1.已知$△ ABC$为等边三角形，点$P$在$AB$上，
(1)如图1，点$P$在$AB$上，
求证：$AE// BC$.

(2)如图2，点$P$在$AB$延长线上，
求证：$AE// BC$.

(1)证明:
∵∠BCA=∠PCE=60°,
∴∠BCP=∠ACE,
在△BCP 和△ACE 中，
$\begin{cases}BC=AC,\\∠BCP=∠ACE,\\CP=CE,\end{cases}$
∴△BCP≌△ACE(SAS),
∴∠EAC=∠B=60°,
∴AE//CB；
(2)
∵∠ACB=∠PCE=60°,
∴∠PCB=∠ACE,
在△BCP 和△ACE 中，
$\begin{cases}BC=AC,\\∠PCB=∠ACE,\\CP=CE,\end{cases}$
∴△BCP≌△ACE(SAS),
∴∠CAE=∠PBC=120°,
∴AE//BC.

【分析】
要证明AE//BC，需利用平行线的判定定理，找到对应角相等或互补的关系。已知△ABC为等边三角形，结合题中隐含的△PCE为等边三角形的条件，可得两组等边三角形的边相等、内角均为60°，通过角的和差运算可得到△BCP和△ACE的一组相等夹角，结合SAS即可证明两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，推导得到平行线判定所需的角关系：(1)问中全等得到∠EAC=∠B=60°，与∠ACB是内错角，相等即可证平行；(2)问中全等得到∠CAE=∠PBC=120°，与∠ACB是同旁内角，互补即可证平行。
【解析】
(1)证明:
∵∠BCA=∠PCE=60°,
∴∠BCP=∠ACE,
在△BCP 和△ACE 中，
$\begin{cases}BC=AC,\\∠BCP=∠ACE,\\CP=CE,\end{cases}$
∴△BCP≌△ACE(SAS),
∴∠EAC=∠B=60°,
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE//CB（内错角相等，两直线平行）；
(2)证明:
∵∠ACB=∠PCE=60°,
∴∠PCB=∠ACE,
在△BCP 和△ACE 中，
$\begin{cases}BC=AC,\\∠PCB=∠ACE,\\CP=CE,\end{cases}$
∴△BCP≌△ACE(SAS),
∴∠CAE=∠PBC=120°,
∴∠CAE + ∠ACB = 180°，
∴AE//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1)AE//BC得证；(2)AE//BC得证
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的典型证明题，核心是利用等边三角形的边、角性质构造全等三角形，将未知角转化为已知角进而证明平行，解题时要注意点P位置不同时，角的和差推导逻辑的区别。
【难度系数】
0.7

点F.
(1)求∠BFD的度数；
(2)延长BE至M，使AM=AF，连接CM，求证:CM//AD.

(1)解:在△ABE 和△CAD 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAE=∠ACB=60°,\\AE=CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠ABF=∠CAD,
∴∠BFD =∠ABF+∠BAF
=∠BAC=60°.
(2)证明:由(1)知∠AFM=60°,
又
∵AM=AF,
∴△AFM 为等边三角形，
∴∠MAF=60°,
∴∠BAF=∠CAM,
在△ABF 和△ACM 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAF=∠CAM,\\AF=AM,\end{cases}$
∴△ABF≌△ACM(SAS),
∴∠AMC=∠AFB=120°,
∴∠CME=∠BFD=60°,
∴CM//AD.

【分析】
(1) 求∠BFD的度数时，首先结合本题对应等边三角形的知识背景，可知△ABC为等边三角形，可先利用SAS证明△ABE和△CAD全等，得到角的等量关系；再利用三角形外角的性质，将∠BFD转化为等边三角形的内角，即可求出度数。
(2) 证明CM//AD时，需通过角的等量关系推导同位角/内错角相等。首先由(1)的结论结合AM=AF，可判定△AFM为等边三角形，得到边和角的相等关系；再证明△ABF和△ACM全等，推导得到∠CME和∠AFM相等，利用平行线判定定理即可得证。
【解析】
(1) 已知△ABC为等边三角形，因此$AB=AC$，$∠ BAE=∠ ACB=∠ BAC=60°$。
在$△ ABE$ 和$△ CAD$ 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ ACB=60°,\\AE=CD,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore∠ ABF=∠ CAD$,
$\because∠ BFD$是$△ ABF$的外角，
$\therefore∠ BFD =∠ ABF+∠ BAF=∠ CAD+∠ BAF=∠ BAC=60°$。
(2) 证明:由(1)知$∠ BFD=60°$，因此$∠ AFM=∠ BFD=60°$,
$\because AM=AF$,
$\therefore△ AFM$ 为等边三角形，
$\therefore∠ MAF=60°$，$AF=AM$,
$\therefore∠ BAC=∠ MAF=60°$，即$∠ BAF+∠ FAC=∠ CAM+∠ FAC$,
$\therefore∠ BAF=∠ CAM$,
在$△ ABF$ 和$△ ACM$ 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAF=∠ CAM,\\AF=AM,\end{cases}$
$\therefore△ ABF≌△ ACM(\mathrm{SAS})$,
$\therefore∠ AMC=∠ AFB$,
$\because∠ AFB=180°-∠ BFD=180°-60°=120°$,
$\therefore∠ AMC=120°$,
$\therefore∠ CME=∠ AMC-∠ AMF=120°-60°=60°$,
$\therefore∠ CME=∠ AFM=60°$,
$\therefore CM// AD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $∠ BFD=60°$；(2) 证明成立，$CM// AD$。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，核心是通过全等三角形实现边、角的等量转化，解题时需要结合已知条件逐步推导，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

