1. 黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域.例如,枫叶的叶脉蕴含着黄金分割.如图,枫叶的叶脉 AC 长为 14 cm,B 为线段 AC 上一点$(AB＞BC)$,且满足$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$,则称点 B 为线段 AC 的黄金分割点.若 BC 的长度为 x cm,则符合题意的方程为（）

A.$(14-x)^2=14x$
B.$x^2=14(14-x)$
C.$14^2=x(14-x)$
D.$14(1-x)^2=14-x$

1. A

【分析】
首先明确线段长度关系：已知AC总长14cm，设BC=x cm，则AB的长度为AC减去BC，即AB=(14 - x)cm。根据黄金分割点的定义，点B满足“较短线段与较长线段的比等于较长线段与全线段的比”，也就是$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$，将各线段长度代入该比例式，即可推导得到对应的方程。
【解析】
解：由题意得，AC=14 cm，BC=x cm，因此AB=AC - BC=(14 - x)cm。
因为点B为线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，根据黄金分割点的定义，可得：
$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$
将BC=x，AB=14 - x，AC=14代入上式，得：
$\frac{x}{14 - x}=\frac{14 - x}{14}$
交叉相乘后整理得：$(14 - x)^2 =14x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割、一元二次方程的应用
【点评】
本题考查黄金分割点的基本定义，解题关键是准确识别各线段的长度并代入比例式，属于基础概念类题目，难度较低。
【难度系数】
0.7

2. 已知线段 $AB=2$, 点 $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点, 且 $AC＞BC$, 则 $AC$ 的长是（）

A.$\sqrt{5}-1$
B.$3-\sqrt{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

2. A

【分析】首先明确黄金分割的定义：若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则较长线段AC与全长AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知AB=2，只需将AB乘以黄金比即可求出AC的长度，再对应选项选出答案。
【解析】根据黄金分割的定义，当点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC时，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知AB=2，代入得：$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】黄金分割的概念
【点评】本题考查黄金分割的基本应用，属于基础题型，关键是牢记黄金比的数值及较长线段与全长的关系，难度不大。
【难度系数】0.7

3. 如图,乐器上的一根弦 $AB=80\ \mathrm{cm}$,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为cm(结果保留根号).

3. $(80\sqrt{5}-160)$ 提示:因为C是靠近点B的黄金分割点，AB=80 cm，所以 $AC=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} AB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}×80\ \mathrm{cm}=(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$. 同理可求得 $BD=(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$. 所以 $CD=AC+BD-AB=[2×(40\sqrt{5}-40)-80]\mathrm{cm}=(80\sqrt{5}-160)\mathrm{cm}$.

【分析】首先明确黄金分割点的定义：若点C是线段AB靠近端点B的黄金分割点，则较长线段AC与AB的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；同理，点D是靠近端点A的黄金分割点，较长线段BD与AB的比值也为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。要求CD的长度，可利用线段和差关系：$AC + BD = AB + CD$，因此$CD = AC + BD - AB$，代入黄金分割比例即可计算。
【解析】已知$AB = 80\ \mathrm{cm}$，根据黄金分割点的性质：
1. 因为C是靠近点B的黄金分割点，所以较长线段$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 80 = (40\sqrt{5} - 40)\ \mathrm{cm}$；
2. 同理，D是靠近点A的黄金分割点，所以较长线段$BD = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB = (40\sqrt{5} - 40)\ \mathrm{cm}$；
3. 由线段和差关系，$CD = AC + BD - AB$，代入数值计算：
$CD = (40\sqrt{5} - 40) + (40\sqrt{5} - 40) - 80 = 80\sqrt{5} - 160\ (\mathrm{cm})$。
【答案】$(80\sqrt{5} - 160)$
【知识点】黄金分割，线段的和差计算
【点评】本题考查黄金分割的基本概念，核心是掌握黄金分割点对应的线段长度公式，以及利用线段和差关系求解未知线段，属于基础应用类题目，需准确理解黄金分割的比例关系。
【难度系数】0.5

4. 如图,某人在跳芭蕾舞时,踮起脚尖会显得下半身比上半身更修长.若以裙子腰节为分界点,身材比例正好符合黄金分割.已知从脚尖到头顶的高度为176 cm,那么裙子的腰节到脚尖的距离为cm(结果保留根号).

4. $(88\sqrt{5}-88)$

【分析】首先明确黄金分割的定义：将一条线段分为两部分，使较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中，整体身高为176cm，腰节到脚尖的距离是下半身（较大部分），上半身是较小部分，根据黄金分割的比例关系，设未知数列方程即可求解。
【解析】设裙子的腰节到脚尖的距离为$x \, \mathrm{cm}$，则上半身长度为$(176 - x) \, \mathrm{cm}$。根据黄金分割的定义，较大部分（下半身）与整体身高的比值等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此可列方程：
$\frac{x}{176} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
解方程：
两边同乘176得：$x = 176 × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 88(\sqrt{5} - 1) = 88\sqrt{5} - 88$
【答案】$88\sqrt{5} - 88$
【知识点】黄金分割
【点评】本题考查黄金分割的实际应用，核心是理解黄金分割的比例关系，准确判断出较大部分与整体的对应关系，通过列方程求解即可，难度适中。
【难度系数】0.5

5. 对许多画家、艺术家来说，“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理：如图，将正方形$ABCD$的边$BC$取中点$O$，以点$O$为圆心，线段$OD$为半径作圆，交$BC$的延长线于点$C'$，过点$C'$作$C'D' ⊥ AD$，交$AD$的延长线于点$D'$，这样就把正方形$ABCD$延伸为黄金矩形$ABC'D'$. 若$AB = 4$，则$CC'$的长为.

