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8. 形如$\begin{vmatrix} a&d\\ c&b\end{vmatrix}$的式子叫作二阶行列式，其运算法则用公式表示为$\begin{vmatrix} a&d\\ c&b\end{vmatrix} =ab-cd$，依此法则计算$\begin{vmatrix} 4&(-3)^{2}\\ 1&2\end{vmatrix}$的结果为（ ）
A.17
B.$-17$
C.1
D.$-1$
A.17
B.$-17$
C.1
D.$-1$
答案
8.D
解析
【分析】首先明确二阶行列式的运算法则：对于二阶行列式$\begin{vmatrix} a&d\\ c&b\end{vmatrix}$，其值等于主对角线元素乘积（$a × b$）减去副对角线元素乘积（$c × d$）。解题时，先确定所求行列式各位置对应的数值，注意计算$(-3)^2$的结果，再代入法则进行有理数混合运算即可。
【解析】根据二阶行列式运算法则$\begin{vmatrix} a&d\\ c&b\end{vmatrix} =ab-cd$，本题中$a=4$，$b=2$，$c=1$，$d=(-3)^2=9$，代入得：
$\begin{vmatrix} 4&(-3)^{2}\\ 1&2\end{vmatrix}=4×2 - 1×9=8 - 9=-1$
【答案】D
【知识点】二阶行列式的运算法则、有理数的混合运算
【点评】本题考查二阶行列式的基本运算，核心是牢记运算法则，准确计算乘方和有理数的乘法、减法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据二阶行列式运算法则$\begin{vmatrix} a&d\\ c&b\end{vmatrix} =ab-cd$，本题中$a=4$，$b=2$，$c=1$，$d=(-3)^2=9$，代入得：
$\begin{vmatrix} 4&(-3)^{2}\\ 1&2\end{vmatrix}=4×2 - 1×9=8 - 9=-1$
【答案】D
【知识点】二阶行列式的运算法则、有理数的混合运算
【点评】本题考查二阶行列式的基本运算，核心是牢记运算法则，准确计算乘方和有理数的乘法、减法，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
9. 定义新运算“$\bigotimes$”，规定：$a\bigotimes b=a^{2}-|b|$，则$(-2)\bigotimes(-1)$的运算结果为（
A.$-5$
B.$-3$
C.$5$
D.$3$
D
）A.$-5$
B.$-3$
C.$5$
D.$3$
答案
9.D
解析
【分析】首先明确新运算“⊗”的定义：$a\bigotimes b=a^{2}-|b|$，解题时需将所求式子中对应位置的数分别代入$a$和$b$，再按照有理数的运算规则计算，注意负数的平方和绝对值的计算方法。
【解析】根据新运算规则，对于$(-2)\bigotimes(-1)$，这里$a=-2$，$b=-1$，代入公式计算：
$(-2)\bigotimes(-1)=(-2)^2 - |-1|=4 - 1=3$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】新定义运算、绝对值、有理数的乘方
【点评】本题属于基础题，核心是准确理解新运算的定义，正确计算负数的平方和绝对值，避免符号错误即可轻松解答。
【难度系数】0.8
【解析】根据新运算规则，对于$(-2)\bigotimes(-1)$，这里$a=-2$，$b=-1$，代入公式计算：
$(-2)\bigotimes(-1)=(-2)^2 - |-1|=4 - 1=3$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】新定义运算、绝对值、有理数的乘方
【点评】本题属于基础题，核心是准确理解新运算的定义，正确计算负数的平方和绝对值，避免符号错误即可轻松解答。
【难度系数】0.8
10.(2024·大丰区期中)在一次排练活动中,某班45名学生全部面向老师站成一行横队.老师每次让其中任意7名学生向后转(不论原来方向如何),如果记任意7名学生向后转为一次变换,那么经过第一次变换后,还有
38
名学生面向老师站立,至少经过7
次变换后45名同学全部背向老师站立.答案
10. 38 7
解析
