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【例1】甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做$x$个零件，下列方程正确的是（$\quad\quad$）
A.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{150}{x-8}$
B.$\dfrac{120}{x+8}=\dfrac{150}{x}$
C.$\dfrac{120}{x-8}=\dfrac{150}{x}$
D.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{150}{x+8}$
A.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{150}{x-8}$
B.$\dfrac{120}{x+8}=\dfrac{150}{x}$
C.$\dfrac{120}{x-8}=\dfrac{150}{x}$
D.$\dfrac{120}{x}=\dfrac{150}{x+8}$
答案
D
解析
【分析】
首先明确题目的核心等量关系：甲做120个零件的时间=乙做150个零件的时间。第一步先根据“甲每小时比乙少做8个”的效率关系，用设出的甲的效率$x$表示出乙的效率；第二步根据“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，分别表示出甲做120个、乙做150个零件的用时；最后根据时间相等的等量关系列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：设甲每小时做$x$个零件，
∵每小时甲比乙少做8个，
∴乙每小时做$(x+8)$个零件。
根据工作时间计算公式：工作时间=工作总量÷工作效率，可得：
甲做120个零件的用时为$\dfrac{120}{x}$，
乙做150个零件的用时为$\dfrac{150}{x+8}$，
已知两个用时相等，因此列方程：
$\dfrac{120}{x}=\dfrac{150}{x+8}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程实际应用、工程问题公式、列方程解应用题
【点评】
本题是工程类列方程的基础题型，解题关键是找准时间相等的等量关系，正确表示两个工作主体的效率，再结合工作时间公式列方程即可，是分式方程应用的常考基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的核心等量关系：甲做120个零件的时间=乙做150个零件的时间。第一步先根据“甲每小时比乙少做8个”的效率关系，用设出的甲的效率$x$表示出乙的效率；第二步根据“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，分别表示出甲做120个、乙做150个零件的用时；最后根据时间相等的等量关系列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：设甲每小时做$x$个零件，
∵每小时甲比乙少做8个，
∴乙每小时做$(x+8)$个零件。
根据工作时间计算公式：工作时间=工作总量÷工作效率，可得：
甲做120个零件的用时为$\dfrac{120}{x}$，
乙做150个零件的用时为$\dfrac{150}{x+8}$，
已知两个用时相等，因此列方程：
$\dfrac{120}{x}=\dfrac{150}{x+8}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程实际应用、工程问题公式、列方程解应用题
【点评】
本题是工程类列方程的基础题型，解题关键是找准时间相等的等量关系，正确表示两个工作主体的效率，再结合工作时间公式列方程即可，是分式方程应用的常考基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
练习.某公司计划购买 A,B 两种型号的机器人搬运材料,已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30 kg 材料,且 A 型机器人搬运 1000 kg 材料所用的时间与 B 型机器人搬运 800 kg 材料所用的时间相同,求 A,B 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料？
答案
解:设 B 型机器人每小时搬 $x$ kg 材料，
$\therefore \dfrac{1000}{x+30}=\dfrac{800}{x}$，
解得 $x=120$，
检验知 $x=120$ 是原方程的解，
$x+30=150$。
答:A 型机器人每小时搬运 150 kg 材料，B 型机器人每小时搬运 120 kg 材料。
$\therefore \dfrac{1000}{x+30}=\dfrac{800}{x}$，
解得 $x=120$，
检验知 $x=120$ 是原方程的解，
$x+30=150$。
答:A 型机器人每小时搬运 150 kg 材料，B 型机器人每小时搬运 120 kg 材料。
解析
【分析】
这是一道分式方程的工程类应用题，解题核心是找到题目中的等量关系：A型机器人搬运1000kg材料的时间=B型机器人搬运800kg材料的时间。首先回忆工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们可以先设B型机器人每小时搬运x kg材料，那么A型每小时搬运(x+30)kg，分别用工作总量除以效率表示出两者的工作时间，根据时间相等列方程求解即可，注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【解析】
解：设B型机器人每小时搬运$x$ kg材料，则A型机器人每小时搬运$(x+30)$kg材料。
根据题意列方程：$\dfrac{1000}{x+30}=\dfrac{800}{x}$
交叉相乘得：$1000x=800(x+30)$
展开得：$1000x=800x+24000$
移项合并同类项得：$200x=24000$
解得：$x=120$
检验：当$x=120$时，$x(x+30)=120×150≠0$，所以$x=120$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A型机器人每小时搬运量：$x+30=120+30=150$（kg）
答：A型机器人每小时搬运150 kg材料，B型机器人每小时搬运120 kg材料。
【答案】
A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料
【知识点】
分式方程应用、工程问题、分式方程求解
