三十一
在学习了《平行四边形》的相关内容后，小颖和小慧对平行四边形的性质进行了更深入的探究。
【初步探究】
(1)如图1，小颖连接了$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$，发现当$∠ ABC=90°$时，$AC$与$BD$之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系。
【深入探究】
(2)在小颖发现的基础上，小慧提出了一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图2，在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，$∠ EGF=90°$，$GP$是斜边$EF$上的中线。请根据小慧的猜想写出中线$GP$与斜边$EF$之间的数量关系，并说明理由。
【拓展延伸】
(3)如图3，小颖和小慧在图2中$\mathrm{Rt}△ EFG$的基础上又作了$\mathrm{Rt}△ EFM$，使$∠ EMF=90°$且点$M$，$G$均位于斜边$EF$所在直线的同侧，$EM$平分$∠ FEG$，连接$GM$。请判断$∠ FGM$与$∠ GFM$之间的数量关系，并说明理由。

(1) $\boldsymbol{AC=BD}$
(2) $\boldsymbol{GP=\frac{1}{2}EF}$，理由见上述解析
(3) $\boldsymbol{2∠ FGM + ∠ GFM=90°}$，理由见上述解析

(1) 图1中，平行四边形ABCD满足∠ABC=90°，因此该四边形为矩形，根据矩形对角线相等的性质，直接可得AC与BD的数量关系。
(2) 构造辅助线证明结论：延长GP到点H，使PH=GP，连接EH、FH。
∵ P是EF的中点，∴ EP=PF，
又∵ GP=PH，∴ 四边形EFGH的对角线互相平分，即四边形EFGH是平行四边形，
∵ ∠EGF=90°，∴ 平行四边形EFGH是矩形，
根据矩形对角线相等的性质，得GH=EF，
又∵ GH=GP+PH=2GP，∴ GP=$\frac{1}{2}$EF。
(3) 推导两角数量关系：
由(2)的结论，在Rt△EGF和Rt△EMF中，P是EF中点，可得GP=EP=FP=MP=$\frac{1}{2}$EF，
∴ ∠GEP=∠EGP，∠PFM=∠PMF，∠MEF=∠EMP，
由三角形外角性质：∠GPF=∠GEP+∠EGP=2∠GEP，∠MPF=∠MEF+∠EMP=2∠MEF，
∵ EM平分∠FEG，∴ ∠GEP=2∠MEF，代入得∠GPF=4∠MEF，
∴ ∠GPM=∠GPF-∠MPF=2∠MEF，
在△GPM中，GP=MP，∴ ∠PGM=$\frac{180°-∠ GPM}{2}$=90°-∠MEF，
在△GPF中，GP=FP，∴ ∠PGF=$\frac{180°-∠ GPF}{2}$=90°-2∠MEF，
∴ ∠FGM=∠PGM-∠PGF=∠MEF，
又∵ 在Rt△EMF中，∠EMF=90°，∴ ∠MEF+∠GFM=90°，
将∠MEF替换为∠FGM，整理得2∠FGM + ∠GFM=90°。