【分析】初始时45名学生均面向老师，每次变换是让7名学生向后转，这7名学生转身后变为背向，剩余学生仍面向老师，据此可直接算出第一次变换后面向老师的人数；要让全部学生背向老师，每个学生需转奇数次，总转动次数为45个奇数的和，结果为奇数，结合每次变换贡献7次转动的条件，可通过奇偶性分析变换次数的要求，再结合实际操作的可行性确定最小变换次数。
【解析】1. 第一次变换后面向老师的人数：初始45人都面向老师，每次让7人向后转，这7人变为背向，剩余面向老师的人数为45-7=38名；2. 求至少几次变换后全部背向：每个学生背向需转奇数次，45个奇数相加，总转动次数为奇数；每次变换转动7人，总转动次数为7n（n为变换次数），需7n为奇数，故n为奇数。尝试n=7时，总转动次数为7×7=49，比45多4，可安排4名学生各转3次（1次基础转动+2次额外转动），其余41名学生各转1次，满足每个学生转奇数次的要求，且操作可行，因此至少需要7次变换。
【答案】38 7
【知识点】奇偶性应用、有理数减法
【点评】本题结合实际场景考查奇偶性的逻辑应用，需要学生理清转动次数的奇偶性规律，同时兼顾操作的可行性，是一道结合数学逻辑与实际应用的题目。
【难度系数】0.5
【解析】1. 第一次变换后面向老师的人数：初始45人都面向老师，每次让7人向后转，这7人变为背向，剩余面向老师的人数为45-7=38名；2. 求至少几次变换后全部背向：每个学生背向需转奇数次，45个奇数相加，总转动次数为奇数；每次变换转动7人，总转动次数为7n（n为变换次数），需7n为奇数，故n为奇数。尝试n=7时，总转动次数为7×7=49，比45多4，可安排4名学生各转3次（1次基础转动+2次额外转动），其余41名学生各转1次，满足每个学生转奇数次的要求，且操作可行，因此至少需要7次变换。
【答案】38 7
【知识点】奇偶性应用、有理数减法
【点评】本题结合实际场景考查奇偶性的逻辑应用，需要学生理清转动次数的奇偶性规律，同时兼顾操作的可行性，是一道结合数学逻辑与实际应用的题目。
【难度系数】0.5
11. 在“$-$”“$×$”两个符号中选一个自己想要的符号，填入$2^{2}+2×(1\ □\ \dfrac{1}{2})$中的$□$里，并计算.
答案
11.解:(答案不唯一)选择“$-$”:$2^{2}+2×(1-\dfrac{1}{2})=4+2×\dfrac{1}{2}=4+1=5$.
选择“$×$”:$2^{2}+2×(1×\dfrac{1}{2})=4+2×\dfrac{1}{2}=4+1=5$.
选择“$×$”:$2^{2}+2×(1×\dfrac{1}{2})=4+2×\dfrac{1}{2}=4+1=5$.
解析
【分析】
本题是开放性运算题，需从“-”“×”中任选一个符号填入方框，解题思路为：先选定符号，再遵循有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
情况1：选择“-”
$2^{2}+2×(1-\dfrac{1}{2})$
$=4 + 2×\dfrac{1}{2}$
$=4 + 1$
$=5$
情况2：选择“×”
$2^{2}+2×(1×\dfrac{1}{2})$
$=4 + 2×\dfrac{1}{2}$
$=4 + 1$
$=5$
【答案】
11.解:(答案不唯一)选择“$-$”:$2^{2}+2×(1-\dfrac{1}{2})=4+2×\dfrac{1}{2}=4+1=5$.
选择“$×$”:$2^{2}+2×(1×\dfrac{1}{2})=4+2×\dfrac{1}{2}=4+1=5$.
【知识点】
有理数的混合运算
【点评】
本题为开放性运算题，核心考察有理数混合运算的顺序，题目难度低，学生只需掌握基本运算规则即可完成，体现了运算的灵活性。
【难度系数】
0.8
本题是开放性运算题，需从“-”“×”中任选一个符号填入方框，解题思路为：先选定符号，再遵循有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
情况1：选择“-”
$2^{2}+2×(1-\dfrac{1}{2})$
$=4 + 2×\dfrac{1}{2}$
$=4 + 1$
$=5$
情况2：选择“×”
$2^{2}+2×(1×\dfrac{1}{2})$
$=4 + 2×\dfrac{1}{2}$
$=4 + 1$
$=5$
【答案】
11.解:(答案不唯一)选择“$-$”:$2^{2}+2×(1-\dfrac{1}{2})=4+2×\dfrac{1}{2}=4+1=5$.
