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$(1000 - x)$个,可列出符合题意的方程为$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}(1000 - x) = 999$.根据已有信息,题中用“$···,···$”表示缺失的条件可能为 （
A.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱
B.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱
C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱
D.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱
A
）A.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱
B.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱
C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱
D.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱
答案
8. A
解析
【分析】
这是一道根据已列出的方程反推题干缺失条件的题目，解题核心是利用“单价×数量=总价”的关系，明确方程中每个代数式的实际含义。首先方程左边两项分别对应两种果子的总花费，右边是两种果子的总支出，我们只需要分别分析两个含数量的项的系数，就能得到两种果子的单价规则，再对应匹配选项即可。
【解析】
先分析方程$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}(1000 - x) = 999$各部分的含义：
1. 式中$x$为甜果的数量，$\frac{11}{9}x$是购买甜果的总花费，由此可得单个甜果的价格为$\frac{11}{9}$文，即9个甜果共需要11文钱；
2. 式中$(1000-x)$为苦果的数量，$\frac{4}{7}(1000-x)$是购买苦果的总花费，由此可得单个苦果的价格为$\frac{4}{7}$文，即7个苦果共需要4文钱。
综上可知缺失的条件与A选项表述一致。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；单价数量总价关系
【点评】
本题逆向考查一元一次方程的实际应用，要求学生能准确理解方程中各项对应的实际意义，结合总价计算公式即可快速判断，解题时注意区分两种果子的单价规则，不要混淆二者的对应关系。
【难度系数】
0.8
这是一道根据已列出的方程反推题干缺失条件的题目，解题核心是利用“单价×数量=总价”的关系，明确方程中每个代数式的实际含义。首先方程左边两项分别对应两种果子的总花费，右边是两种果子的总支出，我们只需要分别分析两个含数量的项的系数，就能得到两种果子的单价规则，再对应匹配选项即可。
【解析】
先分析方程$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}(1000 - x) = 999$各部分的含义：
1. 式中$x$为甜果的数量，$\frac{11}{9}x$是购买甜果的总花费，由此可得单个甜果的价格为$\frac{11}{9}$文，即9个甜果共需要11文钱；
2. 式中$(1000-x)$为苦果的数量，$\frac{4}{7}(1000-x)$是购买苦果的总花费，由此可得单个苦果的价格为$\frac{4}{7}$文，即7个苦果共需要4文钱。
综上可知缺失的条件与A选项表述一致。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；单价数量总价关系
【点评】
本题逆向考查一元一次方程的实际应用，要求学生能准确理解方程中各项对应的实际意义，结合总价计算公式即可快速判断，解题时注意区分两种果子的单价规则，不要混淆二者的对应关系。
【难度系数】
0.8
9 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为$2:3$，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为$4:5$。如果甲桶内的果汁刚好装满120个小纸杯，那么乙桶内的果汁刚好装满________个大纸杯。
答案
9. 100 【解析】设乙桶内的果汁刚好装满 $x$ 个大纸杯. 根据题意,得 $120×2:3x=4:5$. 解这个方程,得 $x=100$. 所以乙桶内的果汁刚好装满 100 个大纸杯.
解析
【分析】
解题时先抓住核心等量关系：甲桶果汁体积:乙桶果汁体积=4:5。已知小纸杯与大纸杯容量比为2:3，我们可以将小纸杯容量看作2份、大纸杯容量看作3份，甲桶果汁总容量就是120个小纸杯的容量之和，乙桶果汁总容量是x个大纸杯的容量之和，将两者代入体积比的等量关系即可列出比例式，再结合比例的基本性质求解未知数即可。
【解析】
解：设乙桶内的果汁刚好装满$x$个大纸杯。
根据甲桶果汁体积与乙桶果汁体积比为$4:5$，可列比例：
$(120×2):(3x)=4:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），得：
$3x×4=120×2×5$
化简得：
$12x=1200$
两边同时除以12，得：
$x=100$
【答案】
100
【知识点】
比例的应用；比例的基本性质
【点评】
本题是典型的比例类实际应用题，解题关键是理清各量之间的比例关系，找到不变的体积比作为等量关系列等式，计算过程较为简单，只要准确梳理各量的对应关系即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住核心等量关系：甲桶果汁体积:乙桶果汁体积=4:5。已知小纸杯与大纸杯容量比为2:3，我们可以将小纸杯容量看作2份、大纸杯容量看作3份，甲桶果汁总容量就是120个小纸杯的容量之和，乙桶果汁总容量是x个大纸杯的容量之和，将两者代入体积比的等量关系即可列出比例式，再结合比例的基本性质求解未知数即可。
【解析】
解：设乙桶内的果汁刚好装满$x$个大纸杯。
根据甲桶果汁体积与乙桶果汁体积比为$4:5$，可列比例：
$(120×2):(3x)=4:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），得：
$3x×4=120×2×5$
化简得：
$12x=1200$
两边同时除以12，得：
$x=100$
【答案】
100
【知识点】
比例的应用；比例的基本性质
【点评】
本题是典型的比例类实际应用题，解题关键是理清各量之间的比例关系，找到不变的体积比作为等量关系列等式，计算过程较为简单，只要准确梳理各量的对应关系即可得分。
【难度系数】
0.8
10 一列火车匀速行驶经过一条 300 m 长的隧道需要 20 s. 隧道的顶上有一盏灯,垂直向下照射,灯光照在火车上的时间是 10 s. 求这列火车的长度.
