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18. 如图,直线 $ l_1: y = x + n - 2 $ 与直线 $ l_2: y = mx + n $ 相交于点 $ P(1,2) $.
（1）求 $ m,n $ 的值.
（2）请结合图象直接写出不等式 $ mx + n ＞ x + n - 2 $ 的解集.
（1）求 $ m,n $ 的值.
（2）请结合图象直接写出不等式 $ mx + n ＞ x + n - 2 $ 的解集.
答案
18. (1) 把 $ P(1,2) $ 代入 $ y = x + n - 2 $,得 $ 1 + n - 2 = 2 $,解得 $ n = 3 $;把 $ P(1,2) $ 代入 $ y = mx + n $,得 $ m + n = m + 3 = 2 $,解得 $ m = - 1 $.
(2) 不等式 $ mx + n ＞ x + n - 2 $ 的解集为 $ x ＜ 1 $.
(2) 不等式 $ mx + n ＞ x + n - 2 $ 的解集为 $ x ＜ 1 $.
解析
【分析】
（1）交点P同时在两条直线上，说明P点坐标满足两条直线的函数解析式，因此将P(1,2)分别代入两个解析式，就可以依次求出n和m的值。
（2）不等式$mx + n ＞ x + n - 2$的本质是直线$l_2$的函数值大于直线$l_1$的函数值，对应到图象上就是$l_2$位于$l_1$上方的部分，结合交点的横坐标即可直接得到对应的x的取值范围。
【解析】
（1）将点$P(1,2)$代入$l_1:y = x + n - 2$，得：
$1 + n - 2 = 2$
解得$n=3$。
再将$P(1,2)$和$n=3$代入$l_2:y = mx + n$，得：
$m + 3 = 2$
解得$m=-1$。
（2）不等式$mx + n ＞ x + n - 2$即$l_2$的图象在$l_1$图象上方时对应的x的范围，由图可知两直线交点横坐标为1，交点左侧$l_2$在$l_1$上方，因此解集为$x＜1$。
【答案】
(1) $m=-1$，$n=3$；
(2) $x ＜ 1$
【知识点】
待定系数法，一次函数与不等式，一次函数图象
【点评】
本题是一次函数的基础题型，既考查了用待定系数法求一次函数参数的基本技能，又考查了数形结合思想在函数与不等式综合问题中的应用，熟练掌握函数图象和不等式的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
（1）交点P同时在两条直线上，说明P点坐标满足两条直线的函数解析式，因此将P(1,2)分别代入两个解析式，就可以依次求出n和m的值。
（2）不等式$mx + n ＞ x + n - 2$的本质是直线$l_2$的函数值大于直线$l_1$的函数值，对应到图象上就是$l_2$位于$l_1$上方的部分，结合交点的横坐标即可直接得到对应的x的取值范围。
【解析】
（1）将点$P(1,2)$代入$l_1:y = x + n - 2$，得：
$1 + n - 2 = 2$
解得$n=3$。
再将$P(1,2)$和$n=3$代入$l_2:y = mx + n$，得：
$m + 3 = 2$
解得$m=-1$。
（2）不等式$mx + n ＞ x + n - 2$即$l_2$的图象在$l_1$图象上方时对应的x的范围，由图可知两直线交点横坐标为1，交点左侧$l_2$在$l_1$上方，因此解集为$x＜1$。
【答案】
(1) $m=-1$，$n=3$；
(2) $x ＜ 1$
【知识点】
待定系数法，一次函数与不等式，一次函数图象
【点评】
本题是一次函数的基础题型，既考查了用待定系数法求一次函数参数的基本技能，又考查了数形结合思想在函数与不等式综合问题中的应用，熟练掌握函数图象和不等式的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
19. 为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行.已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式.如图描述了两种方式应支付金额$ y $（单位：元）与骑行时间$ x $（单位：h）之间的函数关系，根据图象回答下列问题.
（1）求手机支付金额$ y $（单位：元）与骑行时间$ x $（单位：h）的函数解析式.
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算.
（1）求手机支付金额$ y $（单位：元）与骑行时间$ x $（单位：h）的函数解析式.
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算.
