登录
1. 下列二次根式属于最简二次根式的是 （
A.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
B.$\sqrt{0.9}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{13}$
D
）A.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
B.$\sqrt{0.9}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{13}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需将每个选项对照这两个条件逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{0.9}=\sqrt{\dfrac{9}{10}}$，被开方数含有分母，不符合要求，可化简为$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不符合要求，可化简为$2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{13}$的被开方数13是质数，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一排查选项就能快速得出正确答案，是二次根式章节需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是最简二次根式，首先需明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需将每个选项对照这两个条件逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，可化简为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，不是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{0.9}=\sqrt{\dfrac{9}{10}}$，被开方数含有分母，不符合要求，可化简为$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不符合要求，可化简为$2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{13}$的被开方数13是质数，既不含分母，也没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一排查选项就能快速得出正确答案，是二次根式章节需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 以下列长度的三条线段为边长，能组成直角三角形的是（
A.$1,1,3$
B.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
C.$3,4,5$
D.$\sqrt{5},\sqrt{12},\sqrt{13}$
C
）A.$1,1,3$
B.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
C.$3,4,5$
D.$\sqrt{5},\sqrt{12},\sqrt{13}$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，分两步思考：第一步先验证三条线段是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），如果连三角形都无法构成，直接排除；第二步若能构成三角形，再运用勾股定理的逆定理，找到三条边中最长的边，计算两条较短边的平方和，看是否等于最长边的平方，相等则能组成直角三角形，否则不能。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：$1+1=2＜3$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除；
B选项：最长边为$\frac{1}{6}$，两条短边的平方和为$(\frac{1}{8})^2+(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{64}+\frac{1}{100}=\frac{41}{1600}$，最长边的平方为$(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，二者不相等，不能组成直角三角形，排除；
C选项：最长边为5，两条短边的平方和为$3^2+4^2=9+16=25$，最长边的平方为$5^2=25$，满足$3^2+4^2=5^2$，可以组成直角三角形；
D选项：最长边为$\sqrt{13}$，两条短边的平方和为$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{12})^2=5+12=17$，最长边的平方为$(\sqrt{13})^2=13$，二者不相等，不能组成直角三角形，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，解题时要注意先判断三边能否构成三角形，再用勾股定理逆定理验证，计算时先确定最长边，可减少计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否组成直角三角形，分两步思考：第一步先验证三条线段是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），如果连三角形都无法构成，直接排除；第二步若能构成三角形，再运用勾股定理的逆定理，找到三条边中最长的边，计算两条较短边的平方和，看是否等于最长边的平方，相等则能组成直角三角形，否则不能。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：$1+1=2＜3$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除；
B选项：最长边为$\frac{1}{6}$，两条短边的平方和为$(\frac{1}{8})^2+(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{64}+\frac{1}{100}=\frac{41}{1600}$，最长边的平方为$(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，二者不相等，不能组成直角三角形，排除；
C选项：最长边为5，两条短边的平方和为$3^2+4^2=9+16=25$，最长边的平方为$5^2=25$，满足$3^2+4^2=5^2$，可以组成直角三角形；
D选项：最长边为$\sqrt{13}$，两条短边的平方和为$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{12})^2=5+12=17$，最长边的平方为$(\sqrt{13})^2=13$，二者不相等，不能组成直角三角形，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，解题时要注意先判断三边能否构成三角形，再用勾股定理逆定理验证，计算时先确定最长边，可减少计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 下列算式中，计算正确的是
（
A.$\sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{8}$
B.$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{9}$
D.$\sqrt{32} ÷ \sqrt{16} = 2$
（
B
）A.$\sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{8}$
B.$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{7} = \sqrt{9}$
D.$\sqrt{32} ÷ \sqrt{16} = 2$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是先明确二次根式的运算规则：1.加减运算时，只有化简后被开方数相同的同类二次根式才能合并；2.乘法运算满足$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）；3.除法运算满足$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0，b＞0$），随后逐一验证四个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$化简后被开方数分别为3和5，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，计算错误；
B选项：先将二次根式化为最简，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，所以$\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，计算正确；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{2×7}=\sqrt{14}≠\sqrt{9}$，计算错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{32}÷\sqrt{16}=\sqrt{32÷16}=\sqrt{2}≠2$，计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的加减运算 2.二次根式的乘除运算 3.最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算规则，解题时要注意先将二次根式化为最简形式再进行运算，同时牢记只有同类二次根式才能进行加减合并，避免出现直接合并被开方数的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是先明确二次根式的运算规则：1.加减运算时，只有化简后被开方数相同的同类二次根式才能合并；2.乘法运算满足$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$）；3.除法运算满足$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0，b＞0$），随后逐一验证四个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$化简后被开方数分别为3和5，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，计算错误；
B选项：先将二次根式化为最简，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，所以$\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，计算正确；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{7}=\sqrt{2×7}=\sqrt{14}≠\sqrt{9}$，计算错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{32}÷\sqrt{16}=\sqrt{32÷16}=\sqrt{2}≠2$，计算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的加减运算 2.二次根式的乘除运算 3.最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算规则，解题时要注意先将二次根式化为最简形式再进行运算，同时牢记只有同类二次根式才能进行加减合并，避免出现直接合并被开方数的错误。
【难度系数】
0.8