答案
10. 设这列火车的长度为 $x$ m. 根据题意,得 $\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$. 解这个方程,得 $x=300$. 答:这列火车的长度为 300 m
解析
【分析】
解题的核心是抓住火车匀速行驶时速度不变这一等量关系。首先分析灯光照射火车的场景：灯光固定，从灯光照到车头到离开车尾，火车行驶的路程等于自身长度，若设火车长为x m，照射时间为10s，则火车速度可表示为$\frac{x}{10}$ m/s；再分析火车过隧道的场景：从车头进入隧道到车尾完全离开隧道，火车行驶的总路程为隧道长加火车长，即(300+x)m，用时20s，则火车速度也可表示为$\frac{300+x}{20}$ m/s。由于速度不变，两个速度表达式相等，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设这列火车的长度为 $x$ m。
根据火车匀速行驶速度不变，列方程得：
$\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$
去分母，两边同时乘20得：$2x = x + 300$
移项、合并同类项得：$x = 300$
答：这列火车的长度为300 m。
【答案】
300 m
【知识点】
一元一次方程应用、匀速行程问题、火车过隧道问题
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题关键是准确判断两种场景下火车行驶的对应路程，抓住匀速运动速度不变的等量关系列方程求解，可有效锻炼学生分析实际问题、提炼等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住火车匀速行驶时速度不变这一等量关系。首先分析灯光照射火车的场景：灯光固定，从灯光照到车头到离开车尾，火车行驶的路程等于自身长度，若设火车长为x m，照射时间为10s，则火车速度可表示为$\frac{x}{10}$ m/s；再分析火车过隧道的场景：从车头进入隧道到车尾完全离开隧道，火车行驶的总路程为隧道长加火车长，即(300+x)m，用时20s，则火车速度也可表示为$\frac{300+x}{20}$ m/s。由于速度不变，两个速度表达式相等，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设这列火车的长度为 $x$ m。
根据火车匀速行驶速度不变，列方程得：
$\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$
去分母，两边同时乘20得：$2x = x + 300$
移项、合并同类项得：$x = 300$
答：这列火车的长度为300 m。
【答案】
300 m
【知识点】
一元一次方程应用、匀速行程问题、火车过隧道问题
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题关键是准确判断两种场景下火车行驶的对应路程，抓住匀速运动速度不变的等量关系列方程求解，可有效锻炼学生分析实际问题、提炼等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
11 [2024 北京]为防治污染，保护和改善生态环境，自 2023 年 7 月 1 日起，我国全面实施汽车国六排放标准(以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求 A 类物质排放量不超过 35 mg/km，A，B 两类物质排放量之和不超过 50 mg/km.已知该型号某汽车的 A，B 两类物质排放量之和原为 92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的 A 类物质排放量降低了 50%，B 类物质排放量降低了75%，A，B 两类物质排放量之和为 40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
答案
11. 这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准” 理由:设原来该汽车的 A 类物质排放量为 $x$ mg/km,则该汽车的 B类物质排放量为$(92-x)$mg/km. 根据题意,得$(1-50\%)x+(1-75\%)(92-x)=40$. 解这个方程,得 $x=68$,此时$(1-50\%)x=34$,即这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量为 34 mg/km. 因为 $34＜35$,所以这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准”.