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题关键是抓住“时间相同”这一等量关系，结合工程问题公式列方程，求解后要注意检验分式方程的根是否符合题意，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的工程类应用题，解题核心是找到题目中的等量关系：A型机器人搬运1000kg材料的时间=B型机器人搬运800kg材料的时间。首先回忆工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们可以先设B型机器人每小时搬运x kg材料，那么A型每小时搬运(x+30)kg，分别用工作总量除以效率表示出两者的工作时间，根据时间相等列方程求解即可，注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【解析】
解：设B型机器人每小时搬运$x$ kg材料，则A型机器人每小时搬运$(x+30)$kg材料。
根据题意列方程：$\dfrac{1000}{x+30}=\dfrac{800}{x}$
交叉相乘得：$1000x=800(x+30)$
展开得：$1000x=800x+24000$
移项合并同类项得：$200x=24000$
解得：$x=120$
检验：当$x=120$时，$x(x+30)=120×150≠0$，所以$x=120$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A型机器人每小时搬运量：$x+30=120+30=150$（kg）
答：A型机器人每小时搬运150 kg材料，B型机器人每小时搬运120 kg材料。
【答案】
A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料
【知识点】
分式方程应用、工程问题、分式方程求解
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题关键是抓住“时间相同”这一等量关系，结合工程问题公式列方程，求解后要注意检验分式方程的根是否符合题意，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
【例2】两个工程队共同参加一项工程，甲队先单独施工1个月完成了总工程的$\frac{1}{6}$，这时增加乙队，两队共同工作2个月完成整个工程，求乙队单独施工需多少个月完成。
答案
解:设乙队单独施工需 $x$ 个 月完成.
则 $\dfrac{1}{6}+2(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{x})=1$，
解得 $x=4$，
经检验，当 $x=4$ 时，$6x≠0$，
$\therefore x=4$ 是原方程的解.
答:乙队单独施工需 4 个月完成.
则 $\dfrac{1}{6}+2(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{x})=1$，
解得 $x=4$，
经检验，当 $x=4$ 时，$6x≠0$，
$\therefore x=4$ 是原方程的解.
答:乙队单独施工需 4 个月完成.
解析
【分析】
解工程类应用题首先把总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工程的时间。第一步先确定已知量：甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{6}$，因此甲队的工作效率为$\frac{1}{6}$/月。第二步设未知数：设乙队单独施工需x个月完成，则乙队的工作效率为$\frac{1}{x}$/月。第三步找等量关系：总工程量=甲队单独施工1个月的工作量 + 甲乙两队合作2个月的工作量，其中合作工作量=合作工作效率×合作时间，代入对应量即可列出分式方程，求解后验根即可得到结果。
【解析】
解：设乙队单独施工需$x$个月完成。
根据总工程量为1，列方程得：
$\dfrac{1}{6}+2(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{x})=1$
解方程：
$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{x}=1$
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{x}=1$
$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{2}$
解得 $x=4$
检验：当 $x=4$ 时，$6x≠0$，因此$x=4$是原方程的解，且符合实际意义。
答：乙队单独施工需4个月完成。
【答案】
乙队单独施工需4个月完成。
【知识点】
工程问题；分式方程解法；分式方程验根
【点评】
本题是典型的工程类分式方程应用题，解题核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，准确找到等量关系列方程，同时需注意分式方程求解后必须检验根是否符合方程要求和实际意义，侧重考察基础应用题的分析和解题能力。
【难度系数】
0.7
解工程类应用题首先把总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工程的时间。第一步先确定已知量：甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{6}$，因此甲队的工作效率为$\frac{1}{6}$/月。第二步设未知数：设乙队单独施工需x个月完成，则乙队的工作效率为$\frac{1}{x}$/月。第三步找等量关系：总工程量=甲队单独施工1个月的工作量 + 甲乙两队合作2个月的工作量，其中合作工作量=合作工作效率×合作时间，代入对应量即可列出分式方程，求解后验根即可得到结果。
【解析】
解：设乙队单独施工需$x$个月完成。
根据总工程量为1，列方程得：
$\dfrac{1}{6}+2(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{x})=1$
解方程：
$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{x}=1$
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{x}=1$
$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{2}$
解得 $x=4$
检验：当 $x=4$ 时，$6x≠0$，因此$x=4$是原方程的解，且符合实际意义。
答：乙队单独施工需4个月完成。
【答案】
乙队单独施工需4个月完成。
【知识点】
工程问题；分式方程解法；分式方程验根
【点评】
本题是典型的工程类分式方程应用题，解题核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，准确找到等量关系列方程，同时需注意分式方程求解后必须检验根是否符合方程要求和实际意义，侧重考察基础应用题的分析和解题能力。
【难度系数】
0.7
练习.(教材P155练习T2变式)一项工程,甲单独做正好如期完成,乙单独做逾期3天完成.现在甲、乙合做2天,余下的由乙单独做,刚好按期完成,求甲、乙单独完成工程的天数.