答案
19. (1) 当 $ 0 ≤ x ＜ 0.5 $ 时,$ y = 0 $;当 $ x ≥ 0.5 $ 时,设手机支付金额 $ y $(单位:元)与骑行时间 $ x $(单位:h)的函数解析式是 $ y = kx + b ( k ≠ 0 ) $,则 $ \begin{cases} 0.5k + b = 0, \\ 1 × k + b = 0.5, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 1, \\ b = - 0.5, \end{cases} $ 即当 $ x ≥ 0.5 $ 时,手机支付金额 $ y $(单位:元)与骑行时间 $ x $(单位:h)的函数解析式是 $ y = x - 0.5 $.由上可得,手机支付金额 $ y $(单位:元)与骑行时间 $ x $(单位:h)的函数解析式是 $ y = \begin{cases} 0 ( 0 ≤ x ＜ 0.5 ), \\ x - 0.5 ( x ≥ 0.5 ). \end{cases} $
(2) 设会员卡支付金额 $ y $(单位:元)与骑行时间 $ x $(单位:h)的函数解析式为 $ y = ax $,则 $ 0.75 = a × 1 $,得 $ a = 0.75 $,即会员卡支付金额 $ y $(单位:元)与骑行时间 $ x $(单位:h)函数解析式为 $ y = 0.75x $.令 $ 0.75x = x - 0.5 $,解得 $ x = 2 $,由图象可知:当 $ 0 ＜ x ＜ 2 $ 时,李老师选择手机支付比较合算;当 $ x = 2 $ 时,李老师选择两种支付方式一样;当 $ x ＞ 2 $ 时,李老师选择会员卡支付比较合算.
(2) 设会员卡支付金额 $ y $(单位:元)与骑行时间 $ x $(单位:h)的函数解析式为 $ y = ax $,则 $ 0.75 = a × 1 $,得 $ a = 0.75 $,即会员卡支付金额 $ y $(单位:元)与骑行时间 $ x $(单位:h)函数解析式为 $ y = 0.75x $.令 $ 0.75x = x - 0.5 $,解得 $ x = 2 $,由图象可知:当 $ 0 ＜ x ＜ 2 $ 时,李老师选择手机支付比较合算;当 $ x = 2 $ 时,李老师选择两种支付方式一样;当 $ x ＞ 2 $ 时,李老师选择会员卡支付比较合算.
解析
【分析】
（1）手机支付的函数为分段函数：首先观察图象，当骑行时间$0≤x＜0.5\ \mathrm{h}$时，支付金额为0；当$x≥0.5\ \mathrm{h}$时，函数为一次函数，可设解析式为$y=kx+b$，代入图象上的已知点$(0.5,0)$和$(1,0.5)$，用待定系数法求解对应区间的解析式，最后合并得到完整的分段函数。
（2）会员卡支付的函数是过原点的正比例函数，先设解析式为$y=ax$，代入点$(1,0.75)$求出解析式；再联立两种支付方式的解析式，求出费用相等时的骑行时间，结合图象分三种情况讨论不同骑行时间下更合算的支付方式即可。
【解析】
（1）分情况求解手机支付的函数解析式：
①当$0 \le x ＜ 0.5$时，由图象可得支付金额为0，即$y=0$；
②当$x \ge 0.5$时，设手机支付的函数解析式为$y = kx + b \ (k \ne 0)$，
将点$(0.5, 0)$、$(1, 0.5)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} 0.5k + b = 0 \\ k + b = 0.5 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$0.5k=0.5$，解得$k=1$；
将$k=1$代入$0.5k + b = 0$，得$0.5+b=0$，解得$b=-0.5$，
因此$x \ge 0.5$时，解析式为$y = x - 0.5$。
综上，手机支付金额$y$与骑行时间$x$的函数解析式为：
$y = \begin{cases} 0 \ (0 \le x ＜ 0.5) \\ x - 0.5 \ (x \ge 0.5) \end{cases}$
（2）求解会员卡支付的函数解析式并比较合算方案：
设会员卡支付的函数解析式为$y = ax \ (a \ne 0)$，将点$(1, 0.75)$代入得$0.75 = a × 1$，解得$a=0.75$，即会员卡支付的解析式为$y = 0.75x$。
令两种支付方式金额相等，即$0.75x = x - 0.5$，
移项计算得$0.25x = 0.5$，解得$x=2$。
结合图象可得：
当$0 ＜ x ＜ 2$时，手机支付金额更低，选择手机支付比较合算；
当$x = 2$时，两种支付方式金额相同；
当$x ＞ 2$时，会员卡支付金额更低，选择会员卡支付比较合算。
【答案】
(1) $y = \begin{cases} 0 \ (0 \le x ＜ 0.5) \\ x - 0.5 \ (x \ge 0.5) \end{cases}$
(2) 当骑行时间小于2h时选择手机支付合算；骑行时间等于2h时两种支付方式一样合算；骑行时间大于2h时选择会员卡支付合算。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，一次函数的大小比较
