14 分类讨论思想 如图,在长方形ABCD中,AB=4 cm,BC=3 cm,E为CD上一点,且DE=CE,动点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→B→C→E运动,最终到达点E.若点P运动的时间为x s,则当x=时,三角形APE的面积为5 cm².

14. $\frac{10}{3}$或5 【解析】① 当点 $P$ 在边 $AB$ 上时,由三角形 $APE$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$,得 $\frac{1}{2}x·3=5$,解得 $x=\frac{10}{3}$.② 当点 $P$ 在边 $BC$ 上时(如图①),由三角形 $APE$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$,得 $S_{\mathrm{长方形}ABCD}-S_{\mathrm{三角形}CPE}-S_{\mathrm{三角形}ADE}-S_{\mathrm{三角形}ABP}=S_{\mathrm{三角形}APE}$,即 $3×4-\frac{1}{2}(3+4-x)×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×4×(x-4)=5$,解得 $x=5$. ③ 当点 $P$ 在边 $CE$ 上时(如图②),由三角形 $APE$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$,得 $\frac{1}{2}(4+3+2-x)×3=5$,解得 $x=\frac{17}{3}＜3+4$,此种情况不合题意,舍去.综上所述,当 $x=\frac{10}{3}$ 或 5 时,三角形 $APE$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
本题是动点背景下的面积求解问题，由于点P在不同边上运动时，△APE的面积计算方式存在差异，因此需要分三种情况讨论：①点P在AB边上；②点P在BC边上；③点P在CE边上。每种情况先确定x的取值范围，再根据面积公式或割补法列关于x的一元一次方程，求解后检验解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
已知长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，因此AD=BC=3cm，CD=AB=4cm，又E为CD中点，故DE=CE=2cm。点P运动速度为1cm/s，分三种情况讨论：
① 当点P在AB边上（$0＜x\le4$）时：
△APE的底$AP=x\ \mathrm{cm}$，高等于AD的长度3cm，由面积为$5\ \mathrm{cm}^2$可得：
$\frac{1}{2} × x × 3 =5$
解得$x=\frac{10}{3}$，符合$0＜x\le4$，成立。
② 当点P在BC边上（$4＜x\le7$）时：
用长方形面积减去周边三个三角形的面积求△APE的面积：
长方形ABCD面积$=3×4=12\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × DE × AD=\frac{1}{2} × 2 × 3=3\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × BP=\frac{1}{2} ×4 × (x-4)$，
$S_{△ CPE}=\frac{1}{2} × CE × CP=\frac{1}{2} ×2 × (7-x)$，
根据$S_{△ APE}=S_{\mathrm{长方形}ABCD} - S_{△ ADE} - S_{△ ABP} - S_{△ CPE}=5$，代入得：
$12 - 3 - \frac{1}{2}×4×(x-4) - \frac{1}{2}×2×(7-x) =5$
解方程得$x=5$，符合$4＜x\le7$，成立。
③ 当点P在CE边上（$7＜x\le9$）时：
△APE的底$PE=(9 -x)\ \mathrm{cm}$，高等于AD的长度3cm，由面积为$5\ \mathrm{cm}^2$可得：
$\frac{1}{2} × (9 -x) ×3 =5$
解得$x=\frac{17}{3}$，$\frac{17}{3}＜7$，不符合$7＜x\le9$的范围，舍去。
综上，符合条件的x的值为$\frac{10}{3}$或5。
【答案】
$\frac{10}{3}$或5
【知识点】
分类讨论思想，三角形面积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合动点场景考查面积求解，核心是根据动点的位置分类讨论，根据面积关系列方程求解，同时要注意验证解是否符合动点所在的区间，排除不合题意的增解，能有效考查逻辑思维和计算能力。
【难度系数】
0.6

15 新考向 新定义题 定义:若两个一元一次方程的解的乘积为1,则称这两个方程互为“倒数方程”,如方程$3x-1=0$与$x-3=0$互为“倒数方程”.
(1) 关于$x$的方程$4x-3=0$与$3x-m=0$互为“倒数方程”,则$m$的值为________;
(2) 关于$x$的方程$3x-(n+3)=0$与其“倒数方程”的解都是整数,求$n$的值;
(3) 关于$x$的方程$3(x-1)+2=0$与$\frac{27}{2026}x+5=2x+k$互为“倒数方程”,求关于$y$的一元一次方程$\frac{27}{2026}(y+1)+4=2y+k+1$的解.

