1. 某旅行社的收费标准如下:如果人数不超过20人,那么人均旅游费用为300元;如果人数超过20人,那么每增加1人,人均旅游费用降低5元,但人均旅游费用不得低于200元.某单位组织员工去景区旅游,共支付给旅行社旅游费用7 500元,则该单位这次去景区旅游的员工人数为 （）

A.30
B.50
C.30 或 50
D.40

1. A 提示:设共有 x 名员工去旅游。因为$300×20=6\ 000＜7\ 500$,所以人数超过 20。根据题意,得$[300-5(x-20)]x=7\ 500$。整理,得$x^2-80x+1\ 500=0$,解得$x_1=50$,$x_2=30$。当$x=50$时,$300-5(x-20)=150＜200$,不符合题意,舍去;当$x=30$时,$300-5(x-20)=250＞200$,符合题意。故员工人数为 30。

【分析】
要解决这个问题，首先需判断旅游人数是否超过20人：先计算20人时的总费用，与题目给出的7500元对比，确定人数范围；再设员工人数为x，根据“人数超20人时，每增1人，人均费用降5元”表示出此时的人均费用；接着依据“总费用=人均费用×人数”列一元二次方程；最后结合“人均费用不低于200元”的条件，舍去不符合实际的解，得到正确人数。
【解析】
解：设该单位这次去景区旅游的员工人数为x人。
因为20人的总费用为300×20=6000元，6000＜7500，所以x＞20。
根据题意，人均旅游费用为[300 - 5(x - 20)]元，可列方程：
[300 - 5(x - 20)]x = 7500
整理得：x² - 80x + 1500 = 0
因式分解得：(x - 30)(x - 50) = 0
解得：x₁=30，x₂=50。
检验解的合理性：
当x=50时，人均费用为300 - 5×(50 - 20)=150元，150＜200，不符合题意，舍去；
当x=30时，人均费用为300 - 5×(30 - 20)=250元，250＞200，符合题意。
故员工人数为30人。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用；实际问题的解的合理性
【点评】本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是先判断人数范围，正确表示人均费用，且必须结合题目限制条件对解进行检验，易错点是忽略人均费用的限制，误选两个解对应的选项。
【难度系数】0.5

2. 某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜,以3元/kg的价格出售,每天可售出 200 kg. 经调查发现,这种小型西瓜每降价 0.1 元/kg,每天可多售出 40 kg. 另外,每天的房租等固定成本共 24 元. 该经营户要想每天盈利 200 元,应将每千克小型西瓜的售价降低元.

2. 0.2 或 0.3

【分析】
要解决该问题，需利用利润的核心公式：总利润=（每千克售价-每千克进价）×销售量 - 固定成本。设每千克小型西瓜的售价降低$ x $元，先表示出降价后的每千克利润和销售量，再根据“每天盈利200元”的等量关系列出一元二次方程，求解后结合实际意义筛选符合条件的解。
【解析】
设应将每千克小型西瓜的售价降低$ x $元。
1. 降价后每千克利润：$ 3 - 2 - x = (1 - x) $元；
2. 降价后每天销售量：每降价0.1元多售40kg，故降价$ x $元多售$ \frac{x}{0.1} × 40 = 400x $kg，总销售量为$ (200 + 400x) $kg；
3. 根据总盈利200元列方程：
$(1 - x)(200 + 400x) - 24 = 200$
4. 化简方程：
$200 + 200x - 400x^2 - 24 = 200 \\400x^2 - 200x + 24 = 0 \\50x^2 - 25x + 3 = 0$
5. 用求根公式$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $（$ a=50, b=-25, c=3 $）求解：
$\Delta = (-25)^2 - 4 × 50 × 3 = 25 \x = \frac{25 \pm 5}{100}$
解得$ x_1 = 0.2 $，$ x_2 = 0.3 $；
6. 验证：两个解均为正数，且降价后售价高于进价，符合实际意义，均有效。
【答案】
0.2或0.3
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型利润问题，关键是理清售价、销售量、利润的数量关系，正确建立方程；需注意求解后结合实际意义筛选解，本题两个解均符合条件，需全部写出。
【难度系数】
0.6

3. 某商场将进货价为 45 元/件的某种服装以65 元/件的价格售出,平均每天可售 30 件.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查发现:若每件降价 1 元,则每天可多售 5 件.如果每天要盈利 800 元,那么每件应降价元.

3. 10 提示:设每件降价 x 元,则每件的销售利润为$(65-x-45)$元,每天可售出$(30+5x)$件。根据题意,得$(65-x-45)(30+5x)=800$,解得$x_1=4$,$x_2=10$。因为要尽快减少库存,所以$x=10$。

【分析】
本题是一元二次方程在利润问题中的应用，解题思路如下：首先设每件降价$x$元，分别表示出降价后的单件利润和每天的销售量；再根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列出方程；解方程得到两个解后，结合题目“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多，销量越大，越利于减少库存）。
【解析】
解：设每件应降价$x$元。
降价后每件的利润为：$(65 - x - 45) = (20 - x)$元；
降价后每天的销售量为：$(30 + 5x)$件；
根据总利润为800元，列方程：
$(20 - x)(30 + 5x) = 800$
展开并整理方程：
$600 + 100x - 30x - 5x^2 = 800$
$-5x^2 + 70x - 200 = 0$
两边同除以$-5$得：
$x^2 - 14x + 40 = 0$
因式分解得：$(x - 4)(x - 10) = 0$
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = 10$
因为要尽快减少库存，需选择降价幅度更大的解，故$x = 10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，核心是找准利润问题的等量关系，需注意题目隐含条件对解的限制，避免因忽略条件选错结果，属于初中数学常规考点，难度适中。
【难度系数】
0.5

4. (2024 常州市期中)某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到某游乐园观光旅游. 下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话.
领队:组团去游乐园旅游每人收费是多少?
导游:如果人数不超过 25 人,人均旅游费用为 100 元.
领队:超过 25 人怎样优惠呢?
导游:如果超过 25 人,每增加 1 人,人均旅游费用降低 2 元,但人均旅游费用不得低于 70 元.
该单位按旅行社的收费标准组团游玩该游乐园结束后,共支付给旅行社 2 700 元.
请你根据上述信息,求该单位这次到该游乐园观光旅游的共有多少人.

