19.如图,在四边形ABCD中,AB=5,BC=x−5,DC=x−3,AD=11−x,BD=4,BD⊥BC.试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.

19.$∵BC=x-5,DC=x-3,BD=4,BD⊥BC$,
$∴CD^2-BC^2=BD^2$,
即$(x-3)^2-(x-5)^2=16$.
解得$x=8$.
$∴BC=3,DC=5,AD=3$.
$∵AB=CD,AD=BC$,
$∴$四边形$ABCD$是平行四边形.

20.【问题探究】
(1)如图1,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$和$∠ DAB$的平分线$BE$,$AE$交于$CD$边上的点$E$.求证:$E$为$CD$的中点.
【问题解决】
(2)如图2,是一个形状为平行四边形的社区公园$ABCD$,点$E$是$CD$上一点,连接$BE$,$AE$,沿$BE$和$AE$修建景观步道,$BE$平分$∠ ABC$,$AE$平分$∠ DAB$,$△ ECB$为花卉区,$△ AEB$是休憩草坪区,$△ DAE$为健身活动区.为方便游客,在$AE$中点$F$设休息驿站,并修建一条连接驿站$F$与大门$C$的观景小道$CF$,$CF$与$BE$交于点$G$,规划师需确定$BG$与$EG$的数量关系,请你帮忙解答并说明理由.

20.(1)$∵$四边形$ABCD$是平行四边形，
$∴CD// AB,AD=BC$.
$∴∠DEA=∠BAE,∠CEB=∠ABE$.
$∵BE$平分$∠ABC$,$AE$平分$∠DAB$，
$∴∠DAE=∠BAE,∠CBE=∠ABE$.
$∴∠DEA=∠DAE,∠CBE=∠CEB$.
$∴AD=DE,BC=CE$.
$∴DE=CE$.
$∴E$为$CD$的中点.
(2)$BG=3EG$.理由如下：
如图2,取$BE$的中点$H$,连接$FH$.
$∵$点$F$为$AE$的中点，
$∴FH// AB$,$FH=\frac{1}{2}AB$.
同(1)可得,点$E$为$DC$中点,即$CE=\frac{1}{2}CD$.
$∵CD// AB$,且$CD=AB$，
$∴CD// FH$,$CE=\frac{1}{2}AB=FH$.
$∴∠CEG=∠FHG$.
在$△ CEG$和$△ FHG$中，
$\begin{cases}∠CGE=∠FGH,\\∠CEG=∠FHG,\\CE=FH,\end{cases}$
$∴△ CEG≌△ FHG(\mathrm{AAS})$.
$∴EG=HG$.
$∴EH=2EG$.
$∵EB=2EH$,
$∴EB=4EG$.
$∴BG=EB-EG=4EG-EG=3EG$.