15. (1) 4
(2) 解方程 $3x-(n+3)=0$,得 $x=\frac{n+3}{3}$,所以其“倒数方程”的解为 $x=\frac{3}{n+3}$. 根据题意,得 $\frac{n+3}{3},\frac{3}{n+3}$ 都是整数,所以 $n+3=\pm3$,解得 $n=0$ 或 $-6$
(3) 解方程 $3(x-1)+2=0$,得 $x=\frac{1}{3}$. 所以它的“倒数方程”$\frac{27}{2026}x+5=2x+k$ 的解为 $x=3$. 因为 $\frac{27}{2026}(y+1)+4=2y+k+1$ 可化为 $\frac{27}{2026}(y+1)+5=2(y+1)+k$,所以 $y+1=3$. 所以 $y=2$. 所以关于 $y$ 的一元一次方程 $\frac{27}{2026}(y+1)+4=2y+k+1$ 的解为 $y=2$

【分析】
解题的核心是准确理解“倒数方程”的定义：两个一元一次方程的解的乘积为1，则两方程互为“倒数方程”。各小问思路如下：
(1) 先求解第一个方程的解，根据定义算出第二个方程的解，代入第二个方程即可求m；
(2) 先求出原方程的解，根据定义得到其倒数方程的解，结合两个解均为整数的条件，推导n的取值；
(3) 先解第一个方程得到其解，根据定义得到第二个含参方程的解，再观察关于y的方程的结构，将y+1看作整体，利用两个方程结构一致的特点直接求解y。
【解析】
(1) 解方程$4x-3=0$，得$x=\frac{3}{4}$。
根据“倒数方程”定义，方程$3x-m=0$的解为$1÷\frac{3}{4}=\frac{4}{3}$。
将$x=\frac{4}{3}$代入$3x-m=0$，得$3×\frac{4}{3}-m=0$，解得$m=4$。
(2) 解方程$3x-(n+3)=0$，移项得$3x=n+3$，系数化为1得$x=\frac{n+3}{3}$。
根据“倒数方程”定义，其倒数方程的解为$1÷\frac{n+3}{3}=\frac{3}{n+3}$。
由题意知$\frac{n+3}{3}$和$\frac{3}{n+3}$均为整数，因此$n+3$是3的因数，即$n+3=\pm3$。
当$n+3=3$时，$n=0$；当$n+3=-3$时，$n=-6$。
(3) 解方程$3(x-1)+2=0$，去括号整理得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$。
根据“倒数方程”定义，方程$\frac{27}{2026}x+5=2x+k$的解为$1÷\frac{1}{3}=3$。
将关于y的方程$\frac{27}{2026}(y+1)+4=2y+k+1$变形：两边同时加1得$\frac{27}{2026}(y+1)+5=2(y+1)+k$，该方程与$\frac{27}{2026}x+5=2x+k$结构完全一致，因此$y+1=3$，解得$y=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{n=0}$或$\boldsymbol{n=-6}$；(3) $\boldsymbol{y=2}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 新定义应用
3. 整体思想求值
【点评】
本题以新定义为载体考查一元一次方程的相关知识，既考查对新定义的理解能力，也考查知识迁移能力，第三小问通过观察方程结构运用整体思想，可避开复杂的参数计算，有效简化解题过程。
【难度系数】
0.6

16 教材 P135 复习题 T17 变式 有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可燃 4 h，细蜡烛可燃 3 h.一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的 2 倍.求停电的时间.

16. 设停电的时间为 $x$ h. 根据题意,得 $1-\frac{x}{4}=2(1-\frac{x}{3})$. 解这个方程,得 $x=2.4$. 答:停电的时间为 $2.4\ \mathrm{h}$

【分析】
解决这类蜡烛燃烧问题，首先我们把蜡烛的总长度看作单位“1”，先分别算出粗、细蜡烛每小时的燃烧量：粗蜡烛可燃4h，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$；细蜡烛可燃3h，每小时燃烧总长度的$\frac{1}{3}$。设停电时间为$x$h，就可以分别表示出两根蜡烛燃烧$x$小时后剩余的长度，再根据“剩余粗蜡烛长度是剩余细蜡烛长度的2倍”这个等量关系列出方程，求解即可得到停电时间。
【解析】
解：设停电的时间为$x$ h，将蜡烛总长度看作单位“1”。
粗蜡烛燃烧$x$小时后剩余长度为：$1-\frac{x}{4}$
细蜡烛燃烧$x$小时后剩余长度为：$1-\frac{x}{3}$
根据剩余粗蜡烛长度是细蜡烛的2倍，列方程：
$1-\frac{x}{4}=2(1-\frac{x}{3})$
去括号，得：$1-\frac{x}{4}=2-\frac{2x}{3}$
移项，得：$\frac{2x}{3}-\frac{x}{4}=2-1$
通分合并同类项，得：$\frac{8x-3x}{12}=1$，即$\frac{5x}{12}=1$
系数化为1，得：$x=\frac{12}{5}=2.4$
答：停电的时间为2.4h。
【答案】
停电的时间为$\boldsymbol{2.4\ \mathrm{h}}$
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 工程类问题
【点评】
本题属于常见的生活类应用题，解题的核心是合理设定单位“1”，准确表达不同蜡烛燃烧后的剩余长度，再结合题干给出的倍数关系建立方程求解，掌握这类问题的处理方法可以快速解决同类燃烧、工程类应用题。
【难度系数】
0.7