4. 解:设该单位这次参加旅游的共有 x 人。因为$100×25=2\ 500＜2\ 700$,所以$x＞25$。根据题意,得$[100-2(x-25)]x=2\ 700$。整理,得$x^2-75x+1\ 350=0$,解得$x_1=30$,$x_2=45$。当$x=30$时,$100-2(x-25)=90＞70$,符合题意,当$x=45$时,$100-2(x-25)=60＜70$,不符合题意,舍去。
答:该单位这次参加旅游的共有 30 人。

【分析】首先计算25人的总费用，与实际支付的2700元比较，判断旅游人数超过25人；接着设总人数为$x$人，根据“超过25人时每增加1人，人均费用降2元”，表示出此时的人均费用，再结合总费用列方程；解方程后，需根据“人均费用不低于70元”的条件检验解的合理性，舍去不符合实际的解，得到正确人数。
【解析】设该单位这次参加旅游的共有$x$人。
因为$100×25 = 2500 ＜ 2700$，所以$x ＞ 25$。
根据题意，人均旅游费用为$[100 - 2(x - 25)]$元，总费用为2700元，可列方程：
$[100 - 2(x - 25)]x = 2700$
整理方程：
$(150 - 2x)x = 2700 \x^2 - 75x + 1350 = 0$
解方程得：$x_1 = 30$，$x_2 = 45$。
检验解的合理性：
当$x = 30$时，人均费用为$100 - 2×(30 - 25) = 90$元，$90 ＞ 70$，符合题意；
当$x = 45$时，人均费用为$100 - 2×(45 - 25) = 60$元，$60 ＜ 70$，不符合题意，舍去。
【答案】30人
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题的解的检验
【点评】本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是先判断人数范围，再准确表示人均费用，解方程后必须结合题目限制条件舍去不符合实际的解，避免出错。
【难度系数】0.6

5.（2024 淄博市中考）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从 2021年的 32 万人增加到 2023 年的 50 万人.
(1) 求该市参加健身运动人数的年均增长率.
(2) 为支持市民的健身运动，市政府决定从A 公司购买某种套装健身器材. 该公司规定:若购买不超过 100 套,每套售价 1 600 元;若超过 100 套,每增加 10套,售价每套可降低 40 元,但最低售价每套不得少于 1 000 元.已知市政府向该公司支付货款 24 万元,求购买的这种健身器材的套数.

5. 解:(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为 x。由题意,得$32(1+x)^2=50$,解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不合题意,舍去)。
答:该市参加健身运动人数的年均增长率为 25%。
(2) 设购买的这种健身器材的套数为 m。由题意,得$m(1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40)=240\ 000$。整理,得$m^2-500m+60\ 000=0$,解得$m_1=200$,$m_2=300$。当$m=200$时,$1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40=1\ 200＞1\ 000$,符合题意;当$m=300$时,$1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40=800＜1\ 000$,不符合题意,舍去。
答:购买的这种健身器材的套数为 200。

【分析】
第(1)问是年均增长率问题，核心利用“初始量×(1+增长率)^年数=最终量”的关系，设年均增长率为$x$，2021年到2023年间隔2年，据此列方程求解，需舍去负的增长率解；第(2)问是销售类应用题，先判断购买套数是否超过100套（100套货款为16万，小于24万，故超过100套），再根据“单价=1600 - 40×(超出100套的数量÷10)”，结合总货款列方程，最后验证每套售价不低于1000元，舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$。
根据题意，得$32(1+x)^2 = 50$，
解方程：$(1+x)^2 = \frac{25}{16}$，
开方得$1+x = \pm\frac{5}{4}$，
因为增长率为正，舍去负解，故$1+x = \frac{5}{4}$，即$x = 0.25 = 25\%$。
(2) 设购买的健身器材套数为$m$。
先判断：若$m ≤ 100$，总货款最多为$100×1600 = 160000$元=16万，小于24万，故$m ＞ 100$。
此时每套售价为$1600 - \frac{m - 100}{10}×40$元，总货款为240000元，列方程：
$m(1600 - \frac{m - 100}{10}×40) = 240000$，
整理得：$m^2 - 500m + 60000 = 0$，
解得$m_1 = 200$，$m_2 = 300$。
验证售价：
当$m = 200$时，售价为$1600 - \frac{200 - 100}{10}×40 = 1200$元，$1200 ＞ 1000$，符合题意；
当$m = 300$时，售价为$1600 - \frac{300 - 100}{10}×40 = 800$元，$800 ＜ 1000$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2) 购买的这种健身器材的套数为200。
【知识点】
一元二次方程应用、增长率问题、销售问题
【点评】
本题为中考常见应用题，分增长率和销售两类问题，需掌握列一元二次方程解应用题的步骤，关键在于：增长率问题舍去负解，销售问题需先判断套数范围并验证售价限制，考查学生逻辑分析与实际应用能力，是中等难度的典型考题。
【难度系数】
0.5