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【例1】△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC=
5
。答案
5
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的条件：△ABC是直角三角形，且有一个内角为30°，首先回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。接下来确定对应边：∠A=30°，它所对的直角边是BC，已知斜边AB的长度，代入性质公式即可直接求出BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得BC是∠A=30°所对的直角边，因此：
$BC=\frac{1}{2}AB$
已知AB=10，代入得：
$BC=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是准确找到30°角对应的直角边和斜边，只要熟练掌握相关性质就能快速得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题目给出的条件：△ABC是直角三角形，且有一个内角为30°，首先回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。接下来确定对应边：∠A=30°，它所对的直角边是BC，已知斜边AB的长度，代入性质公式即可直接求出BC的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得BC是∠A=30°所对的直角边，因此：
$BC=\frac{1}{2}AB$
已知AB=10，代入得：
$BC=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是准确找到30°角对应的直角边和斜边，只要熟练掌握相关性质就能快速得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
练习1.如图
,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AC=4cm,则AB边上的高为
,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AC=4cm,则AB边上的高为2
cm.答案
2
解析
【分析】
要计算AB边上的高，我们可以过点C作AB的垂线CD，CD即为所求的高。此时得到的Rt△ACD中，已知∠A=30°，斜边AC=4cm，结合含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可直接求出CD的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，则CD为AB边上的高。
∵∠CDA=90°，∠A=30°，
∴在Rt△ACD中，30°角∠A所对的直角边CD等于斜边AC的一半。
又
∵AC=4cm，
∴CD=½AC=½×4=2cm。
【答案】
2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查含30°角的直角三角形的性质，既可以通过构造直角三角形直接用性质求解，也可以通过三角形面积法计算得到结果，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算AB边上的高，我们可以过点C作AB的垂线CD，CD即为所求的高。此时得到的Rt△ACD中，已知∠A=30°，斜边AC=4cm，结合含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可直接求出CD的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，则CD为AB边上的高。
∵∠CDA=90°，∠A=30°，
∴在Rt△ACD中，30°角∠A所对的直角边CD等于斜边AC的一半。
又
∵AC=4cm，
∴CD=½AC=½×4=2cm。
【答案】
2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查含30°角的直角三角形的性质，既可以通过构造直角三角形直接用性质求解，也可以通过三角形面积法计算得到结果，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
练习2.如图2，$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$CD⊥ AB$于$D$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，则$BD$的长为（
A.2 cm
B.1 cm
C.3 cm
D.1.5 cm
B
）A.2 cm
B.1 cm
C.3 cm
D.1.5 cm
答案
B
解析
【分析】
本题存在多个直角三角形，且给出了30°角与斜边长度，可利用含30°角的直角三角形的性质求解。第一步先在Rt△ABC中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半求出BC的长度；第二步计算出∠B的度数，再在Rt△BCD中推出∠BCD为30°，再次利用该性质即可求出BD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，
同时，直角三角形两锐角互余，因此$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
∵$CD⊥ AB$，
∴$∠ CDB=90°$，
在Rt△BCD中，$∠ BCD=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
再次利用含30°角的直角三角形的性质，可得：
$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考察含30°角的直角三角形性质的应用，解题时要明确每个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，分步推导即可得出结果，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
本题存在多个直角三角形，且给出了30°角与斜边长度，可利用含30°角的直角三角形的性质求解。第一步先在Rt△ABC中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半求出BC的长度；第二步计算出∠B的度数，再在Rt△BCD中推出∠BCD为30°，再次利用该性质即可求出BD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，
同时，直角三角形两锐角互余，因此$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
∵$CD⊥ AB$，
∴$∠ CDB=90°$，
在Rt△BCD中，$∠ BCD=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
再次利用含30°角的直角三角形的性质，可得：
$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题侧重考察含30°角的直角三角形性质的应用，解题时要明确每个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，分步推导即可得出结果，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
【例2】如图3，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=15°$，$∠ DBC=60°$，$BC=4$，则$AD$的长为（
A.4
B.5
C.6
D.8
D
