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12. 已知关于 $ x $ 的一元一次方程 $\frac{3x - 1}{2} + m = 3$，其中 $ m $ 是正整数。
(1) 当 $ m = 2 $ 时，求方程的解；
(2) 若方程有正整数解，求 $ m $ 的值。
(1) 当 $ m = 2 $ 时，求方程的解；
(2) 若方程有正整数解，求 $ m $ 的值。
答案
(1)当$m=2$时,原方程为$\frac{3x-1}{2}+2=3$.
移项、去分母,得$3x-1=2$,
移项、合并同类项,得$3x=3$,
系数化为1,得$x=1$.
所以当$m=2$时,方程的解是$x=1$.
(2)去分母,得$3x-1+2m=6$,
移项、合并同类项,得$3x=7-2m$,
系数化为1,得$x=\frac{7-2m}{3}$.
因为$m$是正整数,且方程有正整数解,
所以$m=2$.
移项、去分母,得$3x-1=2$,
移项、合并同类项,得$3x=3$,
系数化为1,得$x=1$.
所以当$m=2$时,方程的解是$x=1$.
(2)去分母,得$3x-1+2m=6$,
移项、合并同类项,得$3x=7-2m$,
系数化为1,得$x=\frac{7-2m}{3}$.
因为$m$是正整数,且方程有正整数解,
所以$m=2$.
解析
【分析】
(1) 第一问是给定参数值求方程的解，解题思路为：直接将$m=2$代入原一元一次方程，再按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的常规解方程步骤计算，即可得到对应方程的解。
(2) 第二问是已知方程解的性质求参数取值，解题思路为：先把$m$当作已知常数，解出用含$m$的代数式表示的$x$，再结合“$m$是正整数、方程的解$x$也是正整数”这两个限制条件，筛选出符合要求的$m$的值。
【解析】
(1) 当$m=2$时，原方程为$\frac{3x-1}{2}+2=3$，
移项、去分母，得$3x-1=2$，
移项、合并同类项，得$3x=3$，
系数化为1，得$x=1$。
(2) 对原方程去分母，得$3x-1+2m=6$，
移项、合并同类项，得$3x=7-2m$，
系数化为1，得$x=\frac{7-2m}{3}$。
因为$m$是正整数，且方程有正整数解，所以$7-2m$是3的正整数倍，验证可得符合条件的正整数$m=2$。
【答案】
(1) $x=1$；(2) $m=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 含参方程参数求解
【点评】
本题难度递进设置两个小问，既考查一元一次方程的基础求解能力，也考查结合限制条件分析参数取值的逻辑思维能力，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是给定参数值求方程的解，解题思路为：直接将$m=2$代入原一元一次方程，再按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的常规解方程步骤计算，即可得到对应方程的解。
(2) 第二问是已知方程解的性质求参数取值，解题思路为：先把$m$当作已知常数，解出用含$m$的代数式表示的$x$，再结合“$m$是正整数、方程的解$x$也是正整数”这两个限制条件，筛选出符合要求的$m$的值。
【解析】
(1) 当$m=2$时，原方程为$\frac{3x-1}{2}+2=3$，
移项、去分母，得$3x-1=2$，
移项、合并同类项，得$3x=3$，
系数化为1，得$x=1$。
(2) 对原方程去分母，得$3x-1+2m=6$，
移项、合并同类项，得$3x=7-2m$，
系数化为1，得$x=\frac{7-2m}{3}$。
因为$m$是正整数，且方程有正整数解，所以$7-2m$是3的正整数倍，验证可得符合条件的正整数$m=2$。
【答案】
(1) $x=1$；(2) $m=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 含参方程参数求解
【点评】
本题难度递进设置两个小问，既考查一元一次方程的基础求解能力，也考查结合限制条件分析参数取值的逻辑思维能力，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
13.定义:关于$x$的方程$ax-b=0$与方程$bx-a=0(a,b$均为不等于$0$的常数)称互为“伴生方程”,例如,方程$2x-1=0$与方程$x-2=0$互为“伴生方程”.
