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三、解答题
7. 计算：$(\sqrt{12}+\sqrt{6})(\sqrt{12}-\sqrt{6})+(\sqrt{48}-\sqrt{27})÷\sqrt{3}$。
7. 计算：$(\sqrt{12}+\sqrt{6})(\sqrt{12}-\sqrt{6})+(\sqrt{48}-\sqrt{27})÷\sqrt{3}$。
答案
7. 解:$(\sqrt{12}+\sqrt{6})(\sqrt{12}-\sqrt{6})+(\sqrt{48}-\sqrt{27})÷\sqrt{3}$
$=12-6+(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}=6+\sqrt{3}÷\sqrt{3}=6+1=7.$
$=12-6+(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{3}=6+\sqrt{3}÷\sqrt{3}=6+1=7.$
8. 已知 $ a,b $ 是整数，如果 $ \sqrt{\dfrac{1}{a}x^{2b-5}} $ 是最简二次根式，求 $ 2a\sqrt{5b+1} $ 的值，并求 $ 2a\sqrt{5b+1} $ 的平方根。
答案
8. 解:根据题意,得 $a=1,2b-5=1.$
$\therefore b=3. \therefore 2a\sqrt{5b+1}=8.$
$\therefore 2a\sqrt{5b+1}$的平方根是$\pm2\sqrt{2}.$
$\therefore b=3. \therefore 2a\sqrt{5b+1}=8.$
$\therefore 2a\sqrt{5b+1}$的平方根是$\pm2\sqrt{2}.$
9. [开放性试题]化简：$\frac{1}{2}a\sqrt{4a}+16a\sqrt{\frac{a}{9}}-4a^2\sqrt{\frac{1}{a}}$，并任取一个a的值使其结果为正整数.
答案
9. 解:原式$=\frac{1}{2}a· 2\sqrt{a}+16a· \frac{\sqrt{a}}{3}-4a^2· \frac{\sqrt{a}}{a}=a\sqrt{a}+$
$\frac{16a}{3}\sqrt{a}-4a\sqrt{a}=\frac{7a}{3}\sqrt{a}.$ 当$a=9$时,原式$=\frac{7×9}{3}×$
$\sqrt{9}=63.$(答案不唯一)
$\frac{16a}{3}\sqrt{a}-4a\sqrt{a}=\frac{7a}{3}\sqrt{a}.$ 当$a=9$时,原式$=\frac{7×9}{3}×$
$\sqrt{9}=63.$(答案不唯一)
10. [新情境]如图,某景区有一个用于表演豫剧的长方形舞台EFGH,其面积为$\sqrt{6400}$平方米,长为$\sqrt{128}$米.
(1)求这个舞台的宽.(结果化为最简二次根式)
(2)为了增加舞台效果,准备在舞台的四周铺设宽度均为$\sqrt{2}$米的装饰带(图中阴影部分),求装饰后长方形舞台ABCD的总面积.
(1)求这个舞台的宽.(结果化为最简二次根式)
(2)为了增加舞台效果,准备在舞台的四周铺设宽度均为$\sqrt{2}$米的装饰带(图中阴影部分),求装饰后长方形舞台ABCD的总面积.
答案
10. 解:(1)这个舞台的宽为$\sqrt{6400}÷\sqrt{128}=\sqrt{50}=$
$5\sqrt{2}$(米).
(2)$(\sqrt{128}+2\sqrt{2})(5\sqrt{2}+2\sqrt{2})=(8\sqrt{2}+2\sqrt{2})×$
$(5\sqrt{2}+2\sqrt{2})=10\sqrt{2}×7\sqrt{2}=140$(平方米).
$\therefore$ 装饰后长方形舞台ABCD的总面积是140平方米.
$5\sqrt{2}$(米).
(2)$(\sqrt{128}+2\sqrt{2})(5\sqrt{2}+2\sqrt{2})=(8\sqrt{2}+2\sqrt{2})×$
$(5\sqrt{2}+2\sqrt{2})=10\sqrt{2}×7\sqrt{2}=140$(平方米).
$\therefore$ 装饰后长方形舞台ABCD的总面积是140平方米.
