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1. 某市举行中学生梦想杯才艺大赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校成绩的优秀率$y$与该校参赛人数$x$的情况，乙、丁两校对应的点在同一双曲线上，则四所学校中优秀人数最多的是（
A.甲校
B.乙校
C.丙校
D.丁校
C
）A.甲校
B.乙校
C.丙校
D.丁校
答案
1. C 提示:描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,设反比例函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}$,且令甲$(x_1,y_1)$、乙$(x_2,y_2)$、丙$(x_3,y_3)$、丁$(x_4,y_4)$,过甲点作 $y$ 轴平行线交反比例函数于点$(x_1,y_1')$,过丙点作 $y$ 轴平行线交反比例函数于点$(x_3,y_3')$,如图所示. 由图可知 $y_1'＞y_1$,$y_3'＜y_3$,所以点$(x_1,y_1')$、乙$(x_2,y_2)$、点$(x_3,y_3')$、丁$(x_4,y_4)$在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上,根据题意可知 $xy=$优秀人数,则:①$x_2y_2=k=x_4y_4$,即乙、丁两所学校优秀人数相同;②$x_1y_1＜x_1y_1'=k$,即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少;③$x_3y_3＞x_3y_3'=k$,即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多. 综上所述,甲学校优秀人数$＜$乙学校优秀人数$=$丁学校优秀人数$＜$丙学校优秀人数,所以在中学生梦想杯才艺大赛中成绩优秀人数最多的是丙校。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确优秀人数的计算方式：优秀人数 = 参赛人数$x$ × 优秀率$y$，记为$S=xy$。已知乙、丁两校对应的点在同一反比例函数图象上，根据反比例函数的性质，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k=xy$，因此乙、丁两校的优秀人数相等。接下来需要比较甲、丙两校与乙（丁）校的优秀人数，通过观察各点与该反比例函数的位置关系，判断它们对应的$xy$（即优秀人数）的大小，进而得出结论。
【解析】
1. 定义优秀人数：设参赛人数为$x$，优秀率为$y$，则优秀人数$S = x·y$。
2. 分析乙、丁两校：因为乙、丁在同一反比例函数图象上，设该反比例函数为$y = \frac{k}{x}$（$k≠0$），则乙校优秀人数$S_乙 = x_乙·y_乙 = k$，丁校优秀人数$S_丁 = x_丁·y_丁 = k$，因此$S_乙 = S_丁$，即乙、丁两校优秀人数相同。
3. 分析甲校：过甲校对应的点作$y$轴的平行线，交上述反比例函数图象于点$(x_甲, y')$，则$y' = \frac{k}{x_甲}$。从图象可知，甲校实际的优秀率$y_甲 ＜ y'$，因此$S_甲 = x_甲·y_甲 ＜ x_甲·y' = k$，即$S_甲 ＜ S_乙$，甲校优秀人数少于乙（丁）校。
4. 分析丙校：过丙校对应的点作$y$轴的平行线，交上述反比例函数图象于点$(x_丙, y'')$，则$y'' = \frac{k}{x_丙}$。从图象可知，丙校实际的优秀率$y_丙 ＞ y''$，因此$S_丙 = x_丙·y_丙 ＞ x_丙·y'' = k$，即$S_丙 ＞ S_乙$，丙校优秀人数多于乙（丁）校。
5. 综上，优秀人数的大小关系为：$S_甲 ＜ S_乙 = S_丁 ＜ S_丙$，因此优秀人数最多的是丙校。
【答案】
C![]()
【知识点】
反比例函数的应用，变量与函数
【点评】
本题将实际问题与反比例函数相结合，核心是理解反比例函数中$k$的几何意义（$k=xy$），通过图象位置关系比较各点对应的$k$值大小，进而判断优秀人数的多少，考查了数形结合能力和实际问题转化能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先明确优秀人数的计算方式：优秀人数 = 参赛人数$x$ × 优秀率$y$，记为$S=xy$。已知乙、丁两校对应的点在同一反比例函数图象上，根据反比例函数的性质，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k=xy$，因此乙、丁两校的优秀人数相等。接下来需要比较甲、丙两校与乙（丁）校的优秀人数，通过观察各点与该反比例函数的位置关系，判断它们对应的$xy$（即优秀人数）的大小，进而得出结论。
【解析】
1. 定义优秀人数：设参赛人数为$x$，优秀率为$y$，则优秀人数$S = x·y$。
2. 分析乙、丁两校：因为乙、丁在同一反比例函数图象上，设该反比例函数为$y = \frac{k}{x}$（$k≠0$），则乙校优秀人数$S_乙 = x_乙·y_乙 = k$，丁校优秀人数$S_丁 = x_丁·y_丁 = k$，因此$S_乙 = S_丁$，即乙、丁两校优秀人数相同。
3. 分析甲校：过甲校对应的点作$y$轴的平行线，交上述反比例函数图象于点$(x_甲, y')$，则$y' = \frac{k}{x_甲}$。从图象可知，甲校实际的优秀率$y_甲 ＜ y'$，因此$S_甲 = x_甲·y_甲 ＜ x_甲·y' = k$，即$S_甲 ＜ S_乙$，甲校优秀人数少于乙（丁）校。
4. 分析丙校：过丙校对应的点作$y$轴的平行线，交上述反比例函数图象于点$(x_丙, y'')$，则$y'' = \frac{k}{x_丙}$。从图象可知，丙校实际的优秀率$y_丙 ＞ y''$，因此$S_丙 = x_丙·y_丙 ＞ x_丙·y'' = k$，即$S_丙 ＞ S_乙$，丙校优秀人数多于乙（丁）校。
