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7 [2026崇川段测]若5个有理数之积为正数，则这5个有理数中负数的个数可能是 (
A.2
B.4
C.2或4
D.2或4或0
D
)A.2
B.4
C.2或4
D.2或4或0
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先回忆多个有理数相乘的符号判定法则：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时积为正数，负因数个数为奇数时积为负数。本题已知5个有理数的积为正数，首先可确定这5个数中不含0（若含0则积为0，不符合积为正数的条件），接下来只需要找出小于等于5的非负偶数，就是负数可能的个数。
【解析】
根据多个有理数相乘的符号规律：
1. 若几个有理数的积为正数，则所有因数均不为0，且负因数的个数为偶数；
2. 本题共有5个有理数，小于等于5的非负偶数有0、2、4，因此这5个有理数中负数的个数可能是0个、2个或4个。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多个有理数乘法符号规律
2. 有理数乘法性质
【点评】
本题是多个有理数乘法符号判断的基础题型，解题的关键是牢记负因数个数为偶数时积为正，注意不要遗漏负数个数为0（即所有数均为正数）的情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多个有理数相乘的符号判定法则：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时积为正数，负因数个数为奇数时积为负数。本题已知5个有理数的积为正数，首先可确定这5个数中不含0（若含0则积为0，不符合积为正数的条件），接下来只需要找出小于等于5的非负偶数，就是负数可能的个数。
【解析】
根据多个有理数相乘的符号规律：
1. 若几个有理数的积为正数，则所有因数均不为0，且负因数的个数为偶数；
2. 本题共有5个有理数，小于等于5的非负偶数有0、2、4，因此这5个有理数中负数的个数可能是0个、2个或4个。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多个有理数乘法符号规律
2. 有理数乘法性质
【点评】
本题是多个有理数乘法符号判断的基础题型，解题的关键是牢记负因数个数为偶数时积为正，注意不要遗漏负数个数为0（即所有数均为正数）的情况。
【难度系数】
0.8
8 在数5，-6，3，-2，2中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最大的是 （
A.30
B.48
C.60
D.90
C
）A.30
B.48
C.60
D.90
答案
8. C
解析
【分析】
要得到三个不同数相乘的最大乘积，首先根据有理数乘法的符号规则：正数大于一切负数，所以乘积必须为正数。乘积为正的情况有两种：一是三个乘数都是正数，二是两个乘数为负数、一个乘数为正数（负负得正，再乘正数结果仍为正）。接下来分别计算这两种情况的最大乘积，再比较大小就能得到最终结果。
【解析】
第一步：确定符合乘积为正的两类组合：
① 三个数均为正数：可选数字为5、3、2，乘积为：$5×3×2=30$；
② 两个数为负数、一个数为正数：要使乘积最大，应选绝对值最大的两个负数，再乘最大的正数，即选-6、-2和5，乘积为：$(-6)×(-2)×5=12×5=60$。
第二步：比较两类的最大乘积：$60＞30$，因此乘积最大是60。
【答案】
C
【知识点】
1. 多个有理数相乘的符号判定
2. 有理数乘法运算
3. 有理数大小比较
【点评】
本题重点考查多个有理数乘法的实际应用，解题的关键是先明确乘积最大时的符号要求，再分类计算两种符合条件的最大乘积，注意不要遗漏两负一正的情况即可正确解题。
【难度系数】
0.7
要得到三个不同数相乘的最大乘积，首先根据有理数乘法的符号规则：正数大于一切负数，所以乘积必须为正数。乘积为正的情况有两种：一是三个乘数都是正数，二是两个乘数为负数、一个乘数为正数（负负得正，再乘正数结果仍为正）。接下来分别计算这两种情况的最大乘积，再比较大小就能得到最终结果。
【解析】
第一步：确定符合乘积为正的两类组合：
① 三个数均为正数：可选数字为5、3、2，乘积为：$5×3×2=30$；
② 两个数为负数、一个数为正数：要使乘积最大，应选绝对值最大的两个负数，再乘最大的正数，即选-6、-2和5，乘积为：$(-6)×(-2)×5=12×5=60$。
第二步：比较两类的最大乘积：$60＞30$，因此乘积最大是60。
【答案】
C
【知识点】
1. 多个有理数相乘的符号判定
2. 有理数乘法运算
3. 有理数大小比较
【点评】
本题重点考查多个有理数乘法的实际应用，解题的关键是先明确乘积最大时的符号要求，再分类计算两种符合条件的最大乘积，注意不要遗漏两负一正的情况即可正确解题。
【难度系数】
0.7
9 如果4个不相等的偶数m，n，p，q满足(3−m)(3−n)(3−p)(3−q)=9，那么m+n+p+q的值为
12
。答案
