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1.关于$x$的方程$\frac{a}{x+1}=1$的解是负数，则$a$的取值范围为(
A.$a＜1$
B.$a＜1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=-3$
B
)A.$a＜1$
B.$a＜1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=-3$
答案
B
解析
【分析】
这是一道已知分式方程解的正负性求参数范围的题目，解题思路分为三步：第一步先解分式方程，用含a的代数式表示出x；第二步根据“解是负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；第三步注意分式方程的分母不能为0（否则为增根，不是原方程的有效解），排除不符合要求的a的取值，综合得到最终的取值范围。
【解析】
解：先求解分式方程$\frac{a}{x+1}=1$：
方程两边同时乘以最简公分母$x+1$（需满足$x+1≠0$，即$x≠-1$），得：
$a = x + 1$
移项可得：$x = a - 1$
∵ 原方程的解是负数
∴ $x ＜ 0$，即$a - 1 ＜ 0$，解得$a ＜ 1$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x≠-1$
∴ $a - 1 ≠ -1$，解得$a ≠ 0$
综上，a的取值范围是$a ＜ 1$且$a≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式有意义的条件 3.解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程的常考基础题型，解题的易错点是容易忽略分式方程的解要保证分母不为零的前提，漏掉$a≠0$的限制条件，从而误选A，做这类题时要记得最后检验增根情况。
【难度系数】
0.7
这是一道已知分式方程解的正负性求参数范围的题目，解题思路分为三步：第一步先解分式方程，用含a的代数式表示出x；第二步根据“解是负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；第三步注意分式方程的分母不能为0（否则为增根，不是原方程的有效解），排除不符合要求的a的取值，综合得到最终的取值范围。
【解析】
解：先求解分式方程$\frac{a}{x+1}=1$：
方程两边同时乘以最简公分母$x+1$（需满足$x+1≠0$，即$x≠-1$），得：
$a = x + 1$
移项可得：$x = a - 1$
∵ 原方程的解是负数
∴ $x ＜ 0$，即$a - 1 ＜ 0$，解得$a ＜ 1$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x≠-1$
∴ $a - 1 ≠ -1$，解得$a ≠ 0$
综上，a的取值范围是$a ＜ 1$且$a≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式有意义的条件 3.解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程的常考基础题型，解题的易错点是容易忽略分式方程的解要保证分母不为零的前提，漏掉$a≠0$的限制条件，从而误选A，做这类题时要记得最后检验增根情况。
【难度系数】
0.7
2.关于$x$的方程$\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{m}{x+1}+2$无解，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$-1$或$-5$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$-1$或$-5$
答案
C
解:去分母得$x=m+4$，$\therefore m=-5$。
解:去分母得$x=m+4$，$\therefore m=-5$。
解析
【分析】
解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两类情形：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即令原分式分母为0的未知数取值）。本题先确定原方程的增根，再将分式方程转化为整式方程，最后结合无解条件代入计算即可。
【解析】
原分式方程的分母为$x+1$，令$x+1=0$，得原方程的增根为$x=-1$。
给方程两边同时乘以$(x+1)$去分母（$x≠ -1$），得：
$3x-2 = m + 2(x+1)$
展开并整理等式：
$3x - 2 = m + 2x + 2$
移项合并同类项得：$x = m + 4$
由于原方程无解，因此整式方程的解为原方程的增根，即：
$m + 4 = -1$
解得：$m = -5$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解判定，解分式方程
【点评】
本题核心考查分式方程无解的条件，解题时需先区分无解的两类情况，本题中去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑增根的情况即可，做题时要注意先确定分式方程的增根，再代入计算参数。
【难度系数】
0.6