【点评】
本题结合生活中的共享单车支付场景考查一次函数的应用，需要掌握分段函数的求解方法，能通过联立方程找到方案的费用临界点，结合图象判断最优方案，可锻炼将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
（1）手机支付的函数为分段函数：首先观察图象，当骑行时间$0≤x＜0.5\ \mathrm{h}$时，支付金额为0；当$x≥0.5\ \mathrm{h}$时，函数为一次函数，可设解析式为$y=kx+b$，代入图象上的已知点$(0.5,0)$和$(1,0.5)$，用待定系数法求解对应区间的解析式，最后合并得到完整的分段函数。
（2）会员卡支付的函数是过原点的正比例函数，先设解析式为$y=ax$，代入点$(1,0.75)$求出解析式；再联立两种支付方式的解析式，求出费用相等时的骑行时间，结合图象分三种情况讨论不同骑行时间下更合算的支付方式即可。
【解析】
（1）分情况求解手机支付的函数解析式：
①当$0 \le x ＜ 0.5$时，由图象可得支付金额为0，即$y=0$；
②当$x \ge 0.5$时，设手机支付的函数解析式为$y = kx + b \ (k \ne 0)$，
将点$(0.5, 0)$、$(1, 0.5)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} 0.5k + b = 0 \\ k + b = 0.5 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$0.5k=0.5$，解得$k=1$；
将$k=1$代入$0.5k + b = 0$，得$0.5+b=0$，解得$b=-0.5$，
因此$x \ge 0.5$时，解析式为$y = x - 0.5$。
综上，手机支付金额$y$与骑行时间$x$的函数解析式为：
$y = \begin{cases} 0 \ (0 \le x ＜ 0.5) \\ x - 0.5 \ (x \ge 0.5) \end{cases}$
（2）求解会员卡支付的函数解析式并比较合算方案：
设会员卡支付的函数解析式为$y = ax \ (a \ne 0)$，将点$(1, 0.75)$代入得$0.75 = a × 1$，解得$a=0.75$，即会员卡支付的解析式为$y = 0.75x$。
令两种支付方式金额相等，即$0.75x = x - 0.5$，
移项计算得$0.25x = 0.5$，解得$x=2$。
结合图象可得：
当$0 ＜ x ＜ 2$时，手机支付金额更低，选择手机支付比较合算；
当$x = 2$时，两种支付方式金额相同；
当$x ＞ 2$时，会员卡支付金额更低，选择会员卡支付比较合算。
【答案】
(1) $y = \begin{cases} 0 \ (0 \le x ＜ 0.5) \\ x - 0.5 \ (x \ge 0.5) \end{cases}$
(2) 当骑行时间小于2h时选择手机支付合算；骑行时间等于2h时两种支付方式一样合算；骑行时间大于2h时选择会员卡支付合算。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，一次函数的大小比较
【点评】
本题结合生活中的共享单车支付场景考查一次函数的应用，需要掌握分段函数的求解方法，能通过联立方程找到方案的费用临界点，结合图象判断最优方案，可锻炼将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
20. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ A(0,4),B(2,0) $，函数 $ y=2x+m $ 的图象与直线 $ AB $ 交于点 $ M $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
（1）求直线 $ AB $ 的函数解析式。
（2）当 $ △ ABC $ 为直角三角形时，求 $ m $ 的值。
（3）当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 上时，求 $ m $ 的取值范围。
（1）求直线 $ AB $ 的函数解析式。
（2）当 $ △ ABC $ 为直角三角形时，求 $ m $ 的值。
（3）当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 上时，求 $ m $ 的取值范围。
答案
20. (1) 设直线 $ AB $ 的函数解析式为 $ y = kx + b ( k ≠ 0 ) $.由点 $ A ( 0,4 ), B ( 2,0 ) $ 可得 $ \begin{cases} b = 4, \\ 2k + b = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = - 2, \\ b = 4. \end{cases} $ $ \therefore $ 直线 $ AB $ 的函数解析式为 $ y = - 2x + 4 $.