(1)若关于$x$的方程$2x-3=0$与方程$3x-c=0$互为“伴生方程”,则$c=$
(2)若关于$x$的方程$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为“伴生方程”,求$m,n$的值;
(3)若关于$x$的方程$5x-b=0$与其“伴生方程”的解都是整数,求整数$b$的值.
(1)若关于$x$的方程$2x-3=0$与方程$3x-c=0$互为“伴生方程”,则$c=$
2
;(2)若关于$x$的方程$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为“伴生方程”,求$m,n$的值;
(3)若关于$x$的方程$5x-b=0$与其“伴生方程”的解都是整数,求整数$b$的值.
答案
(2)解:将$4x+3m+1=0$写成$4x-(-3m-1)=0$的形式,将$5x-n+2=0$写成$5x-(n-2)=0$的形式.
因为方程$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为“伴生方程”,所以$-3m-1=5$,$n-2=4$,
解得$m=-2$,$n=6$,
所以$m$,$n$的值分别是$-2$,$6$.
(3)解:$5x-b=0$的“伴生方程”为$bx-5=0(b≠0)$,
由$5x-b=0$,得$x=\frac{b}{5}$.由$bx-5=0$,得$x=\frac{5}{b}$.
因为$5x-b=0$与$bx-5=0$的解均为整数,
所以$\frac{b}{5}$与$\frac{5}{b}$都为整数.
因为$b$也为整数,所以当$b=5$时,$\frac{b}{5}=1$,$\frac{5}{b}=1$,都为整数,
当$b=-5$时,$\frac{b}{5}=-1$,$\frac{5}{b}=-1$,都为整数,
所以整数$b$的值为$\pm5$.
因为方程$4x+3m+1=0$与方程$5x-n+2=0$互为“伴生方程”,所以$-3m-1=5$,$n-2=4$,
解得$m=-2$,$n=6$,
所以$m$,$n$的值分别是$-2$,$6$.
(3)解:$5x-b=0$的“伴生方程”为$bx-5=0(b≠0)$,
由$5x-b=0$,得$x=\frac{b}{5}$.由$bx-5=0$,得$x=\frac{5}{b}$.
因为$5x-b=0$与$bx-5=0$的解均为整数,
所以$\frac{b}{5}$与$\frac{5}{b}$都为整数.
因为$b$也为整数,所以当$b=5$时,$\frac{b}{5}=1$,$\frac{5}{b}=1$,都为整数,
当$b=-5$时,$\frac{b}{5}=-1$,$\frac{5}{b}=-1$,都为整数,
所以整数$b$的值为$\pm5$.
