}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题思路分为三步：①先把题干中的$\sqrt{12}$化为最简二次根式，确定它的被开方数；②再逐个把四个选项的二次根式化为最简形式，分别得到各自的被开方数；③对比各选项的被开方数与$\sqrt{12}$最简形式的被开方数，二者相同即为正确答案。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{12}$
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3。
第二步：逐个化简选项并判断
A选项：$\sqrt{6}$已经是最简二次根式，被开方数为6，和3不相等，不是同类二次根式；
B选项：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，和3不相等，不是同类二次根式；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{3}{9}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，和$2\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
D选项：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数为6，和3不相等，不是同类二次根式。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题的关键是先将所有二次根式化为最简形式后再对比被开方数，要熟练掌握二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子与$\sqrt{12}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题思路分为三步：①先把题干中的$\sqrt{12}$化为最简二次根式，确定它的被开方数；②再逐个把四个选项的二次根式化为最简形式，分别得到各自的被开方数；③对比各选项的被开方数与$\sqrt{12}$最简形式的被开方数，二者相同即为正确答案。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{12}$
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3。
第二步：逐个化简选项并判断
A选项：$\sqrt{6}$已经是最简二次根式，被开方数为6，和3不相等，不是同类二次根式；
B选项：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，和3不相等，不是同类二次根式；
C选项：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{3}{9}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，和$2\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
D选项：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数为6，和3不相等，不是同类二次根式。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题的关键是先将所有二次根式化为最简形式后再对比被开方数，要熟练掌握二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，在$□ ABCD$中，$E$和$F$是对角线$AC$上的两点，并且$AE=CF$，则下列结论错误的是（
A.$∠ BAE=∠ BEA$
B.$BE// DF$
C.$△ ABE≌△ CDF$
D.$∠ DAC=∠ BCA$
A
）A.$∠ BAE=∠ BEA$
B.$BE// DF$
C.$△ ABE≌△ CDF$
D.$∠ DAC=∠ BCA$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质得到边、角的等量关系，再结合已知条件$AE=CF$，先判断三角形是否全等，再由全等的性质推导边、角关系，进而判断平行线、角相等的结论是否成立，最终找出没有条件支撑的错误结论即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AB=CD$，$AB// CD$，$AD// BC$
$\therefore ∠ BAE=∠ DCF$，$∠ DAC=∠ BCA$，故D选项结论正确，不符合题意；
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ BAE=∠ DCF\\ AE=CF\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$，故C选项结论正确，不符合题意；
$\therefore ∠ AEB=∠ CFD$
$\therefore 180°-∠ AEB=180°-∠ CFD$，即$∠ BEF=∠ DFE$
$\therefore BE// DF$，故B选项结论正确，不符合题意；
A选项中，题干未给出$AB=BE$的相关条件，无法推出$∠ BAE=∠ BEA$，该结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，需要结合平行四边形的性质逐一验证选项，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，结合平行四边形边、角的相关性质推导结论。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形的性质得到边、角的等量关系，再结合已知条件$AE=CF$，先判断三角形是否全等，再由全等的性质推导边、角关系，进而判断平行线、角相等的结论是否成立，最终找出没有条件支撑的错误结论即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AB=CD$，$AB// CD$，$AD// BC$
$\therefore ∠ BAE=∠ DCF$，$∠ DAC=∠ BCA$，故D选项结论正确，不符合题意；
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ BAE=∠ DCF\\ AE=CF\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$，故C选项结论正确，不符合题意；
$\therefore ∠ AEB=∠ CFD$
$\therefore 180°-∠ AEB=180°-∠ CFD$，即$∠ BEF=∠ DFE$
$\therefore BE// DF$，故B选项结论正确，不符合题意；
A选项中，题干未给出$AB=BE$的相关条件，无法推出$∠ BAE=∠ BEA$，该结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，需要结合平行四边形的性质逐一验证选项，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，结合平行四边形边、角的相关性质推导结论。
【难度系数】
0.7
7. 写一组你喜欢的勾股数：
12,16,20(答案不唯一)
.答案