解析
【分析】
要判断改进后A类物质排放量是否符合标准，首先需要求出改进后A类的排放量。已知改进前A、B两类排放量总和为92mg/km，改进后A降低50%、B降低75%后总和为40mg/km，我们可以先设改进前A类排放量为x mg/km，用含x的式子表示出改进前B类的排放量，再根据改进后两类排放量之和为40mg/km的等量关系列一元一次方程，求解出原来A的排放量后，计算改进后的A排放量，最后和标准要求的35mg/km比较即可判断是否符合。
【解析】
设改进前该汽车的A类物质排放量为$x$ mg/km，则改进前B类物质排放量为$(92-x)$ mg/km。
根据题意列方程：
$(1-50\%)x + (1-75\%)(92-x) = 40$
化简得：$0.5x + 0.25(92-x) = 40$
去括号：$0.5x + 23 - 0.25x = 40$
合并同类项：$0.25x + 23 = 40$
移项计算得：$0.25x = 17$，解得$x=68$
则改进后A类物质排放量为：$0.5×68=34$ mg/km
已知标准要求A类排放量不超过35mg/km，因为$34＜35$，所以符合标准。
【答案】
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用 2. 百分数的计算
【点评】
本题结合环保政策的实际背景，考查运用方程解决实际问题的能力，解题关键是准确找准题目中的等量关系，正确设未知数列方程求解，再结合规定标准比较判断，贴近生活实际，能引导学生关注身边的数学应用。
【难度系数】
0.8
要判断改进后A类物质排放量是否符合标准，首先需要求出改进后A类的排放量。已知改进前A、B两类排放量总和为92mg/km，改进后A降低50%、B降低75%后总和为40mg/km，我们可以先设改进前A类排放量为x mg/km，用含x的式子表示出改进前B类的排放量，再根据改进后两类排放量之和为40mg/km的等量关系列一元一次方程，求解出原来A的排放量后，计算改进后的A排放量，最后和标准要求的35mg/km比较即可判断是否符合。
【解析】
设改进前该汽车的A类物质排放量为$x$ mg/km，则改进前B类物质排放量为$(92-x)$ mg/km。
根据题意列方程：
$(1-50\%)x + (1-75\%)(92-x) = 40$
化简得：$0.5x + 0.25(92-x) = 40$
去括号：$0.5x + 23 - 0.25x = 40$
合并同类项：$0.25x + 23 = 40$
移项计算得：$0.25x = 17$，解得$x=68$
则改进后A类物质排放量为：$0.5×68=34$ mg/km
已知标准要求A类排放量不超过35mg/km，因为$34＜35$，所以符合标准。
【答案】
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用 2. 百分数的计算
【点评】
本题结合环保政策的实际背景，考查运用方程解决实际问题的能力，解题关键是准确找准题目中的等量关系，正确设未知数列方程求解，再结合规定标准比较判断，贴近生活实际，能引导学生关注身边的数学应用。
【难度系数】
0.8
12 若关于x的方程$5x - a = 0$的解比关于y的方程$3y + a = 0$的解小2，则a的值是（
A.$\dfrac{15}{4}$
B.$-\dfrac{15}{4}$
C.$\dfrac{4}{15}$
D.$-\dfrac{4}{15}$
B
）A.$\dfrac{15}{4}$
B.$-\dfrac{15}{4}$
C.$\dfrac{4}{15}$
D.$-\dfrac{4}{15}$
答案
12. B
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，分别求解两个关于x、y的一元一次方程，将两个方程的解用含a的代数式表示；第二步，抓住“方程$5x - a = 0$的解比方程$3y + a = 0$的解小2”这一条件，得到等量关系：$x=y-2$（或$y-x=2$）；第三步，把用a表示的x、y代入等量关系，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：先分别求解两个方程的解：
1. 解方程$5x - a = 0$：
移项得$5x = a$，
系数化为1，得$x = \frac{a}{5}$。
2. 解方程$3y + a = 0$：
移项得$3y = -a$，
系数化为1，得$y = -\frac{a}{3}$。
根据题意，x的解比y的解小2，即$x = y - 2$，将x、y代入得：
$\frac{a}{5} = -\frac{a}{3} - 2$
两边同时乘15消去分母，得：
$3a = -5a - 30$
移项合并同类项，得：
$8a = -30$
系数化为1，得：
$a = -\frac{30}{8} = -\frac{15}{4}$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
3. 参数求解