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
D
解析
【分析】
解题时先从含有已知边长和角度的Rt△BCD入手，先利用三角形内角和求出∠BDC的度数，结合含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度；再在Rt△ABC中求出∠ABC的度数，推导得到∠ABD的度数，发现∠ABD与∠A相等，利用等角对等边即可得到AD与BD的等量关系，最终求出AD的长。
【解析】
1. 在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$∠ DBC=60°$，
$\therefore ∠ BDC=180° - 90° - 60°=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD=2BC$，
$\because BC=4$，$\therefore BD=2×4=8$。
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=15°$，
$\therefore ∠ ABC=180° - 90° -15°=75°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ABC - ∠ DBC=75° - 60°=15°$。
3. $\because ∠ ABD=∠ A=15°$，
$\therefore △ ABD$为等腰三角形，$AD=BD$，
$\therefore AD=8$。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题的核心是通过角度计算推导边的等量关系，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和等腰三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
解题时先从含有已知边长和角度的Rt△BCD入手，先利用三角形内角和求出∠BDC的度数，结合含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度；再在Rt△ABC中求出∠ABC的度数，推导得到∠ABD的度数，发现∠ABD与∠A相等，利用等角对等边即可得到AD与BD的等量关系，最终求出AD的长。
【解析】
1. 在$Rt△ BCD$中，$∠ C=90°$，$∠ DBC=60°$，
$\therefore ∠ BDC=180° - 90° - 60°=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD=2BC$，
$\because BC=4$，$\therefore BD=2×4=8$。
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=15°$，
$\therefore ∠ ABC=180° - 90° -15°=75°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ABC - ∠ DBC=75° - 60°=15°$。
3. $\because ∠ ABD=∠ A=15°$，
$\therefore △ ABD$为等腰三角形，$AD=BD$，
$\therefore AD=8$。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题的核心是通过角度计算推导边的等量关系，需要熟练掌握特殊直角三角形的性质和等腰三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
练习1.如图，在△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，AD为△ABC的角平分线，BC=6，求CD的长.
答案
解:$\because ∠ B=30°$,
$\therefore ∠ BAC=60°$,
又$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=30°$,
$\therefore AD=BD$,
设$CD=x$,
$\therefore AD=BD=2x$,
$x+2x=6,x=2$,
$\therefore CD=2$.
$\therefore ∠ BAC=60°$,
又$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=30°$,
$\therefore AD=BD$,
设$CD=x$,
$\therefore AD=BD=2x$,
$x+2x=6,x=2$,
$\therefore CD=2$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的直角三角形锐角条件入手，先求出∠BAC的度数，再结合角平分线的性质得到∠BAD、∠CAD的度数，利用等角对等边得到AD=BD；接下来在Rt△ACD中，根据含30°角的直角三角形的性质得到AD和CD的数量关系，最后结合BC的总长度列方程即可求出CD的长度。
【解析】
∵ 在△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，
∴ ∠BAC=90°-30°=60°，
又
∵ AD为△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD=30°，
∴ ∠BAD=∠B，可得AD=BD，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴ AD=2CD，即BD=2CD，
设CD=x，则BD=2x，
由BC=BD+CD=6，得x+2x=6，
解得x=2，即CD=2。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是通过角度推导得到线段间的等量关系，再结合线段和列方程求解，思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的直角三角形锐角条件入手，先求出∠BAC的度数，再结合角平分线的性质得到∠BAD、∠CAD的度数，利用等角对等边得到AD=BD；接下来在Rt△ACD中，根据含30°角的直角三角形的性质得到AD和CD的数量关系，最后结合BC的总长度列方程即可求出CD的长度。
【解析】
∵ 在△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，
∴ ∠BAC=90°-30°=60°，
又
∵ AD为△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD=30°，
∴ ∠BAD=∠B，可得AD=BD，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴ AD=2CD，即BD=2CD，
设CD=x，则BD=2x，
由BC=BD+CD=6，得x+2x=6，
解得x=2，即CD=2。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是通过角度推导得到线段间的等量关系，再结合线段和列方程求解，思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
练习2.如图,在△ABC中,AC=AB,CD⊥AB于点D,∠BCD=15°,CD=2,求AB的长.
答案
解:$\because CD⊥ AB$,
$\therefore ∠ B=90°-15°=75°$,
又$\because AC=AB$,
$\therefore ∠ ACB=∠ B=75°$,
$\therefore ∠ ACD=75°-15°=60°$,
$\therefore ∠ A=30°$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,
$AC=2CD=4$,
$\therefore AB=AC=4$.