7.12,16,20(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先回忆勾股数的判定条件：一是三个数都为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。我们可以先从最常见的基础勾股数（如3,4,5）入手，将三个数同时乘以同一个正整数，得到的新数组依然满足勾股数的要求，也可以直接填写自己熟记的其他符合条件的勾股数，写好后可验证是否满足勾股定理，确保答案正确。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数$a、b、c$称为勾股数。
我们选取基础勾股数3,4,5，将三个数同时扩大4倍，得到12,16,20，验证如下：
$12^2 = 144$，$16^2 = 256$，$20^2 = 400$
因为$144 + 256 = 400$，即$12^2 + 16^2 = 20^2$，且12、16、20均为正整数，符合勾股数的要求。
注：也可填写6,8,10、5,12,13等其他符合要求的勾股数。
【答案】
12,16,20(答案不唯一)
【知识点】
1.勾股数的定义
2.勾股定理的应用
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对勾股数概念的理解，只要掌握勾股数的判定条件，结合常见的基础勾股数就能快速得出答案，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆勾股数的判定条件：一是三个数都为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。我们可以先从最常见的基础勾股数（如3,4,5）入手，将三个数同时乘以同一个正整数，得到的新数组依然满足勾股数的要求，也可以直接填写自己熟记的其他符合条件的勾股数，写好后可验证是否满足勾股定理，确保答案正确。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数$a、b、c$称为勾股数。
我们选取基础勾股数3,4,5，将三个数同时扩大4倍，得到12,16,20，验证如下：
$12^2 = 144$，$16^2 = 256$，$20^2 = 400$
因为$144 + 256 = 400$，即$12^2 + 16^2 = 20^2$，且12、16、20均为正整数，符合勾股数的要求。
注：也可填写6,8,10、5,12,13等其他符合要求的勾股数。
【答案】
12,16,20(答案不唯一)
【知识点】
1.勾股数的定义
2.勾股定理的应用
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对勾股数概念的理解，只要掌握勾股数的判定条件，结合常见的基础勾股数就能快速得出答案，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
8.$\sqrt{52}$化成最简二次根式的结果为________.
答案
8.$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
要将$\sqrt{52}$化为最简二次根式，首先明确最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时先把被开方数52分解质因数，找到其中最大的能开得尽方的正因数，再利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），将能开方的因数开方后移到根号外即可。
【解析】
第一步，分解被开方数：$52=4×13$，其中4是完全平方数（$4=2^2$），13是质数，不能再分解出完全平方因数。
第二步，利用二次根式的性质化简：
$\sqrt{52}=\sqrt{4×13}=\sqrt{4}×\sqrt{13}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
1.最简二次根式
2.二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是正确分解被开方数，准确识别其中的完全平方因数，熟练掌握二次根式的运算性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要将$\sqrt{52}$化为最简二次根式，首先明确最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时先把被开方数52分解质因数，找到其中最大的能开得尽方的正因数，再利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），将能开方的因数开方后移到根号外即可。
【解析】
第一步，分解被开方数：$52=4×13$，其中4是完全平方数（$4=2^2$），13是质数，不能再分解出完全平方因数。
第二步，利用二次根式的性质化简：
$\sqrt{52}=\sqrt{4×13}=\sqrt{4}×\sqrt{13}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
1.最简二次根式
2.二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是正确分解被开方数，准确识别其中的完全平方因数，熟练掌握二次根式的运算性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ A=90°$，若 $BC^2=9$，则 $AB^2+AC^2+BC^2$ 的值为________。
答案
9.18
解析
【分析】
本题是直角三角形背景下的代数式求值问题，解题思路如下：首先确定Rt△ABC的斜边，已知∠A是直角，因此∠A对的边BC是斜边；再根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得到AB²+AC²和BC²的等量关系；最后结合已知BC²=9，代入待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，
∴ BC为斜边，根据勾股定理可得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
已知$BC^2=9$，
∴ $AB^2 + AC^2 = 9$，
∴ $AB^2+AC^2+BC^2 = 9 + 9 = 18$。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理的直接应用，解题关键是准确识别直角对应的斜边，正确运用勾股定理得到边的平方关系，代入数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形背景下的代数式求值问题，解题思路如下：首先确定Rt△ABC的斜边，已知∠A是直角，因此∠A对的边BC是斜边；再根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得到AB²+AC²和BC²的等量关系；最后结合已知BC²=9，代入待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，
∴ BC为斜边，根据勾股定理可得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
已知$BC^2=9$，
∴ $AB^2 + AC^2 = 9$，
∴ $AB^2+AC^2+BC^2 = 9 + 9 = 18$。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理的直接应用，解题关键是准确识别直角对应的斜边，正确运用勾股定理得到边的平方关系，代入数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
