疑难点拨
下列关系式中,y是x的反比例函数的是 ()

A.$y=\frac{1}{x-2}$
B.$y=\frac{2}{x^{2}}$
C.$3xy=1$
D.$y=\frac{x}{3}$
点拨 本题主要考查了反比例函数的定义,一般地,形如$y=\frac{k}{x}(k≠0)$,其中k是常数的函数叫作反比例函数,据此逐一判断即可.

【疑难点拨】C

【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，等价形式也可写为$xy=k$（$k≠0$）。接下来逐一分析选项，判断每个选项是否符合上述定义：选项A的分母是$x-2$，不是单独的$x$；选项B的分母是$x²$，不是$x$；选项C可变形为$y=\frac{1}{3x}$，符合定义；选项D是正比例函数，不符合。
【解析】根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，逐一判断：
1. 选项A：$y=\frac{1}{x-2}$，分母为$x-2$，不是自变量$x$的一次项，不符合反比例函数定义，排除；
2. 选项B：$y=\frac{2}{x²}$，分母为$x²$，不是$x$，不符合反比例函数定义，排除；
3. 选项C：由$3xy=1$变形得$y=\frac{1}{3x}$，其中$k=\frac{1}{3}≠0$，符合反比例函数定义，正确；
4. 选项D：$y=\frac{x}{3}$是正比例函数（形如$y=ax$，$a=\frac{1}{3}$），不符合反比例函数定义，排除。
【答案】C
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的核心定义，易错点在于误将分母含常数项或$x$高次项的函数当作反比例函数，需准确把握“分母为$x$（一次项）且$k≠0$”的关键条件。
【难度系数】0.6

1. 下列函数:①$y=x-2$;②$y=\frac{3}{x}$;③$y=x^{-1}$;④$y=\frac{2}{x+1}$;⑤$xy=11$;⑥$y=\frac{k}{x}$;⑦$y=\frac{5}{x^{2}}$;⑧$y=\frac{x}{2}$$+1$;⑨$\frac{y}{x}=1$.其中y是x的反比例函数的有 ()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

1. D

【分析】
要判断y是否为x的反比例函数，需依据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）或$xy=k$（$k≠0$）的函数，且自变量x的次数为-1，分母仅含x（不含其他项），k为非零常数。接下来逐个分析每个函数是否符合该定义，统计符合的数量即可。
【解析】
根据反比例函数的定义逐一判断：
1. ①$y=x-2$：是一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
2. ②$y=\frac{3}{x}$：符合$y=\frac{k}{x}$（$k=3≠0$），是反比例函数；
3. ③$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$：符合$y=kx^{-1}$（$k=1≠0$），是反比例函数；
4. ④$y=\frac{2}{x+1}$：分母为$x+1$，不是仅含x，不符合，排除；
5. ⑤$xy=11$可转化为$y=\frac{11}{x}$，符合$xy=k$（$k=11≠0$），是反比例函数；
6. ⑥$y=\frac{k}{x}$：未说明$k≠0$，若$k=0$则不是，排除；
7. ⑦$y=\frac{5}{x^2}$：x的次数为-2，不符合反比例函数x的次数为-1的要求，排除；
8. ⑧$y=\frac{x}{2}+1$：是一次函数，排除；
9. ⑨$\frac{y}{x}=1$可转化为$y=x$，是正比例函数，排除。
综上，符合条件的函数有②、③、⑤，共3个，对应选项为D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的定义，核心是准确把握反比例函数的三种等价形式，注意k必须为非零常数，且自变量的次数为-1，分母仅含x，避免因忽略细节误判。
【难度系数】0.5

2. (2026山东青岛)下列选项中,所列举的两个变量之间的关系是反比例函数关系的为 ()

A.在斜边长为5的直角三角形中,两直角边长之间的关系
B.在等腰三角形中,顶角度数与底角度数之间的关系
C.圆的面积S与它的直径d之间的关系
D.在面积为$20\ \mathrm{cm^{2}}$的菱形中,一条对角线长$y(\mathrm{cm})$与另一条对角线长$x(\mathrm{cm})$之间的关系