5. $2\sqrt{5}-2$ 提示:因为正方形ABCD延伸为黄金矩形$ABC'D'$,所以$\dfrac{AB}{BC'}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$. 因为$AB=4$,所以$BC'=2\sqrt{5}+2$. 因为四边形ABCD是正方形,所以$AB=BC=4$,所以$CC'=BC'-BC=2\sqrt{5}-2$.

【分析】
要计算CC'的长度，需先利用正方形性质和勾股定理求出圆的半径OC'，再结合OC的长度计算两者的差值。步骤如下：1. 根据正方形边长确定BC、CD的长度，结合O是BC中点得到OC的长度；2. 在直角三角形OCD中用勾股定理算出OD的长度，利用圆的半径相等得OC'=OD；3. 用OC'减去OC即可得到CC'的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴ BC=CD=AB=4，∠BCD=90°。
∵ O是BC的中点，
∴ OC = $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
OD = $\sqrt{OC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
∵ 以O为圆心，OD为半径作圆，
∴ OC' = OD = $2\sqrt{5}$。
∴ CC' = OC' - OC = $2\sqrt{5} - 2$。
【答案】
$2\sqrt{5} - 2$
【知识点】
正方形性质，勾股定理，圆的半径性质
【点评】
本题结合黄金分割构图的背景，综合考查正方形、勾股定理及圆的基本性质，解题关键是利用圆的半径相等转化线段长度，再通过勾股定理计算，难度适中。
【难度系数】
0.5

6.（1）如图1，已知直线$AB$.请用圆规和无刻度直尺，根据以下步骤完成作图(保留作图痕迹，不写作法)：①过点$B$作$AB$的垂线；②在$AB$的垂线上截取$BC=2AB$(点$C$在$AB$上方)；③连接$AC$；④以点$A$为圆心，$AB$长为半径作弧，交$AC$于点$D$；⑤以点$C$为圆心，$CD$长为半径作弧，交$CB$于点$E$.

（2）如图2，点$P$在线段$MN$上，且$PM＜PN$，若$PM:PN=PN:MN$，则称点$P$是线段$MN$的一个黄金分割点.在(1)的条件下，证明：点$E$是线段$BC$的一个黄金分割点.

6. (1)解:如图所示.

(2) 证明:设线段 $AD=AB=a$,则 $BC=2a$. 因为 $AB ⊥ BC$, 所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5}a$,所以 $CE=CD=AC-AD=\sqrt{5}a-a$,所以 $BE=BC-CE=2a-(\sqrt{5}a-a)=3a-\sqrt{5}a$, 所以 $\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{3a-\sqrt{5}a}{\sqrt{5}a-a}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}a-a}{2a}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,
所以 $\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{CE}{BC}$,所以点 $E$ 是线段 $BC$ 的一个黄金分割点.

【分析】本题分为两小问，第(1)问是尺规作图题，需严格按照题目给出的5个步骤，用圆规和无刻度直尺完成作图，保留所有作图痕迹；第(2)问是证明题，需先设AB的长度为参数，利用勾股定理求出AC的长度，再结合作图得到的线段关系，计算出CE、BE的长度，最后根据黄金分割点的定义验证比例关系，从而完成证明。
【解析】(1) 按照以下步骤用尺规作图：①过点B作AB的垂线（利用尺规作已知直线的垂线的方法，保留作图痕迹）；②在垂线上截取BC=2AB，使点C在AB上方；③连接AC；④以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AC于点D；⑤以点C为圆心，CD长为半径作弧，交CB于点E，所有作图痕迹保留，完成作图。
(2) 证明：设AB = a，则BC = 2a。因为AB⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC = √(AB² + BC²) = √(a² + (2a)²) = √5 a。
由作图可知，AD = AB = a，所以CD = AC - AD = √5 a - a。
又因为CE = CD，所以CE = √5 a - a。
则BE = BC - CE = 2a - (√5 a - a) = 3a - √5 a。
计算比例：
CE/BC = (√5 a - a)/(2a) = (√5 - 1)/2，
BE/CE = (3a - √5 a)/(√5 a - a) = [a(3 - √5)]/[a(√5 - 1)] = (3 - √5)/(√5 - 1)，
分子分母同乘(√5 + 1)化简：
(3 - √5)(√5 + 1)/[(√5)² - 1²] = (3√5 + 3 - 5 - √5)/(5 - 1) = (2√5 - 2)/4 = (√5 - 1)/2，
所以BE/CE = CE/BC = (√5 - 1)/2，符合黄金分割点的定义，故点E是线段BC的一个黄金分割点。
【答案】(1) 如图所示：；(2) 点E是线段BC的一个黄金分割点。
【知识点】黄金分割、勾股定理、尺规作图
【点评】本题将尺规作图与黄金分割的定义相结合，既考查了基本作图的方法，又考查了对黄金分割概念的理解和应用，需要学生熟练运用勾股定理计算线段长度，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.5