9. 12 【解析】因为m,n,p,q是4个不相等的偶数,所以(3−m),(3−n),(3−p),(3−q)均为整数.因为9=3×1×(−1)×(−3),所以可令3−m=3,3−n=1,3−p=−1,3−q=−3.所以m=0,n=2,p=4,q=6.所以m+n+p+q=0+2+4+6=12.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件分析四个因式的特征：因为m、n、p、q是互不相等的偶数，奇数减偶数结果为奇数，所以(3−m)、(3−n)、(3−p)、(3−q)是四个互不相等的整数，且都是奇数。接下来思考乘积为9的四个互不相等的整数有哪些：9的整数因数只有±1、±3、±9，若选±9的话，剩余三个因数乘积为±1，无法凑出三个互不相等的整数，因此四个因式只能是3、1、-1、-3。最后通过四个因式的取值推导四个数的和即可。
【解析】
解：
∵m、n、p、q是4个互不相等的偶数，
∴(3−m)、(3−n)、(3−p)、(3−q)均为互不相等的整数，且都是奇数。
∵9只能拆分为4个互不相等的整数乘积：9=3×1×(-1)×(-3)，
∴可令3−m=3，3−n=1，3−p=-1，3−q=-3（四个因式取值可互换，不影响求和结果），
解得：m=0，n=2，p=4，q=6，
∴m+n+p+q=0+2+4+6=12。
【答案】
12
【知识点】
有理数乘法运算；偶数的性质；整数因数拆分
【点评】
本题重点考察有理数乘法的灵活运用，解题核心是根据偶数的性质确定四个因式的特征，进而将9正确拆分为四个互不相等的整数乘积，对整数的因数拆分能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件分析四个因式的特征：因为m、n、p、q是互不相等的偶数，奇数减偶数结果为奇数，所以(3−m)、(3−n)、(3−p)、(3−q)是四个互不相等的整数，且都是奇数。接下来思考乘积为9的四个互不相等的整数有哪些：9的整数因数只有±1、±3、±9，若选±9的话，剩余三个因数乘积为±1，无法凑出三个互不相等的整数，因此四个因式只能是3、1、-1、-3。最后通过四个因式的取值推导四个数的和即可。
【解析】
解：
∵m、n、p、q是4个互不相等的偶数，
∴(3−m)、(3−n)、(3−p)、(3−q)均为互不相等的整数，且都是奇数。
∵9只能拆分为4个互不相等的整数乘积：9=3×1×(-1)×(-3)，
∴可令3−m=3，3−n=1，3−p=-1，3−q=-3（四个因式取值可互换，不影响求和结果），
解得：m=0，n=2，p=4，q=6，
∴m+n+p+q=0+2+4+6=12。
【答案】
12
【知识点】
有理数乘法运算；偶数的性质；整数因数拆分
【点评】
本题重点考察有理数乘法的灵活运用，解题核心是根据偶数的性质确定四个因式的特征，进而将9正确拆分为四个互不相等的整数乘积，对整数的因数拆分能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10 如图,按以下规律,在第四个正方形内填入的数是
210
. 答案
10. 210
解析
【分析】
解题时先观察每个正方形四个角的数字与中间数字的关联，先尝试计算已知正方形四个角数字的乘积，对比中间数：第一个正方形四个角都是负数，4个负因数相乘结果为正，计算得乘积刚好等于中间的24；验证第二个、第三个正方形均符合“中间数等于四个角数字的乘积”这一规律，再套用规律计算第四个正方形的中间数即可。
【解析】
观察前三个正方形的数字规律：
第一个正方形：$(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24$，结果与中间数相等；
第二个正方形：$(-1)×(-3)×(-4)×(-5)=60$，结果与中间数相等；
第三个正方形：$(-1)×(-4)×(-5)×(-6)=120$，结果与中间数相等；
可得规律：正方形中间的数等于其四个角上四个有理数的乘积。
第四个正方形四个角的数为$-1、-5、-6、-7$，代入计算：
$(-1)×(-5)×(-6)×(-7)=210$
【答案】
210
【知识点】
有理数乘法运算，数字规律探究
【点评】
本题需要先通过观察、计算验证找到数字间的运算规律，再运用规律求解，既考查了有理数乘法的运算能力，也锻炼了归纳推理的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察每个正方形四个角的数字与中间数字的关联，先尝试计算已知正方形四个角数字的乘积，对比中间数：第一个正方形四个角都是负数，4个负因数相乘结果为正，计算得乘积刚好等于中间的24；验证第二个、第三个正方形均符合“中间数等于四个角数字的乘积”这一规律，再套用规律计算第四个正方形的中间数即可。
【解析】
观察前三个正方形的数字规律：
第一个正方形：$(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24$，结果与中间数相等；
第二个正方形：$(-1)×(-3)×(-4)×(-5)=60$，结果与中间数相等；
第三个正方形：$(-1)×(-4)×(-5)×(-6)=120$，结果与中间数相等；
可得规律：正方形中间的数等于其四个角上四个有理数的乘积。
第四个正方形四个角的数为$-1、-5、-6、-7$，代入计算：
$(-1)×(-5)×(-6)×(-7)=210$
【答案】
210
【知识点】
有理数乘法运算，数字规律探究
【点评】
本题需要先通过观察、计算验证找到数字间的运算规律，再运用规律求解，既考查了有理数乘法的运算能力，也锻炼了归纳推理的能力。
【难度系数】
0.7
11 若$a$，$b$是有理数，定义一种新运算“$\oplus$”：$a\oplus b=2ab+1$. 例如：$(-3)\oplus4=2×(-3)×4+1=-23$. 试计算：
(1) $3\oplus(-5)$；
(2) $[3\oplus(-5)]\oplus(-6)$.
