【典例1】如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，AB=BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°，求证：EF=AE+CF.

证明:延长 DC 至M,
使 CM=AE,连接 BM,

在△ABE 和△CBM 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠A=∠BCM, \\ AE=CM, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBM(SAS),
∴∠MBC=∠ABE,
∴∠MBF=60°,
在△BMF 和△BEF 中,$\begin{cases} BM=BE, \\ ∠MBF=∠FBE, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△BMF≌△BEF(SAS),
∴FM=EF=AE+CF.

【分析】
要证明EF=AE+CF，属于线段和差类证明问题，常用截长补短法求解。结合题中AB=BC、∠A=∠C=90°的条件，选择“补短”的辅助线思路：延长DC至点M使CM=AE，先构造△ABE与△CBM全等，将AE转化为CM，再利用已知角度推导得∠MBF=∠EBF，进而证明△MBF与△BEF全等，将EF转化为FM，即可通过FM=CF+CM推导出待证结论。
【解析】
证明：延长DC至M，使CM=AE，连接BM，

在△ABE和△CBM中，$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠A=∠BCM=90°, \\ AE=CM, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBM(SAS)，
∴∠MBC=∠ABE，BE=BM，
∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=60°，
∴∠MBF=∠MBC+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，即∠MBF=∠EBF，
在△BMF和△BEF中，$\begin{cases} BM=BE, \\ ∠MBF=∠FBE, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△BMF≌△BEF(SAS)，
∴FM=EF，
又
∵FM=CM+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF。
【答案】
证明:延长 DC 至M,
使 CM=AE,连接 BM,

在△ABE 和△CBM 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠A=∠BCM, \\ AE=CM, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBM(SAS),
∴∠MBC=∠ABE,
∴∠MBF=60°,
在△BMF 和△BEF 中,$\begin{cases} BM=BE, \\ ∠MBF=∠FBE, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△BMF≌△BEF(SAS),
∴FM=EF=AE+CF.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，截长补短法，半角模型
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，解题核心是通过构造全等三角形实现线段的转化，熟练掌握全等三角形的判定方法和截长补短类辅助线的构造思路，可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6

变式.如图，$∠ A=∠ B=90°,CA=CB=4,∠ ACB=120°,∠ ECF=60°,AE=3,BF=2$,则五边形$ACBFE$的面积为.

解:补短法:延长 FB 至G 使 BG=AE,连接 CG,
证△CBG≌△CAE,△CEF≌△CGF,$S_{五边形ACBFE}=20$.

【分析】
本题是半角模型的几何计算问题，已知CA=CB、∠A=∠B=90°、∠ACB=120°、∠ECF=60°，符合半角模型“等线段、共顶点、含半角”的特征，解题思路如下：1. 采用补短法构造全等，延长FB至G使BG=AE，利用SAS证明△CAE≌△CBG，得到CE=CG、∠ACE=∠BCG，将分散的边AE转移到BG的位置；2. 结合已知角的度数推导得∠ECF=∠GCF=60°，再用SAS证明△CEF≌△CGF，即可将不规则五边形的面积转化为易计算的三角形面积之和。
【解析】
解：延长FB至G，使BG=AE，连接CG。
1. 证明△CBG≌△CAE：
∵ ∠A=∠CBG=90°，CA=CB，AE=BG，
∴ △CAE ≌ △CBG（SAS），
∴ CE=CG，∠ACE=∠BCG，$S_{△ CAE}=S_{△ CBG}$。
2. 推导∠ECF=∠GCF：
∵ ∠ACB=120°，∠ECF=60°，
∴ ∠ACE + ∠BCF = ∠ACB - ∠ECF = 120°-60°=60°，
∴ ∠BCG + ∠BCF = ∠GCF=60°，即∠ECF=∠GCF。
3. 证明△CEF≌△CGF：
∵ CE=CG，∠ECF=∠GCF，CF=CF，
∴ △CEF ≌ △CGF（SAS），
∴ $S_{△ CEF}=S_{△ CGF}$。
4. 计算五边形面积：
$S_{△ CAE}=\frac{1}{2} × AE × AC=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$，
$S_{△ CBF}=\frac{1}{2} × BF × CB=\frac{1}{2} × 2 × 4=4$，
∵ FG=BG+BF=AE+BF=3+2=5，且CB⊥FG（∠CBG=90°），
∴ $S_{△ CGF}=\frac{1}{2} × FG × CB=\frac{1}{2} × 5 × 4=10$，即$S_{△ CEF}=10$，
∴ $S_{五边形ACBFE}=S_{△ CAE}+S_{△ CEF}+S_{△ CBF}=6+10+4=20$。
【答案】
20

【知识点】
全等三角形的判定与性质，半角模型，割补法求面积
【点评】
本题是半角模型的典型应用，通过补短构造全等三角形，将分散的边角条件集中，把不规则五边形的面积转化为多个规则三角形的面积之和，解题的核心是熟练掌握半角模型的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.6

【典例2】如图，正方形ABCD，点E，F分别在直线CB，DC上，∠EAF＝45°，求证：EF＝DF－BE。

证明:(截长法)在 CD 上取 M 点,
使 DM=BE,连接 AM,
在△ADM 和△ABE 中,
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABE=90°, \\ DM=BE, \end{cases}$
∴△ADM≌△ABE(SAS),
∴∠DAM=∠EAB,
∴∠EAM=90°,AM=AE,
∴∠MAF=45°,
在△AEF 和△AMF 中,
$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠EAF=∠MAF=45°, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△AMF(SAS),
∴EF=FM=DF-BE.

【分析】
要证明EF=DF-BE这类线段差的等式，通常采用截长补短的辅助线思路，本题适合用截长法：在较长线段DF上截取一段等于BE，再证明剩余线段等于EF。结合正方形性质可得AD=AB、∠D=∠ABE=90°，先构造△ADM和△ABE全等，得到边和角的等量关系，再结合∠EAF=45°推出∠MAF=45°，进而证明△AEF和△AMF全等，即可得到EF=FM，最终推导出结论。
【解析】
证明：(截长法)在CD上取M点，使DM=BE，连接AM，
在△ADM和△ABE中：
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABE=90°, \\ DM=BE, \end{cases}$
∴△ADM≌△ABE(SAS)，
∴∠DAM=∠EAB，AM=AE，
∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAF=∠EAM-∠EAF=90°-45°=45°，
在△AEF和△AMF中：
$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠EAF=∠MAF=45°, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△AMF(SAS)，
∴EF=FM，
又
∵FM=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF－BE。
【答案】
证明:(截长法)在 CD 上取 M 点,
使 DM=BE,连接 AM,
在△ADM 和△ABE 中,
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABE=90°, \\ DM=BE, \end{cases}$
∴△ADM≌△ABE(SAS),
∴∠DAM=∠EAB,
∴∠EAM=90°,AM=AE,
∴∠MAF=45°,
在△AEF 和△AMF 中,
$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠EAF=∠MAF=45°, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△AMF(SAS),
∴EF=FM=DF-BE.

【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、截长补短法
【点评】
本题是半角模型的典型应用，通过截长补短构造全等三角形实现边角的转化，将待证的线段差关系转化为全等三角形的对应边等量关系，解题关键是正确构造辅助线，熟练运用正方形性质和全等判定定理。
【难度系数】
0.6