解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两类情形：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即令原分式分母为0的未知数取值）。本题先确定原方程的增根，再将分式方程转化为整式方程，最后结合无解条件代入计算即可。
【解析】
原分式方程的分母为$x+1$，令$x+1=0$，得原方程的增根为$x=-1$。
给方程两边同时乘以$(x+1)$去分母（$x≠ -1$），得：
$3x-2 = m + 2(x+1)$
展开并整理等式：
$3x - 2 = m + 2x + 2$
移项合并同类项得：$x = m + 4$
由于原方程无解，因此整式方程的解为原方程的增根，即：
$m + 4 = -1$
解得：$m = -5$
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解判定，解分式方程
【点评】
本题核心考查分式方程无解的条件，解题时需先区分无解的两类情况，本题中去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑增根的情况即可，做题时要注意先确定分式方程的增根，再代入计算参数。
【难度系数】
0.6
3.关于$x$的分式方程$\dfrac{2x - m}{x + 1}=3$的解是正数，则字母$m$的取值范围是
m＜-3
.答案
$m＜-3$
解:去分母得$x=-(m+3)$，
$-(m+3)＞0$，$m＜-3$，
又$\because x≠-1$，$m≠-2$，
$\therefore m＜-3$。
解:去分母得$x=-(m+3)$，
$-(m+3)＞0$，$m＜-3$，
又$\because x≠-1$，$m≠-2$，
$\therefore m＜-3$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是正数”的条件，列出关于m的不等式，求出m的初步范围；第三步，结合分式方程分母不能为0（否则方程无意义，此时的解是增根）的要求，排除使分母为0的m的取值，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$x+1$（注意$x+1≠0$），去分母得：
$2x - m = 3(x + 1)$
展开并整理整式方程：
$2x - m = 3x + 3$
移项得：$2x - 3x = m + 3$
合并同类项得：$-x = m + 3$
系数化为1得：$x = -(m + 3)$
因为方程的解是正数，所以$x ＞ 0$，即：
$-(m + 3) ＞ 0$
解得：$m ＜ -3$
又因为分式方程分母不为0，即$x + 1 ≠ 0$，$x ≠ -1$，代入$x = -(m + 3)$得：
$-(m + 3) ≠ -1$
解得：$m ≠ -2$
由于$m ＜ -3$的范围已经不包含$m = -2$，因此最终m的取值范围是$m ＜ -3$。
【答案】
$m＜-3$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的意义；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程中求参数取值范围的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，即使本题中增根对应的参数值不在初步求出的范围内，也需要养成检验增根的习惯，避免因漏考虑条件出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是正数”的条件，列出关于m的不等式，求出m的初步范围；第三步，结合分式方程分母不能为0（否则方程无意义，此时的解是增根）的要求，排除使分母为0的m的取值，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$x+1$（注意$x+1≠0$），去分母得：
$2x - m = 3(x + 1)$
展开并整理整式方程：
$2x - m = 3x + 3$
移项得：$2x - 3x = m + 3$
合并同类项得：$-x = m + 3$
系数化为1得：$x = -(m + 3)$
因为方程的解是正数，所以$x ＞ 0$，即：
$-(m + 3) ＞ 0$
解得：$m ＜ -3$
又因为分式方程分母不为0，即$x + 1 ≠ 0$，$x ≠ -1$，代入$x = -(m + 3)$得：
$-(m + 3) ≠ -1$
解得：$m ≠ -2$
由于$m ＜ -3$的范围已经不包含$m = -2$，因此最终m的取值范围是$m ＜ -3$。
【答案】
$m＜-3$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的意义；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程中求参数取值范围的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，即使本题中增根对应的参数值不在初步求出的范围内，也需要养成检验增根的习惯，避免因漏考虑条件出错。
【难度系数】
0.6
4.解方程：
(1)$\frac{3}{x^2 + 2x} - \frac{1}{x^2 - 2x} = 0$；
(2)$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 1} + 1 = \frac{2x}{x + 1}$；
(3)$\frac{x - 1}{x + 1} - 1 = \frac{2}{x^2 - 1}$；
(4)$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{$
