8. 如图，下列关于各组角的位置判断错误的是()

A.$∠ 1$与$∠ 4$是同旁内角
B.$∠ 3$与$∠ 4$是内错角
C.$∠ 5$与$∠ 6$是同旁内角
D.$∠ 2$与$∠ 5$是同位角

8.C

9. 现定义运算“☆”：对于任意有理数$a$与$b$，满足$a☆b = \begin{cases}2a - b(a ≥ b)， \\ - a + b(a ＜ b).\end{cases}$例如：$5☆3 = 2×5 - 3 = 7$，$- \dfrac{1}{2}☆1 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$.若有理数$x$满足$x☆5 = 11$，则$x$的值为 ______ .

9. - 6 或 8　解析:当$x ≥ 5$时，$2x - 5 = 11$，解得$x = 8$；当$x ＜ 5$时，$-x + 5 = 11$，解得$x = - 6$. 综上所述，$x$的值为 - 6 或 8.

当$x ≥ 5$时，$2x - 5 = 11$，解得$x = 8$；当$x ＜ 5$时，$-x + 5 = 11$，解得$x = -6$。$x$的值为$-6$或$8$。

10. 在数轴上，点$P$表示的数是$a$，点$P'$表示的数是$\dfrac{1}{1 - a}$，我们称点$P'$是点$P$的“相关点”.已知数轴上点$A_{1}$的“相关点”为$A_{2}$，点$A_{2}$的“相关点”为$A_{3}$，点$A_{3}$的“相关点”为$A_{4}······$这样依次得到点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$A_{4}$、$···$、$A_{n}$，若点$A_{1}$在数轴上表示的数是$- \dfrac{1}{2}$，则点$A_{2026}$在数轴上表示的数是.

10. -$\frac{1}{2}$　解析:
∵点$A_{1}$在数轴上表示的数是 -$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{2}{3}$，即点$A_{2}$在数轴上表示的数是$\frac{2}{3}$，依此类推，点$A_{3}$在数轴上表示的数是3，点$A_{4}$在数轴上表示的数是 -$\frac{1}{2}$，……由此可见，从点$A_{1}$开始，这列点在数轴上所表示的数按 -$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，3循环出现，
∵$2026 ÷ 3 = 675 ··· ··· 1$，
∴点$A_{2026}$在数轴上表示的数是 -$\frac{1}{2}$.

11. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.例如：$4 = 4×1 = 2^{2} - 0^{2}$，$12 = 4×3 = 4^{2} - 2^{2}$，$20 = 4×5 = 6^{2} - 4^{2}$，因此 4、12、20 都是“神秘数”.
（1）28 和 2028 这两个数是“神秘数”吗？请仿照例题进行说明.
（2）设两个连续偶数为$2n + 2$和$2n$（其中$n$取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是 4 的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（$n$取正数）是“神秘数”吗？为什么？

11.(1)28和2028是“神秘数”.理由如下:
∵$28 = 4 × 7 = 8^{2} - 6^{2}$，$2028 = 4 × 507 = 508^{2} - 506^{2}$，
∴28和2028这两个数是“神秘数”.　　(2)是.理由如下:
∵$(2n + 2)^{2} - (2n)^{2} = 4n^{2} + 8n + 4 - 4n^{2} = 4(2n + 1)$，
∴这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数.　　(3)不是.理由如下:由(2)可知,“神秘数”可表示为$4(2n + 1)$，$2n + 1$是奇数，因此“神秘数”是4的倍数，不是8的倍数.
∵$(2n + 3)^{2} - (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 12n + 9 - 4n^{2} - 4n - 1 = 4(2n + 2) = 8(n + 1)$，
∴两个连续奇数的平方差（$n$取正数）不是“神秘数”.

12. 如图，从$∠ AOB(90^{\circ} ＜ ∠ AOB ＜ 180^{\circ})$的顶点出发，在$∠ AOB$的内部作一条射线$OC$，将$∠ AOB$分成$∠ AOC$和$∠ BOC$两个角，若其中至少有一个角与$∠ AOB$互为补角，则称该射线$OC$为$∠ AOB$的“分补线”.
（1）若$∠ AOB = 140^{\circ}$，$∠ AOC = 100^{\circ}$，请判断此时$OC$是否为$∠ AOB$的“分补线”，并说明理由.
（2）若$OD$平分$∠ AOB$，$OC$为$∠ AOB$的“分补线”.
①当$OC$与$OD$重合时，求$∠ AOB$的度数；
②当$OD$为$∠ AOC$的“分补线”时，请画出图形并求出此时$∠ AOB$的度数.

12.(1)$OC$为$∠ AOB$的“分补线”.理由如下:
∵$∠ AOB = 140^{\circ}$，$∠ AOC = 100^{\circ}$，
∴$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 40^{\circ}$.
∵$∠ AOB + ∠ BOC = 140^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$，
∴$OC$为$∠ AOB$的“分补线”.　　(2)①
∵$OD$平分$∠ AOB$，
∴$∠ AOD = ∠ BOD = \frac{1}{2}∠ AOB$.
∵$OC$为$∠ AOB$的“分补线”，$OC$、$OD$重合，
∴$\frac{1}{2}∠ AOB + ∠ AOB = 180^{\circ}$，
∴$∠ AOB = 120^{\circ}$.　　②如图.设$∠ BOC = α$.
∵$OC$为$∠ AOB$的“分补线”，
∴$∠ AOB + ∠ BOC = 180^{\circ}$，
∴$∠ AOB = 180^{\circ} - α$.
∵$OD$平分$∠ AOB$，
∴$∠ AOD = ∠ BOD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - α) = 90^{\circ} - \frac{α}{2}$，
∴$∠ COD = ∠ AOC - ∠ AOD = 180^{\circ} - α - α - (90^{\circ} - \frac{α}{2}) = 90^{\circ} - \frac{3α}{2}$.
∵$OD$为$∠ AOC$的“分补线”，
∴有两种可能：$∠ AOD + ∠ AOC = 180^{\circ}$或$∠ COD + ∠ AOC = 180^{\circ}$.当$∠ AOD + ∠ AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ} - \frac{α}{2} + 180^{\circ} - α - α = 180^{\circ}$，解得$α = 36^{\circ}$，
∴$∠ AOB = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$；当$∠ COD + ∠ AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ} - \frac{3α}{2} + 180^{\circ} - α - α = 180^{\circ}$，解得$α = (\frac{180}{7})^{\circ}$，
∴$∠ AOB = 180^{\circ} - (\frac{180}{7})^{\circ} = (\frac{1080}{7})^{\circ}$. 综上所述，$∠ AOB$的度数为$144^{\circ}$或$(\frac{1080}{7})^{\circ}$.