(1) $3\oplus(-5)$；
(2) $[3\oplus(-5)]\oplus(-6)$.
答案
11. (1) 原式$=2×3×(-5)+1=-29$
(2) 原式$=2×(-29)×(-6)+1=349$
(2) 原式$=2×(-29)×(-6)+1=349$
解析
【分析】
解决本题的核心是先准确理解新运算“⊕”的规则：$a\oplus b = 2ab + 1$，即两个数进行⊕运算时，结果等于这两个数乘积的2倍再加1。解题时先明确每一步运算中对应$a$、$b$的取值，再代入规则计算即可。第(2)问有括号，要先算括号内的运算，再把括号内的计算结果作为新的$a$值，和后面的$-6$进行新运算。
【解析】
(1) 根据新运算规则，取$a=3$，$b=-5$，代入公式计算：
$3\oplus(-5)=2×3×(-5)+1=-30+1=-29$
(2) 先计算括号内的$3\oplus(-5)$，由(1)可知结果为$-29$，再取新运算中的$a=-29$，$b=-6$，代入公式计算：
$[3\oplus(-5)]\oplus(-6)=(-29)\oplus(-6)=2×(-29)×(-6)+1=348+1=349$
【答案】
(1) $-29$；(2) $349$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，四则运算顺序
【点评】
本题重点考查对新运算规则的应用能力，解题的关键是严格遵循给定的运算公式代入数值，计算时注意有理数乘法的符号判断，分步计算可有效降低错误率。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是先准确理解新运算“⊕”的规则：$a\oplus b = 2ab + 1$，即两个数进行⊕运算时，结果等于这两个数乘积的2倍再加1。解题时先明确每一步运算中对应$a$、$b$的取值，再代入规则计算即可。第(2)问有括号，要先算括号内的运算，再把括号内的计算结果作为新的$a$值，和后面的$-6$进行新运算。
【解析】
(1) 根据新运算规则，取$a=3$，$b=-5$，代入公式计算：
$3\oplus(-5)=2×3×(-5)+1=-30+1=-29$
(2) 先计算括号内的$3\oplus(-5)$，由(1)可知结果为$-29$，再取新运算中的$a=-29$，$b=-6$，代入公式计算：
$[3\oplus(-5)]\oplus(-6)=(-29)\oplus(-6)=2×(-29)×(-6)+1=348+1=349$
【答案】
(1) $-29$；(2) $349$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，四则运算顺序
【点评】
本题重点考查对新运算规则的应用能力，解题的关键是严格遵循给定的运算公式代入数值，计算时注意有理数乘法的符号判断，分步计算可有效降低错误率。
【难度系数】
0.9
12 学习了有理数的运算后，王老师让同学们计算 $71\frac{15}{16}×(-8)$ 的结果，看谁算得又对又快。下面是两名同学给出的不同解法。
小强：原式$=-\frac{1151}{16}×8=-\frac{1151}{2}=-575\frac{1}{2}$；
小莉：原式$=(71+\frac{15}{16})×(-8)=71×(-8)+\frac{15}{16}×(-8)=-575\frac{1}{2}$。
（1）以上两种解法，谁的解法比较简便？
（2）你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程。
（3）用简便方法计算：$-99\frac{98}{99}×198$。
小强：原式$=-\frac{1151}{16}×8=-\frac{1151}{2}=-575\frac{1}{2}$；
小莉：原式$=(71+\frac{15}{16})×(-8)=71×(-8)+\frac{15}{16}×(-8)=-575\frac{1}{2}$。
（1）以上两种解法，谁的解法比较简便？
（2）你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程。
（3）用简便方法计算：$-99\frac{98}{99}×198$。
答案
12. (1) 小莉的解法比较简便
(2) 有 解法不唯一,如原式$=(72-\dfrac{1}{16})×(-8)=72×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)=-575\dfrac{1}{2}$
(3) 解法不唯一,如原式$=-(100-\dfrac{1}{99})×198=-100×198+\dfrac{1}{99}×198=-19\ 800+2=-19\ 798$
(2) 有 解法不唯一,如原式$=(72-\dfrac{1}{16})×(-8)=72×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)=-575\dfrac{1}{2}$
(3) 解法不唯一,如原式$=-(100-\dfrac{1}{99})×198=-100×198+\dfrac{1}{99}×198=-19\ 800+2=-19\ 798$