解析
【分析】
首先明确“伴生方程”的定义：若$ax-b=0$与$bx-a=0$（$a,b$均不为0）互为伴生方程，则前者的一次项系数$a$是后者的常数项，前者的常数项$b$是后者的一次项系数。
(1) 直接对照定义写出$2x-3=0$的伴生方程，对比即可求出$c$的值；
(2) 先把两个已知方程整理成$ax-b=0$的标准形式，再根据伴生方程的系数对应关系列等式，求解$m、n$；
(3) 先写出$5x-b=0$的伴生方程，分别求出两个方程的解，结合解为整数、$b$为整数的限制条件，确定$b$的取值。
【解析】
(1) 根据伴生方程的定义，$2x-3=0$的伴生方程为$3x-2=0$，已知其伴生方程为$3x-c=0$，因此$c=2$。
(2) 先将两个方程整理为$ax-b=0$的形式：
$4x+3m+1=0$变形为$4x-(-3m-1)=0$，$5x-n+2=0$变形为$5x-(n-2)=0$。
根据伴生方程的定义可得：$\begin{cases}-3m-1=5\\n-2=4\end{cases}$
解第一个等式：$-3m=6$，得$m=-2$；
解第二个等式：得$n=6$。
(3) $5x-b=0$的伴生方程为$bx-5=0$（$b≠0$）。
分别解两个方程：
由$5x-b=0$得$x=\frac{b}{5}$；由$bx-5=0$得$x=\frac{5}{b}$。
已知两个解均为整数，且$b$为整数，因此$\frac{b}{5}$和$\frac{5}{b}$都为整数，即$b$既能被5整除，又能整除5，满足条件的整数$b$为$5$和$-5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $m=\boldsymbol{-2}$，$n=\boldsymbol{6}$；(3) $\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的解，整数解判定
【点评】
本题关键是准确理解新定义“伴生方程”的系数对应规则，将陌生的新定义问题转化为熟悉的一元一次方程相关问题求解，第三小问要注意考虑正负整数两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确“伴生方程”的定义：若$ax-b=0$与$bx-a=0$（$a,b$均不为0）互为伴生方程，则前者的一次项系数$a$是后者的常数项，前者的常数项$b$是后者的一次项系数。
(1) 直接对照定义写出$2x-3=0$的伴生方程，对比即可求出$c$的值；
(2) 先把两个已知方程整理成$ax-b=0$的标准形式，再根据伴生方程的系数对应关系列等式，求解$m、n$；
(3) 先写出$5x-b=0$的伴生方程，分别求出两个方程的解，结合解为整数、$b$为整数的限制条件，确定$b$的取值。
【解析】
(1) 根据伴生方程的定义，$2x-3=0$的伴生方程为$3x-2=0$，已知其伴生方程为$3x-c=0$，因此$c=2$。
(2) 先将两个方程整理为$ax-b=0$的形式：
$4x+3m+1=0$变形为$4x-(-3m-1)=0$，$5x-n+2=0$变形为$5x-(n-2)=0$。
根据伴生方程的定义可得：$\begin{cases}-3m-1=5\\n-2=4\end{cases}$
解第一个等式：$-3m=6$，得$m=-2$；
解第二个等式：得$n=6$。
(3) $5x-b=0$的伴生方程为$bx-5=0$（$b≠0$）。
分别解两个方程：
由$5x-b=0$得$x=\frac{b}{5}$；由$bx-5=0$得$x=\frac{5}{b}$。
已知两个解均为整数，且$b$为整数，因此$\frac{b}{5}$和$\frac{5}{b}$都为整数，即$b$既能被5整除，又能整除5，满足条件的整数$b$为$5$和$-5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $m=\boldsymbol{-2}$，$n=\boldsymbol{6}$；(3) $\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的解，整数解判定
【点评】
本题关键是准确理解新定义“伴生方程”的系数对应规则，将陌生的新定义问题转化为熟悉的一元一次方程相关问题求解，第三小问要注意考虑正负整数两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 先阅读下面的解题过程，再解答问题.
解方程：$|x - 5| = 2$.
解:当$x - 5 ≥ 0$时,原方程可化为$x - 5 = 2$,解得$x = 7$;
当$x - 5 ＜ 0$时,原方程可化为$x - 5 = -2$,解得$x = 3$.
所以原方程的解是$x = 7$或$x = 3$.
(1)解方程:$|2x + 1| = 7$.
(2)已知关于$x$的方程$|x + 3| = m - 1$.
①若方程无解,则$m$的取值范围是________;
②若方程只有一个解,则$m$的值为________;
③若方程有两个解,则$m$的取值范围是________.
解方程：$|x - 5| = 2$.
解:当$x - 5 ≥ 0$时,原方程可化为$x - 5 = 2$,解得$x = 7$;
当$x - 5 ＜ 0$时,原方程可化为$x - 5 = -2$,解得$x = 3$.
所以原方程的解是$x = 7$或$x = 3$.
