一、选择题
1. 下列$y$关于$x$的函数中，属于一次函数的是（）

A.$y=2x^2 + 4$
B.$y=\frac{1}{x} + 2$
C.$y=-2x + 1$
D.$y=kx + b$

C

根据一次函数定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数是一次函数。A选项x的次数为2，是二次函数；B选项x在分母，不是一次函数；C选项符合一次函数定义；D选项未说明k≠0，不一定是一次函数。

2. 对于一次函数$y=-2x-3$，下列说法不正确的是（）

A.图象不经过第一象限
B.图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$
C.若点$(-1,y_1),(4,y_2)$在一次函数$y=-2x-3$的图象上，则$y_1＜y_2$
D.图象可由直线$y=-2x$向下平移3个单位长度得到

C

对于一次函数$y=-2x-3$，$k=-2＜0$，$b=-3＜0$，图像过二、三、四象限，不经过第一象限，A正确；当$x=0$时，$y=-3$，与y轴交点为$(0,-3)$，B正确；$k=-2＜0$，y随x增大而减小，因$-1＜4$，故$y_1＞ y_2$，C错误；直线$y=-2x$向下平移3个单位得$y=-2x-3$，D正确。

3. 在函数$y=\frac{\sqrt{x+1}}{x+3}$中，自变量$x$的取值范围为。

$x≥-1$

要使函数$y=\frac{\sqrt{x+1}}{x+3}$有意义，需满足：1. 二次根式的被开方数非负，即$x+1≥0$；2. 分式的分母不为0，即$x+3≠0$。解$x+1≥0$得$x≥-1$，解$x+3≠0$得$x≠-3$，结合两个条件，$x≥-1$已包含$x≠-3$，故自变量$x$的取值范围为$x≥-1$。

4. 已知$y=-3x^2 -x +9$，若该函数中的自变量为2，则函数值为。

$-5$

将自变量x=2代入函数$y=-3x^2 -x +9$中，计算得：
$y=-3×2^2 -2 +9=-3×4 -2 +9=-12 -2 +9=-5$

5. 如图，$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，其中$A(-4,0)$，$B(0,2)$，则直线$OC$的函数解析式为。

$ y = -\frac{2}{3}x $

过点$ C $作$ CD ⊥ x $轴于点$ D $，
∵$ ∠ BAC = 90° $，∴$ ∠ CAD + ∠ BAO = 90° $，
又∵$ ∠ CAD + ∠ ACD = 90° $，∴$ ∠ ACD = ∠ BAO $。
在$ △ ACD $和$ △ BAO $中：
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ AOB = 90° \\∠ ACD = ∠ BAO \\AC = AB\end{cases}$
∴$ △ ACD ≌ △ BAO $（AAS），
∴$ AD = OB = 2 $，$ CD = OA = 4 $。
已知$ A(-4,0) $，则点$ D $的坐标为$ (-6,0) $，点$ C $的坐标为$ (-6,4) $。
设直线$ OC $的函数解析式为$ y = kx $，将$ C(-6,4) $代入得：
$ 4 = -6k $，解得$ k = -\frac{2}{3} $。
故直线$ OC $的函数解析式为$ y = -\frac{2}{3}x $。

6. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象为直线 $ l $，且直线 $ l $ 经过点 $ (0,1) $，$ (-1,4) $。将此函数中的 $ k $ 与 $ b $ 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 $ l' $。
（1）求直线 $ l $ 的函数解析式；
（2）求直线 $ l $、直线 $ l' $ 及 $ y $ 轴围成三角形的面积；
（3）过 $ y $ 轴上一点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线分别与直线 $ l $，$ l' $ 交于两个不同的点 $ M $，$ N $，若 $ P $，$ M $，$ N $ 中有一点是另两点所成线段的中点，求点 $ P $ 的坐标。

（1）$y=-3x+1$；（2）$2$；（3）$(0,-5)$、$(0,-\frac{7}{5})$、$(0,-\frac{17}{7})$

（1）将点$(0,1)$、$(-1,4)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
当$x=0$时，$b=1$；当$x=-1$时，$-k +1=4$，解得$k=-3$。
故直线$l$的函数解析式为$y=-3x+1$。
（2）交换$k$与$b$，得直线$l'$的解析式为$y=x-3$。
直线$l$与$y$轴交点为$(0,1)$，直线$l'$与$y$轴交点为$(0,-3)$，两交点间距离为$|1 - (-3)|=4$；
联立$l$与$l'$的方程$\begin{cases}y=-3x+1\\y=x-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$，即两直线交点为$(1,-2)$，该点到$y$轴的距离为$1$。
因此，直线$l$、$l'$及$y$轴围成三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×1=2$。
（3）设点$P$的坐标为$(0,p)$，因过$P$作$x$轴平行线，故$M$、$N$的纵坐标均为$p$。
对于直线$l$，令$y=p$，得$p=-3x+1$，解得$x=\frac{1-p}{3}$，即$M(\frac{1-p}{3},p)$；
对于直线$l'$，令$y=p$，得$p=x-3$，解得$x=p+3$，即$N(p+3,p)$。
分三种情况讨论：
①若$P$是线段$MN$的中点，则$0=\frac{1}{2}(\frac{1-p}{3} + p+3)$，解得$p=-5$；
②若$M$是线段$PN$的中点，则$\frac{1-p}{3}=\frac{1}{2}(0 + p+3)$，解得$p=-\frac{7}{5}$；
③若$N$是线段$PM$的中点，则$p+3=\frac{1}{2}(0 + \frac{1-p}{3})$，解得$p=-\frac{17}{7}$。
故点$P$的坐标为$(0,-5)$、$(0,-\frac{7}{5})$、$(0,-\frac{17}{7})$。