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用题型，解题的核心是正确用参数a表示两个方程的解，再结合题干给出的解的大小关系建立关于a的方程，计算时注意符号问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，分别求解两个关于x、y的一元一次方程，将两个方程的解用含a的代数式表示；第二步，抓住“方程$5x - a = 0$的解比方程$3y + a = 0$的解小2”这一条件，得到等量关系：$x=y-2$（或$y-x=2$）；第三步，把用a表示的x、y代入等量关系，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：先分别求解两个方程的解：
1. 解方程$5x - a = 0$：
移项得$5x = a$，
系数化为1，得$x = \frac{a}{5}$。
2. 解方程$3y + a = 0$：
移项得$3y = -a$，
系数化为1，得$y = -\frac{a}{3}$。
根据题意，x的解比y的解小2，即$x = y - 2$，将x、y代入得：
$\frac{a}{5} = -\frac{a}{3} - 2$
两边同时乘15消去分母，得：
$3a = -5a - 30$
移项合并同类项，得：
$8a = -30$
系数化为1，得：
$a = -\frac{30}{8} = -\frac{15}{4}$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
3. 参数求解
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用题型，解题的核心是正确用参数a表示两个方程的解，再结合题干给出的解的大小关系建立关于a的方程，计算时注意符号问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13 方程思想 在初中数学文化节游园活动中，小明参加了“智取九宫格”的游戏，游戏规则:在九宫格中,除了已经填写的三个数之外的每一个方格中,填入一个数,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等,且均为m.小明抽取到的题目如图所示,他运用初中所学的数学知识,很快就完成了这个游戏,则m的值为
39
.答案
13. 39 【解析】设九宫格中最中间的数为 $x$. 根据第 1 列的中间的数与第 2 行的最左侧的数重合,得 $16+4=7+x$,解得 $x=13$. 由于易得九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和等于最中间数的 3 倍,所以 $m=3x=39$.
解析
【分析】
这是三阶幻方问题，核心特征是每行、每列、两条对角线的三个数之和都等于m。解题时我们可以先设九宫格最中间的数为x，找到含公共项的两组等量关系：第一列的和与第二行的和均为m，二者都包含第二行第一列的未知项，消去这个公共未知项就能得到关于x的一元一次方程，求出x后，再利用三阶幻方的基本性质即可快速算出m的值。
【解析】
设九宫格最中间的数为$x$。
由题意可知，第一列三个数的和等于第二行三个数的和，都为$m$，可得：
$16 + \mathrm{第二行第一列的数} + 4 = \mathrm{第二行第一列的数} + x +7$
根据等式的性质，两边同时减去第二行第一列的数，得：
$16+4=x+7$
解得$x=13$。
根据三阶幻方的性质，每行、每列、对角线的和等于中间数的3倍，因此$m=3x=3×13=39$。
【答案】
39
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程应用，等式的性质
【点评】
本题结合趣味数学游戏考查幻方规律与方程思想的运用，解题的关键是找到含公共项的等量关系消元求解中间数，掌握幻方的基本性质可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是三阶幻方问题，核心特征是每行、每列、两条对角线的三个数之和都等于m。解题时我们可以先设九宫格最中间的数为x，找到含公共项的两组等量关系：第一列的和与第二行的和均为m，二者都包含第二行第一列的未知项，消去这个公共未知项就能得到关于x的一元一次方程，求出x后，再利用三阶幻方的基本性质即可快速算出m的值。
【解析】
设九宫格最中间的数为$x$。
由题意可知，第一列三个数的和等于第二行三个数的和，都为$m$，可得：
$16 + \mathrm{第二行第一列的数} + 4 = \mathrm{第二行第一列的数} + x +7$
根据等式的性质，两边同时减去第二行第一列的数，得：
$16+4=x+7$
解得$x=13$。
根据三阶幻方的性质，每行、每列、对角线的和等于中间数的3倍，因此$m=3x=3×13=39$。
【答案】
39
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程应用，等式的性质
【点评】
本题结合趣味数学游戏考查幻方规律与方程思想的运用，解题的关键是找到含公共项的等量关系消元求解中间数，掌握幻方的基本性质可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