解析
【分析】
（1）对比两种解法，小强需要先把带分数化为分子较大的假分数，计算量大且易出错；小莉利用乘法分配律将带分数拆成整数加分数分别计算，步骤更简洁，运算量更小。
（2）可将带分数拆成接近的整数减去一个小分数的形式，再用乘法分配律计算，$71\frac{15}{16}$刚好等于$72-\frac{1}{16}$，拆分后相乘的计算更便捷。
（3）沿用拆分凑整的思路，把$99\frac{98}{99}$凑成$100-\frac{1}{99}$，再结合乘法分配律计算，避免计算大数的假分数，简化运算过程。
【解析】
（1）小强的解法需先将带分数转化为假分数，分子数值大，计算难度高；小莉运用乘法分配律拆分带分数，分别与$-8$相乘，计算步骤简单，运算量小，因此小莉的解法更简便。
（2）其他解法如下：
将$71\frac{15}{16}$改写为$72-\frac{1}{16}$，再利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=(72-\frac{1}{16})×(-8)\\&=72×(-8)-\frac{1}{16}×(-8)\\&=-576+\frac{1}{2}\\&=-575\frac{1}{2}\end{aligned}$
（3）先将带分数凑整拆分，再用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=-(100-\frac{1}{99})×198\\&=-100×198+\frac{1}{99}×198\\&=-19800+2\\&=-19798\end{aligned}$
【答案】
(1) 小莉的解法比较简便
(2) 有 解法不唯一,如原式$=(72-\dfrac{1}{16})×(-8)=72×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)=-575\dfrac{1}{2}$
(3) 解法不唯一,如原式$=-(100-\dfrac{1}{99})×198=-100×198+\dfrac{1}{99}×198=-19\ 800+2=-19\ 798$
【知识点】
有理数乘法、乘法分配律、简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法的简便计算技巧，核心是通过合理拆分带分数，结合乘法分配律简化运算，能够有效降低计算量，减少计算失误，是有理数运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
（1）对比两种解法，小强需要先把带分数化为分子较大的假分数，计算量大且易出错；小莉利用乘法分配律将带分数拆成整数加分数分别计算，步骤更简洁，运算量更小。
（2）可将带分数拆成接近的整数减去一个小分数的形式，再用乘法分配律计算，$71\frac{15}{16}$刚好等于$72-\frac{1}{16}$，拆分后相乘的计算更便捷。
（3）沿用拆分凑整的思路，把$99\frac{98}{99}$凑成$100-\frac{1}{99}$，再结合乘法分配律计算，避免计算大数的假分数，简化运算过程。
【解析】
（1）小强的解法需先将带分数转化为假分数，分子数值大，计算难度高；小莉运用乘法分配律拆分带分数，分别与$-8$相乘，计算步骤简单，运算量小，因此小莉的解法更简便。
（2）其他解法如下：
将$71\frac{15}{16}$改写为$72-\frac{1}{16}$，再利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=(72-\frac{1}{16})×(-8)\\&=72×(-8)-\frac{1}{16}×(-8)\\&=-576+\frac{1}{2}\\&=-575\frac{1}{2}\end{aligned}$
（3）先将带分数凑整拆分，再用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=-(100-\frac{1}{99})×198\\&=-100×198+\frac{1}{99}×198\\&=-19800+2\\&=-19798\end{aligned}$
【答案】
(1) 小莉的解法比较简便
(2) 有 解法不唯一,如原式$=(72-\dfrac{1}{16})×(-8)=72×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)=-575\dfrac{1}{2}$
(3) 解法不唯一,如原式$=-(100-\dfrac{1}{99})×198=-100×198+\dfrac{1}{99}×198=-19\ 800+2=-19\ 798$
【知识点】
有理数乘法、乘法分配律、简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法的简便计算技巧，核心是通过合理拆分带分数，结合乘法分配律简化运算，能够有效降低计算量，减少计算失误，是有理数运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