(2) 当 $ x = 0 $ 时,$ y = m $,$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ ( 0,m ) $.又 $ \because $ 点 $ A ( 0,4 ), B ( 2,0 ) $,$ \therefore AB = 2\sqrt{5} $,$ AC = | 4 - m | $,$ BC = \sqrt{m^2 + 4} $.当 $ ∠ ACB = 90° $ 时,点 $ C $ 与点 $ O $ 重合,$ \therefore m = 0 $;当 $ ∠ ABC = 90° $ 时,$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $,即 $ ( 2\sqrt{5} )^2 + ( \sqrt{m^2 + 4} )^2 = ( 4 - m )^2 $,解得 $ m = - 1 $.综上所述,$ m = 0 $ 或 $ - 1 $.
(3) 把 $ A ( 0,4 ) $ 代入 $ y = 2x + m $,得 $ m = 4 $;把 $ B ( 2,0 ) $ 代入 $ y = 2x + m $,得 $ m = - 4 $.$ \therefore $ 当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 上时,$ m $ 的取值范围是 $ - 4 ≤ m ≤ 4 $.
(2) 当 $ x = 0 $ 时,$ y = m $,$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ ( 0,m ) $.又 $ \because $ 点 $ A ( 0,4 ), B ( 2,0 ) $,$ \therefore AB = 2\sqrt{5} $,$ AC = | 4 - m | $,$ BC = \sqrt{m^2 + 4} $.当 $ ∠ ACB = 90° $ 时,点 $ C $ 与点 $ O $ 重合,$ \therefore m = 0 $;当 $ ∠ ABC = 90° $ 时,$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $,即 $ ( 2\sqrt{5} )^2 + ( \sqrt{m^2 + 4} )^2 = ( 4 - m )^2 $,解得 $ m = - 1 $.综上所述,$ m = 0 $ 或 $ - 1 $.
(3) 把 $ A ( 0,4 ) $ 代入 $ y = 2x + m $,得 $ m = 4 $;把 $ B ( 2,0 ) $ 代入 $ y = 2x + m $,得 $ m = - 4 $.$ \therefore $ 当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 上时,$ m $ 的取值范围是 $ - 4 ≤ m ≤ 4 $.
解析
【分析】
（1）求直线AB的解析式，已知直线上两个点的坐标，选用待定系数法，设出一次函数一般式，将两点坐标代入求解系数即可。
（2）先求出函数$y=2x+m$与y轴交点C的坐标，$△ ABC$为直角三角形需分情况讨论直角顶点：①直角顶点为C，结合A、C都在y轴上的特点推导m的值；②直角顶点为B，利用勾股定理，根据三边平方的等量关系列方程求解m；∠BAC不可能为直角，因A、C在y轴上，AB与AC不垂直，直接排除。
（3）点M在线段AB上，即直线$y=2x+m$与线段AB有交点，分别将线段AB的两个端点A、B代入直线解析式求出临界m值，即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）设直线$AB$的函数解析式为 $y = kx + b ( k ≠ 0 )$，
将 $A ( 0,4 )$、$B ( 2,0 )$ 代入解析式，得：
$\begin{cases} b = 4 \\ 2k + b = 0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = - 2 \\ b = 4 \end{cases}$
∴直线$AB$的函数解析式为 $y = - 2x + 4$。
（2）对于函数 $y=2x+m$，当 $x = 0$ 时，$y = m$，
∴点$C$坐标为 $( 0,m )$。
已知 $A(0,4)$，$B(2,0)$，由勾股定理可得：
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2} = 2\sqrt{5}$，
$AC = | 4 - m |$，
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-m)^2} = \sqrt{m^2 + 4}$。