$} = \frac{6}{x^2 - 1}$；
(5)$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{2}{(x - 1)(x + 2)}$；
(6)$\frac{2}{x + 1} - a = 1(a ≠ -1)$。
(1)$\frac{3}{x^2 + 2x} - \frac{1}{x^2 - 2x} = 0$；
(2)$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 1} + 1 = \frac{2x}{x + 1}$；
(3)$\frac{x - 1}{x + 1} - 1 = \frac{2}{x^2 - 1}$；
(4)$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{$
$} = \frac{6}{x^2 - 1}$；(5)$\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{2}{(x - 1)(x + 2)}$；
(6)$\frac{2}{x + 1} - a = 1(a ≠ -1)$。
答案
(1)去分母得
$3(x-2)-(x+2)=0$，
$\therefore x=4$，
经检验，$x=4$是原方程的解；
(2)去分母得
$x^2-4x+x^2-1=2x(x-1)$，
$\therefore -2x=1$，
$\therefore x=-\frac{1}{2}$，
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解；
(3)去分母得
$(x-1)^2-(x^2-1)=2$，
$x^2-2x+1-x^2+1=2$，
$\therefore x=0$，
经检验，$x=0$是原方程的解；
(4)去分母得
$2(x-1)+3(x+1)=6$，
$5x+1=6$，
$\therefore x=1$，
经检验，当$x=1$时，$x^2-1=0$，
$\therefore$原方程无解；
(5)去分母得
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=2$，
$x^2+2x-(x^2+x-2)=2$，
$\therefore x=0$，
经检验，$x=0$是原方程的解；
(6)去分母得
$2=(a+1)(x+1)$，
$\therefore (a+1)x=1-a$，
$\because a≠-1$，$\therefore x=\frac{1-a}{a+1}$，
经检验，当$x=\frac{1-a}{a+1}$时，
$x+1=\frac{1-a}{a+1}+1=\frac{2}{a+1}≠0$，
$\therefore x=\frac{1-a}{a+1}$是原方程的解。
$3(x-2)-(x+2)=0$，
$\therefore x=4$，
经检验，$x=4$是原方程的解；
(2)去分母得
$x^2-4x+x^2-1=2x(x-1)$，
$\therefore -2x=1$，
$\therefore x=-\frac{1}{2}$，
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解；
(3)去分母得
$(x-1)^2-(x^2-1)=2$，
$x^2-2x+1-x^2+1=2$，
$\therefore x=0$，
经检验，$x=0$是原方程的解；
(4)去分母得
$2(x-1)+3(x+1)=6$，
$5x+1=6$，
$\therefore x=1$，
经检验，当$x=1$时，$x^2-1=0$，
$\therefore$原方程无解；
(5)去分母得
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=2$，
$x^2+2x-(x^2+x-2)=2$，
$\therefore x=0$，
经检验，$x=0$是原方程的解；
(6)去分母得
$2=(a+1)(x+1)$，
$\therefore (a+1)x=1-a$，
$\because a≠-1$，$\therefore x=\frac{1-a}{a+1}$，
经检验，当$x=\frac{1-a}{a+1}$时，
$x+1=\frac{1-a}{a+1}+1=\frac{2}{a+1}≠0$，
$\therefore x=\frac{1-a}{a+1}$是原方程的解。
解析
【分析】
解这个分式方程首先要先确定各分母的最简公分母，观察到右侧分母$x^2-1$可以用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，因此最简公分母是$(x+1)(x-1)$。解题思路为：第一步去分母，将分式方程转化为整式方程；第二步解整式方程得到未知数的值；第三步检验，去分母的过程可能会产生让原分母为0的增根，因此必须检验所得根是否满足原方程分母不为0的要求，若为增根则原方程无解。
【解析】
解：要使原方程有意义，需满足分母不为0，即$x+1≠0$且$x-1≠0$，得$x≠-1$且$x≠1$。
方程两边同时乘以最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$2(x-1)+3(x+1)=6$
展开括号得：
$2x-2+3x+3=6$
合并同类项得：
$5x+1=6$
移项计算得：
$5x=5$，解得$x=1$
检验：将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)(1-1)=0$，因此$x=1$是增根，不满足原方程的要求。