17 如图,甲沿周长为 300 m 的环形跑道按逆时针方向跑步,速度为 $ a \ \mathrm{m/s} $,与此同时在甲后面 100 m 处的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步,速度为 $ 3 \ \mathrm{m/s} $.设跑步的时间为 $ t \ \mathrm{s} $.
(1) 若 $ a=5 $,则甲、乙两人经过 s 第 1 次相遇.
(2) 已知当 $ t=50 $ 时,甲、乙两人第 1 次相遇.
① 求 $ a $ 的值;
② 若 $ a＞3 $,甲、乙两人第 1 次相遇前,当两人相距 120 m 时,求 $ t $ 的值.

(第 17 题)

17. (1) 100
(2) ① 根据题意,得 $50(a-3)=300-100$,解得 $a=7$ 或 $50(3-a)=100$,解得 $a=1$. 所以 $a$ 的值是 1 或 7
② 根据题意,得 $a=7$,则 $(7-3)t=120-100$,解得 $t=5$ 或 $(7-3)t=300-100-120$,解得 $t=20$. 所以 $t$ 的值是 5 或 20

【分析】
这是环形跑道的追及问题，解题思路如下：
(1) 初始时乙在甲逆时针方向后方100m，跑道周长300m，当甲速度大于乙时，甲第一次追上乙需要比乙多跑$300-100=200\mathrm{m}$，用追及路程除以速度差即可得到相遇时间。
(2) ① $t=50$时第一次相遇，需分两种情况讨论：若甲速度大于乙，是甲追乙，追及路程为$200\mathrm{m}$；若甲速度小于乙，是乙追甲，追及路程为$100\mathrm{m}$，分别列一元一次方程求解即可。
② 已知$a＞3$，因此$a=7$，此时是速度更快的甲追乙，相遇前相距$120\mathrm{m}$有两种情况：一是甲拉开与乙的距离，两人间距从$100\mathrm{m}$变为$120\mathrm{m}$，路程差为$20\mathrm{m}$；二是甲快追上乙时，乙在甲前方$120\mathrm{m}$，此时甲已比乙多跑$200-120=80\mathrm{m}$，分别列方程求解$t$即可。
【解析】
(1) 当$a=5$时，甲速度大于乙速度，追及路程为$300-100=200\mathrm{m}$，速度差为$5-3=2\mathrm{m/s}$，
则相遇时间$t=200÷2=100\mathrm{s}$。
(2) ① 分两种情况讨论：
情况1：$a＞3$，甲追乙，追及路程为$200\mathrm{m}$，列方程：
$50(a-3)=200$
解得$a=7$
情况2：$a＜3$，乙追甲，追及路程为$100\mathrm{m}$，列方程：
$50(3-a)=100$
解得$a=1$
因此$a$的值为1或7。
② 因为$a＞3$，所以$a=7$，两人速度差为$7-3=4\mathrm{m/s}$，分两种情况：
情况1：两人间距拉大到$120\mathrm{m}$，甲比乙多跑$120-100=20\mathrm{m}$，列方程：
$4t=20$
解得$t=5$
情况2：甲差$120\mathrm{m}$追上乙，甲比乙多跑$200-120=80\mathrm{m}$，列方程：
$4t=80$
解得$t=20$
因此$t$的值为5或20。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) ① $\boxed{1}$或$\boxed{7}$；② $\boxed{5}$或$\boxed{20}$
【知识点】
环形追及问题，一元一次方程的应用，行程问题
【点评】
本题是典型的环形行程追及问题，解题关键是根据速度大小的差异分类讨论追及方向，同时处理距离问题时要考虑环形跑道的两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6