1. 如图,在$□ ABCD$中,将$△ ADC$沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若$∠ B=60°$,AB=2,则$△ ADE$的周长为 ()

A.6
B.9
C.12
D.15

C

在平行四边形ABCD中，∠D=∠B=60°，AB=CD=2。由折叠性质得：△ADC≌△AEC，故CD=CE=2，AD=AE，∠D=∠E=60°。因此DE=CD+CE=4，又AD=AE，∠D=∠E=60°，所以△ADE是等边三角形，边长为4，周长为4×3=12。

2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，AD=3，则BD的长为（）

A.3
B.6
C.$3\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$

B

矩形对角线互相平分且相等，故OA=OD。又∠AOD=60°，所以△AOD是等边三角形，得OD=AD=3，因此BD=2OD=6。

3. 已知菱形的面积是24，一条对角线的长为8，则菱形的另一条对角线的长为。

6

根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。设另一条对角线的长为$x$，已知菱形面积为24，一条对角线长为8，代入公式得：$\frac{1}{2} × 8 × x = 24$，解方程得$4x = 24$，解得$x = 6$。

4. 有下列命题:① 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；② 一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③ 一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④ 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. 其中所有真命题的序号是.

①③

1. 分析命题①：根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故①是真命题。
2. 分析命题②：举反例，可构造一组对角相等、一组对边相等但非平行四边形的四边形，故②是假命题。
3. 分析命题③：设四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC。由AB//CD得∠OAB=∠OCD，结合∠AOB=∠COD、AO=OC，可证△AOB≌△COD（ASA），得AB=CD，又AB//CD，故四边形ABCD是平行四边形，③是真命题。
4. 分析命题④：举反例，可构造一组对边相等、一条对角线平分另一条对角线但非平行四边形的四边形，故④是假命题。

5. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边BC上，AF⊥AE交CD的延长线于点F，当BE=1时，四边形AECF的面积为。

9

因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，则∠ADF=90°。又AF⊥AE，所以∠EAF=90°，即∠BAE + ∠EAD = ∠DAF + ∠EAD = 90°，故∠BAE=∠DAF。在△ABE和△ADF中，$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠ADF=90°\\AB=AD\\∠BAE=∠DAF\end{array} $，所以△ABE≌△ADF（ASA），因此$S_{△ ABE}=S_{△ ADF}$。四边形AECF的面积 = $S_{△ ADF}+S_{四边形AECD}=S_{△ ABE}+S_{四边形AECD}=S_{正方形ABCD}$。正方形ABCD边长为3，面积为$3×3=9$，所以四边形AECF的面积为9。

6. 在四边形ABCD中，BD是AC的中垂线，DC//AB.
（1）如图①，求证：四边形ABCD是菱形.
（2）如图②，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△A'BE与△ABE关于直线BE对称，A'E交射线AC于点P，且BD=2，AC=4.
① 当A'E⊥AC时，求AE的长；
② 求AP的最小值.

（1）四边形ABCD是菱形，证明见上述解析；（2）①$5\sqrt{5}+10$；②1

（1）证明：∵BD是AC的中垂线，∴AB=BC，AD=DC，OA=OC，BD⊥AC，∵DC//AB，∴∠DCA=∠CAB，在△DOC和△BOA中，$\{\begin{array}{l}∠ DCA=∠ CAB\\ OC=OA\\ ∠ DOC=∠ BOA\end{array} $，∴△DOC≌△BOA（ASA），∴AB=DC，∴AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。（2）①∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=2，∴OA=2，OD=1，AD=$\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{5}$，∵△A'BE与△ABE关于BE对称，∴AE=A'E，∠A'EB=∠AEB，∵A'E⊥AC，AC⊥BD，∴A'E//BD，∴∠A'EB=∠EBD，∴∠AEB=∠EBD，即BE平分∠ABD，设AE=x，则DE=x-$\sqrt{5}$，由外角平分线定理：$\frac{DE}{AE}=\frac{BD}{AB}$，即$\frac{x-\sqrt{5}}{x}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得$x=5\sqrt{5}+10$；②当BE与AD垂直时，AP取得最小值，此时AP=1。