$\therefore ∠ B=90°-15°=75°$,
又$\because AC=AB$,
$\therefore ∠ ACB=∠ B=75°$,
$\therefore ∠ ACD=75°-15°=60°$,
$\therefore ∠ A=30°$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,
$AC=2CD=4$,
$\therefore AB=AC=4$.
解析
【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：首先由CD⊥AB、∠BCD=15°，利用直角三角形两锐角互余先求出∠B的度数；再结合AC=AB的等腰三角形性质，得到底角∠ACB=∠B，进而求出∠ACD的度数，算出△ABC的顶角∠A的度数；发现∠A=30°后，在Rt△ACD中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AC的长度，最后由AB=AC即可得到AB的长。
【解析】
$\because CD⊥ AB$,
$\therefore ∠ B=90°-15°=75°$,
又$\because AC=AB$,
$\therefore ∠ ACB=∠ B=75°$,
$\therefore ∠ ACD=75°-15°=60°$,
$\therefore ∠ A=180°-75°-75°=30°$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,
$AC=2CD=2×2=4$,
$\therefore AB=AC=4$.
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是通过角度计算得到30°特殊角，再结合特殊直角三角形的边的关系求解，能有效考查学生对三角形基本性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可从已知条件逐步推导：首先由CD⊥AB、∠BCD=15°，利用直角三角形两锐角互余先求出∠B的度数；再结合AC=AB的等腰三角形性质，得到底角∠ACB=∠B，进而求出∠ACD的度数，算出△ABC的顶角∠A的度数；发现∠A=30°后，在Rt△ACD中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AC的长度，最后由AB=AC即可得到AB的长。
【解析】
$\because CD⊥ AB$,
$\therefore ∠ B=90°-15°=75°$,
又$\because AC=AB$,
$\therefore ∠ ACB=∠ B=75°$,
$\therefore ∠ ACD=75°-15°=60°$,
$\therefore ∠ A=180°-75°-75°=30°$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,
$AC=2CD=2×2=4$,
$\therefore AB=AC=4$.
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是通过角度计算得到30°特殊角，再结合特殊直角三角形的边的关系求解，能有效考查学生对三角形基本性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
练习3.如图，点D，E，F分别在等边△ABC三边上，且DE⊥AC于点E，FD⊥BC于点D，AB=5，BF=4，求CE的长。
答案
解:在$\mathrm{Rt}△ BDF$中,
$\because ∠ B=60°$,
$\therefore ∠ BFD=30°$,
$\therefore BD=\frac{1}{2}BF=2$,
$\therefore CD=BC-BD=3$,
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,
$\because ∠ C=60°$,
$\therefore ∠ CDE=30°$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=1.5$.
$\because ∠ B=60°$,
$\therefore ∠ BFD=30°$,
$\therefore BD=\frac{1}{2}BF=2$,
$\therefore CD=BC-BD=3$,
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,
$\because ∠ C=60°$,
$\therefore ∠ CDE=30°$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=1.5$.
解析
【分析】首先明确等边三角形的性质：三边相等，每个内角均为60°；结合题目给出的垂直条件，可得到多个含30°锐角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质逐步计算即可。解题时从已知长度的BF入手，先计算BD的长度，再推导CD的长度，最终求出CE的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=5，
∴BC=AB=5，∠B=∠C=60°。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ FDB=90°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ BFD=90°-60°=30°$，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得$BD=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$CD=BC-BD=5-2=3$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$，$∠ C=60°$，
∴$∠ CDE=90°-60°=30°$，
同理可得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×3=1.5$。
【答案】1.5
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题属于几何基础计算题，解题关键是结合等边三角形的内角特征和垂直条件，找到含30°角的直角三角形，利用其边的数量关系逐步推导所求线段长度，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】0.7
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=5，
∴BC=AB=5，∠B=∠C=60°。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ FDB=90°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ BFD=90°-60°=30°$，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得$BD=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$CD=BC-BD=5-2=3$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$，$∠ C=60°$，
∴$∠ CDE=90°-60°=30°$，
同理可得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×3=1.5$。
【答案】1.5
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题属于几何基础计算题，解题关键是结合等边三角形的内角特征和垂直条件，找到含30°角的直角三角形，利用其边的数量关系逐步推导所求线段长度，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】0.7