分情况讨论：
① 当 $∠ ACB = 90°$ 时，$AC⊥BC$，
∵A、C均在y轴上，AC沿y轴方向，
∴BC平行于x轴，即C点纵坐标为0，点C与原点O重合，
∴$m = 0$；
② 当 $∠ ABC = 90°$ 时，由勾股定理得 $AB^2 + BC^2 = AC^2$，
代入得：$( 2\sqrt{5} )^2 + ( \sqrt{m^2 + 4} )^2 = ( 4 - m )^2$，
化简：$20 + m^2 + 4 = 16 - 8m + m^2$，
解得 $m = - 1$。
综上，$m$ 的值为0或-1。
（3）当直线 $y=2x+m$ 经过点 $A(0,4)$ 时，代入得 $4 = 0 + m$，即 $m=4$；
当直线 $y=2x+m$ 经过点 $B(2,0)$ 时，代入得 $0 = 2×2 + m$，即 $m=-4$；
∴当点M在线段AB上时，$m$ 的取值范围是 $- 4 ≤ m ≤ 4$。
【答案】
(1) $y=-2x+4$
(2) $m=0$ 或 $m=-1$
(3) $-4≤m≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 勾股定理
3. 一次函数交点问题
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用，渗透了分类讨论的数学思想，解题时要注意直角三角形需分类讨论直角顶点，求参数范围时要找准临界值代入计算，避免漏解或范围判断错误。
【难度系数】
0.7
（1）求直线AB的解析式，已知直线上两个点的坐标，选用待定系数法，设出一次函数一般式，将两点坐标代入求解系数即可。
（2）先求出函数$y=2x+m$与y轴交点C的坐标，$△ ABC$为直角三角形需分情况讨论直角顶点：①直角顶点为C，结合A、C都在y轴上的特点推导m的值；②直角顶点为B，利用勾股定理，根据三边平方的等量关系列方程求解m；∠BAC不可能为直角，因A、C在y轴上，AB与AC不垂直，直接排除。
（3）点M在线段AB上，即直线$y=2x+m$与线段AB有交点，分别将线段AB的两个端点A、B代入直线解析式求出临界m值，即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）设直线$AB$的函数解析式为 $y = kx + b ( k ≠ 0 )$，
将 $A ( 0,4 )$、$B ( 2,0 )$ 代入解析式，得：
$\begin{cases} b = 4 \\ 2k + b = 0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = - 2 \\ b = 4 \end{cases}$
∴直线$AB$的函数解析式为 $y = - 2x + 4$。
（2）对于函数 $y=2x+m$，当 $x = 0$ 时，$y = m$，
∴点$C$坐标为 $( 0,m )$。
已知 $A(0,4)$，$B(2,0)$，由勾股定理可得：
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2} = 2\sqrt{5}$，
$AC = | 4 - m |$，
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-m)^2} = \sqrt{m^2 + 4}$。
分情况讨论：
① 当 $∠ ACB = 90°$ 时，$AC⊥BC$，
∵A、C均在y轴上，AC沿y轴方向，
∴BC平行于x轴，即C点纵坐标为0，点C与原点O重合，
∴$m = 0$；
② 当 $∠ ABC = 90°$ 时，由勾股定理得 $AB^2 + BC^2 = AC^2$，
代入得：$( 2\sqrt{5} )^2 + ( \sqrt{m^2 + 4} )^2 = ( 4 - m )^2$，
化简：$20 + m^2 + 4 = 16 - 8m + m^2$，
解得 $m = - 1$。
综上，$m$ 的值为0或-1。
（3）当直线 $y=2x+m$ 经过点 $A(0,4)$ 时，代入得 $4 = 0 + m$，即 $m=4$；
当直线 $y=2x+m$ 经过点 $B(2,0)$ 时，代入得 $0 = 2×2 + m$，即 $m=-4$；
∴当点M在线段AB上时，$m$ 的取值范围是 $- 4 ≤ m ≤ 4$。
【答案】
(1) $y=-2x+4$
(2) $m=0$ 或 $m=-1$
(3) $-4≤m≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 勾股定理
3. 一次函数交点问题
【点评】
本题综合考查一次函数的基础应用，渗透了分类讨论的数学思想，解题时要注意直角三角形需分类讨论直角顶点，求参数范围时要找准临界值代入计算，避免漏解或范围判断错误。
【难度系数】
0.7