2. D

【分析】
要判断两个变量是否为反比例函数关系，需先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），即两个变量的乘积为定值。接下来逐个分析选项中两个变量的关系，结合对应图形的性质推导表达式，再判断是否符合反比例函数形式。
【解析】
选项A：设两直角边长为$a$、$b$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = 5^2 =25$，是平方和关系，不符合反比例函数定义，排除；
选项B：设顶角度数为$y$，底角度数为$x$，由三角形内角和得$y + 2x =180$，即$y=180-2x$，是一次函数关系，排除；
选项C：圆的面积$S$与直径$d$，半径为$\frac{d}{2}$，则$S=π(\frac{d}{2})^2=\frac{π d^2}{4}$，是二次函数关系，排除；
选项D：菱形面积为对角线乘积的一半，已知面积为$20\ \mathrm{cm^2}$，则$\frac{1}{2}xy=20$，整理得$xy=40$，即$y=\frac{40}{x}$，符合反比例函数定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义、菱形的面积公式
【点评】
本题考查反比例函数的识别，需结合图形性质推导变量关系，难度较低，属于基础题型，学生只要掌握相关公式和函数定义即可正确解答。
【难度系数】
0.6

3. 在下列式子中,y是x的反比例函数的有哪些? 每一个反比例函数中,相应的k值是多少?
(1) $xy=-5$;
(2) $y=2-x$;
(3) $y=\frac{x}{3}$;
(4) $y=\frac{3}{-5x}$.

3. (1) 是反比例函数,$k=-5$. (2) 不是反比例函数.
(3) 不是反比例函数. (4) 是反比例函数,$k=-\frac{3}{5}$.

【分析】要判断y是否为x的反比例函数，需依据反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，k≠0）的函数，也可变形为$ xy=k $或$ y=kx^{-1} $的形式。接下来逐个分析每个式子：
1. 式子(1)：$ xy=-5 $可变形为$ y=\frac{-5}{x} $，符合反比例函数形式；
2. 式子(2)：$ y=2-x $是一次函数，不符合反比例函数形式；
3. 式子(3)：$ y=\frac{x}{3} $是正比例函数，属于一次函数，不符合反比例函数形式；
4. 式子(4)：$ y=\frac{3}{-5x} $化简后为$ y=\frac{-\frac{3}{5}}{x} $，符合反比例函数形式。
【解析】根据反比例函数的定义，逐一判断如下：
(1) 对$ xy=-5 $变形，得$ y=\frac{-5}{x} $，满足反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（k≠0）的形式，因此是反比例函数，其中k=-5；
(2) $ y=2-x $是一次函数，不满足反比例函数的形式，因此不是反比例函数；
(3) $ y=\frac{x}{3} $是正比例函数，形式为$ y=\frac{1}{3}x $，不符合反比例函数定义，因此不是反比例函数；
(4) 对$ y=\frac{3}{-5x} $化简，得$ y=\frac{-\frac{3}{5}}{x} $，满足反比例函数的形式，因此是反比例函数，其中k=-$\frac{3}{5}$。
【答案】3. (1) 是反比例函数，$k=-5$；(2) 不是反比例函数；(3) 不是反比例函数；(4) 是反比例函数，$k=-\frac{3}{5}$。
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题属于基础题，主要考查反比例函数的定义，需准确掌握反比例函数的表达式形式，区分其与正比例函数、一次函数的差异，判断时要注意k为常数且不为0，化简式子时要准确计算。
【难度系数】0.7

4. 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象一定经过的点是 ()

A.$(2,4)$
B.$(-1,6)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,3)$

4. D

【分析】要判断反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象经过的点，需利用反比例函数的性质：若点$(x,y)$在该函数图象上，则横纵坐标的乘积等于比例系数$k$（本题中$k=6$），即$xy=6$。只需计算各选项中横、纵坐标的乘积，结果为6的即为正确选项。
【解析】对于反比例函数$y=\frac{6}{x}$，其图象上任意一点$(x,y)$满足$xy=6$：
选项A：$2×4=8≠6$，不满足，排除；
选项B：$(-1)×6=-6≠6$，不满足，排除；
选项C：$(-2)×3=-6≠6$，不满足，排除；
选项D：$2×3=6$，满足条件，正确。
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是反比例函数的基础题型，核心考察反比例函数图象上点的坐标与比例系数的关系，解题思路清晰，计算简单，属于易得分题。
【难度系数】0.9