答案
解:设甲单独完成工程需 $x$ 天，
则乙单独完成工程需 $(x+3)$ 天，
根据题意可得
$(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3})× 2+\dfrac{1}{x+3}· (x-2)=1$，
解得 $x=6$.
经检验，$x=6$ 是原方程的根.
答:甲单独完成工程需 6 天，乙单独完成工程需 9 天.
则乙单独完成工程需 $(x+3)$ 天，
根据题意可得
$(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3})× 2+\dfrac{1}{x+3}· (x-2)=1$，
解得 $x=6$.
经检验，$x=6$ 是原方程的根.
答:甲单独完成工程需 6 天，乙单独完成工程需 9 天.
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，牢记工作效率=总工作量÷工作时间的关系。首先设未知数：设甲单独完成需x天，因为甲单独做如期完成，乙单独做逾期3天，所以乙单独完成需(x+3)天，总工期就是x天。再找等量关系：甲乙合作2天的工作量 + 乙单独做剩余工期的工作量 = 总工作量1，其中剩余工期为总工期减去已合作的2天，即(x-2)天。根据等量关系列分式方程，求解后要检验解是否为原方程的根，同时是否符合实际意义。
【解析】
解：设甲单独完成工程需$x$天，则乙单独完成工程需$(x+3)$天，将总工作量记为单位“1”，则甲的工作效率为$\dfrac{1}{x}$，乙的工作效率为$\dfrac{1}{x+3}$。
根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3})× 2+\dfrac{1}{x+3}· (x-2)=1$
化简方程：
去括号得$\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{x-2}{x+3}=1$，合并得$\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{x+3}=1$
两边同乘$x(x+3)$去分母得：$2(x+3)+x^2=x(x+3)$
解得$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=54≠0$，所以$x=6$是原方程的根，且符合实际意义。
乙单独完成的天数为$x+3=6+3=9$（天）
答：甲单独完成工程需 6 天，乙单独完成工程需 9 天。
【答案】
甲单独完成工程需6天，乙单独完成工程需9天
【知识点】
1.分式方程的应用 2.工程问题 3.分式方程检验
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各部分工作量的构成找到等量关系，解题时注意分式方程必须检验解是否符合原方程和实际意义。
【难度系数】
0.6
这是工程类分式方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，牢记工作效率=总工作量÷工作时间的关系。首先设未知数：设甲单独完成需x天，因为甲单独做如期完成，乙单独做逾期3天，所以乙单独完成需(x+3)天，总工期就是x天。再找等量关系：甲乙合作2天的工作量 + 乙单独做剩余工期的工作量 = 总工作量1，其中剩余工期为总工期减去已合作的2天，即(x-2)天。根据等量关系列分式方程，求解后要检验解是否为原方程的根，同时是否符合实际意义。
【解析】
解：设甲单独完成工程需$x$天，则乙单独完成工程需$(x+3)$天，将总工作量记为单位“1”，则甲的工作效率为$\dfrac{1}{x}$，乙的工作效率为$\dfrac{1}{x+3}$。
根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3})× 2+\dfrac{1}{x+3}· (x-2)=1$
化简方程：
去括号得$\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{x-2}{x+3}=1$，合并得$\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{x+3}=1$
两边同乘$x(x+3)$去分母得：$2(x+3)+x^2=x(x+3)$
解得$x=6$
检验：当$x=6$时，$x(x+3)=54≠0$，所以$x=6$是原方程的根，且符合实际意义。
乙单独完成的天数为$x+3=6+3=9$（天）
答：甲单独完成工程需 6 天，乙单独完成工程需 9 天。
【答案】
甲单独完成工程需6天，乙单独完成工程需9天
【知识点】
1.分式方程的应用 2.工程问题 3.分式方程检验
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各部分工作量的构成找到等量关系，解题时注意分式方程必须检验解是否符合原方程和实际意义。
【难度系数】
0.6