(1)解方程:$|2x + 1| = 7$.
(2)已知关于$x$的方程$|x + 3| = m - 1$.
①若方程无解,则$m$的取值范围是________;
②若方程只有一个解,则$m$的值为________;
③若方程有两个解,则$m$的取值范围是________.
答案
(1)解:当$2x+1≥0$时,原方程可化为$2x+1=7$,解得$x=3$;
当$2x+1＜0$时,原方程可化为$2x+1=-7$,解得$x=-4$.
所以原方程的解是$x=3$或$x=-4$.
(2)①$m＜1$ ②$1$ ③$m＞1$
当$2x+1＜0$时,原方程可化为$2x+1=-7$,解得$x=-4$.
所以原方程的解是$x=3$或$x=-4$.
(2)①$m＜1$ ②$1$ ③$m＞1$
解析
【分析】
本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论，去掉绝对值符号转化为普通一元一次方程求解。(1)参照给出的例题，分$2x+1≥0$和$2x+1＜0$两种情况，分别去绝对值后解方程即可；(2)结合绝对值的非负性（任意数的绝对值≥0）分析：若方程无解，说明等号右边的式子小于0，绝对值不可能等于负数；若方程只有一个解，说明等号右边的式子等于0，此时绝对值只有0这一种结果；若方程有两个解，说明等号右边的式子大于0，此时绝对值等于正数对应两种情况，即可分别求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
当$2x+1≥0$时，原方程可化为$2x+1=7$，
移项计算得$2x=6$，解得$x=3$；
当$2x+1＜0$时，原方程可化为$2x+1=-7$，
移项计算得$2x=-8$，解得$x=-4$。
所以原方程的解是$x=3$或$x=-4$。
(2) 根据绝对值的性质可得$|x+3|≥0$：
① 若方程无解，则$m-1＜0$，解得$m＜1$；
② 若方程只有一个解，则$m-1=0$，解得$m=1$；
③ 若方程有两个解，则$m-1＞0$，解得$m＞1$。
【答案】
(1) $x=3$或$x=-4$
(2) ①$m＜1$ ②$1$ ③$m＞1$
【知识点】
1. 绝对值的非负性 2. 含绝对值的一元一次方程解法 3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于绝对值方程的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，灵活运用分类讨论的思想去掉绝对值符号，将陌生的绝对值方程转化为熟悉的一元一次方程求解，解题时注意不要漏考虑绝对值的取值范围。
【难度系数】
0.8
本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论，去掉绝对值符号转化为普通一元一次方程求解。(1)参照给出的例题，分$2x+1≥0$和$2x+1＜0$两种情况，分别去绝对值后解方程即可；(2)结合绝对值的非负性（任意数的绝对值≥0）分析：若方程无解，说明等号右边的式子小于0，绝对值不可能等于负数；若方程只有一个解，说明等号右边的式子等于0，此时绝对值只有0这一种结果；若方程有两个解，说明等号右边的式子大于0，此时绝对值等于正数对应两种情况，即可分别求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
当$2x+1≥0$时，原方程可化为$2x+1=7$，
移项计算得$2x=6$，解得$x=3$；
当$2x+1＜0$时，原方程可化为$2x+1=-7$，
移项计算得$2x=-8$，解得$x=-4$。
所以原方程的解是$x=3$或$x=-4$。
(2) 根据绝对值的性质可得$|x+3|≥0$：
① 若方程无解，则$m-1＜0$，解得$m＜1$；
② 若方程只有一个解，则$m-1=0$，解得$m=1$；
③ 若方程有两个解，则$m-1＞0$，解得$m＞1$。
【答案】
(1) $x=3$或$x=-4$
(2) ①$m＜1$ ②$1$ ③$m＞1$
【知识点】
1. 绝对值的非负性 2. 含绝对值的一元一次方程解法 3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于绝对值方程的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，灵活运用分类讨论的思想去掉绝对值符号，将陌生的绝对值方程转化为熟悉的一元一次方程求解，解题时注意不要漏考虑绝对值的取值范围。
【难度系数】
0.8
15.是否存在这样的 $ x $ 的值,使得下列三个代数式:$ x - \dfrac{x - 1}{3}, x^2 - 6x - 2, 7 - \dfrac{x + 3}{5} $ 的值均相等?