选择“$×$”:$2^{2}+2×(1×\dfrac{1}{2})=4+2×\dfrac{1}{2}=4+1=5$.
【知识点】
有理数的混合运算
【点评】
本题为开放性运算题，核心考察有理数混合运算的顺序，题目难度低，学生只需掌握基本运算规则即可完成，体现了运算的灵活性。
【难度系数】
0.8
12.计算：
(1)$-15÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}-3)×6$；
(2)$(-2)^3-3×[(-4)^2+2]-(-3)^2÷(-2)$；
(3)$-1^4-0.2×[-3-4×(\dfrac{18}{5}-5.3)]$；
(4)$-1-\{(-3)^3-[3+\dfrac{2}{3}×(-1\dfrac{1}{2})]÷(-2)\}$。
(1)$-15÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}-3)×6$；
(2)$(-2)^3-3×[(-4)^2+2]-(-3)^2÷(-2)$；
(3)$-1^4-0.2×[-3-4×(\dfrac{18}{5}-5.3)]$；
(4)$-1-\{(-3)^3-[3+\dfrac{2}{3}×(-1\dfrac{1}{2})]÷(-2)\}$。
答案
12.(1)$\dfrac{108}{5}$ (2)$-57\dfrac{1}{2}$ (3)$-\dfrac{44}{25}$ (4)25
解析
【分析】这四道题均为有理数的混合运算，解题思路是严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的。每一步需仔细计算，注意符号处理，尤其是负号、分数与小数的转换，避免运算错误。
【解析】
(1) 先计算括号内的式子：
$\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} -3 = \dfrac{2}{6} - \dfrac{9}{6} - \dfrac{18}{6} = \dfrac{2-9-18}{6} = -\dfrac{25}{6}$
再按从左到右计算乘除：
$-15 ÷ (-\dfrac{25}{6}) ×6 = -15 × (-\dfrac{6}{25}) ×6 = \dfrac{90}{25} ×6 = \dfrac{18}{5} ×6 = \dfrac{108}{5}$
(2) 先计算乘方：
$(-2)^3=-8$，$(-4)^2=16$，$(-3)^2=9$
再算括号内的式子：
$(-4)^2 +2=16+2=18$
接着计算乘除：
$3×18=54$，$9÷(-2)=-\dfrac{9}{2}$
最后算加减：
原式$=-8 -54 - (-\dfrac{9}{2}) = -62 + \dfrac{9}{2} = -\dfrac{115}{2} = -57\dfrac{1}{2}$
(3) 先计算乘方：
$-1^4=-1$
再算小括号内的式子：
$\dfrac{18}{5} -5.3=3.6-5.3=-1.7$
接着算中括号内的式子：
$-3 -4×(-1.7)= -3 +6.8=3.8$
然后计算乘法：
$0.2×3.8=0.76$
最后算加减：
原式$=-1 -0.76= -1.76=-\dfrac{44}{25}$
(4) 先计算乘方：
$(-3)^3=-27$，$-1\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$
再算小括号内的乘法：
$\dfrac{2}{3}×(-\dfrac{3}{2})=-1$
接着算中括号内的式子：
$3 + (-1)=2$
然后算中括号的除法：
$2÷(-2)=-1$
再算大括号内的式子：
$(-27) - (-1)= -27 +1=-26$
最后算加减：
原式$=-1 - (-26)= -1 +26=25$
【答案】
(1)$\dfrac{108}{5}$；(2)$-57\dfrac{1}{2}$；(3)$-\dfrac{44}{25}$；(4)25
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、分数与小数转换
【点评】
本题考查有理数混合运算，核心是掌握运算顺序与符号规则，计算时需注意乘方的符号（如$-1^4$与$(-1)^4$的区别）、括号内的优先级，避免粗心失误。
【难度系数】
0.3
【解析】
(1) 先计算括号内的式子：
$\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} -3 = \dfrac{2}{6} - \dfrac{9}{6} - \dfrac{18}{6} = \dfrac{2-9-18}{6} = -\dfrac{25}{6}$