所以原分式方程无解。
【答案】
原方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，平方差公式
【点评】
本题是分式方程求解的典型题型，重点考查解分式方程的完整步骤，其中检验根是否为增根是此类题目最容易遗漏的易错点，去分母时也要注意每一项都乘最简公分母，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.6
解这个分式方程首先要先确定各分母的最简公分母，观察到右侧分母$x^2-1$可以用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，因此最简公分母是$(x+1)(x-1)$。解题思路为：第一步去分母，将分式方程转化为整式方程；第二步解整式方程得到未知数的值；第三步检验，去分母的过程可能会产生让原分母为0的增根，因此必须检验所得根是否满足原方程分母不为0的要求，若为增根则原方程无解。
【解析】
解：要使原方程有意义，需满足分母不为0，即$x+1≠0$且$x-1≠0$，得$x≠-1$且$x≠1$。
方程两边同时乘以最简公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$2(x-1)+3(x+1)=6$
展开括号得：
$2x-2+3x+3=6$
合并同类项得：
$5x+1=6$
移项计算得：
$5x=5$，解得$x=1$
检验：将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)(1-1)=0$，因此$x=1$是增根，不满足原方程的要求。
所以原分式方程无解。
【答案】
原方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，平方差公式
【点评】
本题是分式方程求解的典型题型，重点考查解分式方程的完整步骤，其中检验根是否为增根是此类题目最容易遗漏的易错点，去分母时也要注意每一项都乘最简公分母，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.6
5.关于$x$的方程$\frac{mx}{x-2}=\frac{4}{x-2}+1$无解，则$m$的值为（
A.$m=1$
B.$m=2$
C.$m=1$或$m=2$
D.$m=0$
C
）A.$m=1$
B.$m=2$
C.$m=1$或$m=2$
D.$m=0$
答案
C
解:去分母得$(m-1)x=2$，
当$x=2$时，无解，$m=2$。
当$m=1$时，无解。
解:去分母得$(m-1)x=2$，
当$x=2$时，无解，$m=2$。
当$m=1$时，无解。
解析
【分析】
分式方程无解有两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论即可求出m的取值。
【解析】
解：原方程分母为$x-2$，可知方程的增根为$x=2$。
给方程两边同时乘$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$mx=4+(x-2)$
移项、合并同类项得：$(m-1)x=2$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$m-1=0$，解得$m=1$，此时方程变为$0=2$，不成立，整式方程无解，对应原分式方程也无解；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，把$x=2$代入$(m-1)x=2$得：
$2(m-1)=2$，解得$m=2$，此时$x=2$使原方程分母为0，是增根，原分式方程无解。
综上，$m$的值为1或2。
【答案】
C
【知识点】
分式方程无解的判定；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的基础典型题，核心考查分类讨论思想，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，全面分析才能得到完整答案。
【难度系数】
0.6
分式方程无解有两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论即可求出m的取值。
【解析】
解：原方程分母为$x-2$，可知方程的增根为$x=2$。
给方程两边同时乘$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$mx=4+(x-2)$
移项、合并同类项得：$(m-1)x=2$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$m-1=0$，解得$m=1$，此时方程变为$0=2$，不成立，整式方程无解，对应原分式方程也无解；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，把$x=2$代入$(m-1)x=2$得：
$2(m-1)=2$，解得$m=2$，此时$x=2$使原方程分母为0，是增根，原分式方程无解。
综上，$m$的值为1或2。
【答案】
C
【知识点】
分式方程无解的判定；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程无解类的基础典型题，核心考查分类讨论思想，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，全面分析才能得到完整答案。
【难度系数】
0.6