若存在,求出这样的 $ x $ 的值;若不存在,请说明理由.
若存在,求出这样的 $ x $ 的值;若不存在,请说明理由.
答案
解:存在.根据题意,得$x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{x+3}{5}$,
去分母,得$15x-5x+5=105-3x-9$,
解得$x=7$.
将$x=7$分别代入代数式,得$x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{7-1}{3}=5$,
$x^2-6x-2=7^2-6×7-2=5$,$7-\frac{x+3}{5}=7-\frac{7+3}{5}=5$,
上述代数式的值均为5,
所以存在$x=7$满足题意.
去分母,得$15x-5x+5=105-3x-9$,
解得$x=7$.
将$x=7$分别代入代数式,得$x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{7-1}{3}=5$,
$x^2-6x-2=7^2-6×7-2=5$,$7-\frac{x+3}{5}=7-\frac{7+3}{5}=5$,
上述代数式的值均为5,
所以存在$x=7$满足题意.
解析
【分析】
要判断是否存在x使三个代数式值相等，可先从结构简单的两个一次代数式入手：若三个代数式值均相等，则任意两个代数式的值一定相等。先令第一个和第三个代数式相等，得到一元一次方程，解出x的可能值，再将该x值代入第二个代数式验证是否与另外两个代数式值相等即可，该方法无需接触未学过的一元二次方程，符合当前学段知识要求。
【解析】
解：存在这样的x值，理由如下：
根据题意得 $x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{x+3}{5}$，
去分母（两边同乘15），得$15x-5(x-1)=105-3(x+3)$，
去括号，得$15x-5x+5=105-3x-9$，
移项、合并同类项，得$13x=91$，
系数化为1，得$x=7$。
将$x=7$分别代入三个代数式检验：
$x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{7-1}{3}=5$，
$x^2-6x-2=7^2-6×7-2=5$，
$7-\frac{x+3}{5}=7-\frac{7+3}{5}=5$，
三个代数式的值均相等，符合要求。
【答案】
存在，$x=7$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 代数式求值
【点评】
本题解题核心是优先选择一次代数式列方程求解，再代入第三个代数式验证，既降低了解题难度，也能引导学生养成先观察代数式结构、再选择最优解法的习惯。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在x使三个代数式值相等，可先从结构简单的两个一次代数式入手：若三个代数式值均相等，则任意两个代数式的值一定相等。先令第一个和第三个代数式相等，得到一元一次方程，解出x的可能值，再将该x值代入第二个代数式验证是否与另外两个代数式值相等即可，该方法无需接触未学过的一元二次方程，符合当前学段知识要求。
【解析】
解：存在这样的x值，理由如下：
根据题意得 $x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{x+3}{5}$，
去分母（两边同乘15），得$15x-5(x-1)=105-3(x+3)$，
去括号，得$15x-5x+5=105-3x-9$，
移项、合并同类项，得$13x=91$，
系数化为1，得$x=7$。
将$x=7$分别代入三个代数式检验：
$x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{7-1}{3}=5$，
$x^2-6x-2=7^2-6×7-2=5$，
$7-\frac{x+3}{5}=7-\frac{7+3}{5}=5$，
三个代数式的值均相等，符合要求。
【答案】
存在，$x=7$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 代数式求值
【点评】
本题解题核心是优先选择一次代数式列方程求解，再代入第三个代数式验证，既降低了解题难度，也能引导学生养成先观察代数式结构、再选择最优解法的习惯。
【难度系数】
0.7