再按从左到右计算乘除：
$-15 ÷ (-\dfrac{25}{6}) ×6 = -15 × (-\dfrac{6}{25}) ×6 = \dfrac{90}{25} ×6 = \dfrac{18}{5} ×6 = \dfrac{108}{5}$
(2) 先计算乘方：
$(-2)^3=-8$，$(-4)^2=16$，$(-3)^2=9$
再算括号内的式子：
$(-4)^2 +2=16+2=18$
接着计算乘除：
$3×18=54$，$9÷(-2)=-\dfrac{9}{2}$
最后算加减：
原式$=-8 -54 - (-\dfrac{9}{2}) = -62 + \dfrac{9}{2} = -\dfrac{115}{2} = -57\dfrac{1}{2}$
(3) 先计算乘方：
$-1^4=-1$
再算小括号内的式子：
$\dfrac{18}{5} -5.3=3.6-5.3=-1.7$
接着算中括号内的式子：
$-3 -4×(-1.7)= -3 +6.8=3.8$
然后计算乘法：
$0.2×3.8=0.76$
最后算加减：
原式$=-1 -0.76= -1.76=-\dfrac{44}{25}$
(4) 先计算乘方：
$(-3)^3=-27$，$-1\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$
再算小括号内的乘法：
$\dfrac{2}{3}×(-\dfrac{3}{2})=-1$
接着算中括号内的式子：
$3 + (-1)=2$
然后算中括号的除法：
$2÷(-2)=-1$
再算大括号内的式子：
$(-27) - (-1)= -27 +1=-26$
最后算加减：
原式$=-1 - (-26)= -1 +26=25$
【答案】
(1)$\dfrac{108}{5}$；(2)$-57\dfrac{1}{2}$；(3)$-\dfrac{44}{25}$；(4)25
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、分数与小数转换
【点评】
本题考查有理数混合运算，核心是掌握运算顺序与符号规则，计算时需注意乘方的符号（如$-1^4$与$(-1)^4$的区别）、括号内的优先级，避免粗心失误。
【难度系数】
0.3
13. 定义一种新运算:$x*y=(x+2y)÷x$,例如,$3*1=(3+2×1)÷3=\dfrac{5}{3}$.求$(2*3)*2$的值.
答案
13.解:$2*3=(2+2×3)÷2=4$,
$(2*3)*2=4*2=(4+2×2)÷4=2$.
$(2*3)*2=4*2=(4+2×2)÷4=2$.
解析
【分析】
本题是新定义运算题，解题思路为：先明确新运算“*”的规则：对于运算式$a*b$，其计算方式为$(a + 2b)÷a$；再按照运算顺序，先计算括号内的$2*3$，得到结果后，将该结果作为新运算的第一个数，与2进行新运算，最终得出答案。
【解析】
根据新运算规则分步计算：
1. 计算内层的$2*3$：
将$x=2$，$y=3$代入新运算公式，得：
$2*3=(2 + 2×3)÷2=(2 + 6)÷2=8÷2=4$；
2. 计算外层的$4*2$：
将$x=4$，$y=2$代入新运算公式，得：
$(2*3)*2=4*2=(4 + 2×2)÷4=(4 + 4)÷4=8÷4=2$。
【答案】
2
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
解决新定义运算问题的核心是准确理解新运算的规则，严格按照规则代入数值计算，分步计算可有效避免运算顺序或数值代入错误。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算题，解题思路为：先明确新运算“*”的规则：对于运算式$a*b$，其计算方式为$(a + 2b)÷a$；再按照运算顺序，先计算括号内的$2*3$，得到结果后，将该结果作为新运算的第一个数，与2进行新运算，最终得出答案。
【解析】
根据新运算规则分步计算：
1. 计算内层的$2*3$：
将$x=2$，$y=3$代入新运算公式，得：
$2*3=(2 + 2×3)÷2=(2 + 6)÷2=8÷2=4$；
2. 计算外层的$4*2$：
将$x=4$，$y=2$代入新运算公式，得：
$(2*3)*2=4*2=(4 + 2×2)÷4=(4 + 4)÷4=8÷4=2$。
【答案】
2
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
解决新定义运算问题的核心是准确理解新运算的规则，严格按照规则代入数值计算，分步计算可有效避免运算顺序或数值代入错误。
【难度系数】
0.6