3.已知，$△ ABC$为等边三角形，点$E$在$AC$上，点$D$在$BC$的延长线上.
(1)如图，若$AE=CD$，求证：$BE=DE$； (2)如图，若$AE=CE$，点$F$在$AB$上，$∠ FED=120°$，求证：$BF+CD=CE$.

(1)证明:(1)过点 E 作 EM//BC 交 AB 于点 M，
∴△AEM 为等边三角形，
∴AE=EM=CD,
在△BEM和△EDC 中，
$\begin{cases}EM=CD,\\∠BME=∠ECD=120°,\\BM=CE,\end{cases}$
∴△BEM≌△EDC(SAS),
∴BE=DE.
(2)过点 E 作 EM//BC 交 AB 于点 M，
∴△AEM 为等边三角形，
∴AE=AM=CE,
∴∠MEF=∠CED,
在△EFM 和△EDC 中，
$\begin{cases}∠MEF=∠CED,\\EM=EC,\\∠EMF=∠ECD=120°,\end{cases}$
∴△EFM≌△EDC(ASA),
∴FM=CD,
∴BF+CD=BM=CE.

【分析】
(1)要证BE=DE，可通过证明两边所在三角形全等实现。已知△ABC为等边三角形，且AE=CD，可过E作EM//BC交AB于M，构造等边△AEM，得到相等的边与120°的等角，推导△BEM和△EDC全等的SAS条件，证完全等即可得到BE=DE。
(2)要证BF+CD=CE，需通过全等转化线段。同样过E作EM//BC交AB于M，构造等边△AEM，结合AE=CE得到EM=EC，再利用∠FED=120°推出对应角相等，用ASA证△EFM≌△EDC，得到FM=CD，将BF+CD转化为BM，再证明BM=CE即可得证。
【解析】
(1)证明：过点E作EM//BC交AB于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵EM//BC，
∴∠AME=∠ABC=60°，∠AEM=∠ACB=60°，
∴△AEM为等边三角形，
∴AE=EM=AM，
∵AE=CD，
∴EM=CD，
∵AB=AC，AM=AE，
∴AB-AM=AC-AE，即BM=CE，
∵∠BME=180°-∠AME=120°，∠ECD=180°-∠ACB=120°，
∴∠BME=∠ECD，
在△BEM和△EDC中：
$\begin{cases}EM=CD\\∠BME=∠ECD\\BM=CE\end{cases}$
∴△BEM≌△EDC(SAS)，
∴BE=DE。
(2)证明：过点E作EM//BC交AB于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵EM//BC，
∴∠AME=∠ABC=60°，∠AEM=∠ACB=60°，
∴△AEM为等边三角形，
∴AE=AM=EM，
∵AE=CE，
∴EM=CE，AM=CE，
∵∠EMF=180°-∠AME=120°，∠ECD=180°-∠ACB=120°，
∴∠EMF=∠ECD，
∵∠FED=120°，∠MEC=180°-∠AEM=120°，
∴∠MEC=∠FED，
∴∠MEC-∠FEC=∠FED-∠FEC，即∠MEF=∠CED，
在△EFM和△EDC中：
$\begin{cases}∠MEF=∠CED\\EM=EC\\∠EMF=∠ECD\end{cases}$
∴△EFM≌△EDC(ASA)，
∴FM=CD，
∵AB=AC=2CE，AM=CE，
∴BM=AB-AM=2CE-CE=CE，
∴BF+CD=BF+FM=BM=CE，即BF+CD=CE。
【答案】
(1)BE=DE，证明成立；
(2)BF+CD=CE，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何证明题，作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的核心突破口，既考查了线段相等的证明思路，也考查了线段和差问题的转化方法，需要熟练掌握全等判定定理和等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6