5. 综上，优秀人数的大小关系为：$S_甲 ＜ S_乙 = S_丁 ＜ S_丙$，因此优秀人数最多的是丙校。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，变量与函数
【点评】
本题将实际问题与反比例函数相结合，核心是理解反比例函数中$k$的几何意义（$k=xy$），通过图象位置关系比较各点对应的$k$值大小，进而判断优秀人数的多少，考查了数形结合能力和实际问题转化能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
2. 学校的自动饮水机,开机加热时水温每分钟上升$100\ °\mathrm{C}$,加热到$100\ °\mathrm{C}$,停止加热,水温开始下降,此时水温$y(°\mathrm{C})$与通电时间$x(\mathrm{min})$成反比例,当水温降至$20\ °\mathrm{C}$时,饮水机再自动加热,若水温在$20\ °\mathrm{C}$时接通电源,水温$y$与通电时间$x$之间的关系如图所示,则下列说法正确的是（
A.水温从$20\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$,需要$7\ \mathrm{min}$
B.水温下降过程中,$y$与$x$的函数表达式是$y=\dfrac{400}{x}$
C.水温从$100\ °\mathrm{C}$降至$20\ °\mathrm{C}$,所需时间为$40\ \mathrm{min}$
D.水温不低于$30\ °\mathrm{C}$的时间为$\dfrac{77}{3}\ \mathrm{min}$
D
）A.水温从$20\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$,需要$7\ \mathrm{min}$
B.水温下降过程中,$y$与$x$的函数表达式是$y=\dfrac{400}{x}$
C.水温从$100\ °\mathrm{C}$降至$20\ °\mathrm{C}$,所需时间为$40\ \mathrm{min}$
D.水温不低于$30\ °\mathrm{C}$的时间为$\dfrac{77}{3}\ \mathrm{min}$
答案
2. D 提示:开机加热时水温每分钟上升 $10\ ℃$,所以水温从 $20\ ℃$ 加热到 $100\ ℃$,需要 $8\ \mathrm{min}$,故选项 A错误;所以设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$,将点$(8,100)$代入,可得 $k=800$,所以水温下降过程中,$y$与$x$的函数表达式是 $y=\dfrac{800}{x}$,故选项 B 错误;将$y=20$代入 $y=\dfrac{800}{x}$,得 $20=\dfrac{800}{x}$,解得 $x=40$,所以$40-8=32(\min)$,所以水温从 $100\ ℃$ 降至 $20\ ℃$,所需时间为 $32\ \mathrm{min}$,故选项 C 错误;因为开机加热时水温每分钟上升 $10\ ℃$,所以水温从 $30\ ℃$ 加热到$100\ ℃$,需要 $7\ \mathrm{min}$,将 $y=30$ 代入 $y=\dfrac{800}{x}$,得 $30=\dfrac{800}{x}$,解得 $x=\dfrac{80}{3}$,所以水温不低于 $30\ ℃$ 的时间为$7+\dfrac{80}{3}-8=\dfrac{77}{3}$,故选项 D 正确.
解析
【分析】
要判断各选项的正确性，需分阶段分析水温变化：首先计算加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数表达式，最后分别验证各选项。步骤为：1. 计算水温从20℃加热到100℃的时间；2. 求降温阶段的反比例函数解析式；3. 计算水温从100℃降至20℃的时间；4. 计算水温不低于30℃的总时间，逐一核对选项。
【解析】
1. 加热阶段：开机加热时每分钟上升10℃，从20℃到100℃的温差为$100-20=80℃$，所需时间为$80÷10=8min$，故选项A错误。
2. 降温阶段：水温下降时$y$与$x$成反比例，设表达式为$y=\frac{k}{x}$，图像过点$(8,100)$，代入得$100=\frac{k}{8}$，解得$k=800$，因此降温阶段函数表达式为$y=\frac{800}{x}$，选项B错误。
3. 计算水温从100℃降至20℃的时间：将$y=20$代入$y=\frac{800}{x}$，得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，所以从100℃到20℃的时间为$40-8=32min$，选项C错误。
4. 计算水温不低于30℃的时间：加热阶段，从20℃到30℃需$(30-20)÷10=1min$；降温阶段，将$y=30$代入$y=\frac{800}{x}$，得$x=\frac{80}{3}$。因此水温不低于30℃的时间为$(8-1)+(\frac{80}{3}-8)=7+\frac{56}{3}=\frac{77}{3}min$，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用
【点评】
本题结合饮水机水温变化的实际情境，考查一次函数与反比例函数的综合应用，需分阶段分析函数关系，准确计算各阶段的时间，避免混淆函数表达式和时间节点。
【难度系数】
0.5
要判断各选项的正确性，需分阶段分析水温变化：首先计算加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数表达式，最后分别验证各选项。步骤为：1. 计算水温从20℃加热到100℃的时间；2. 求降温阶段的反比例函数解析式；3. 计算水温从100℃降至20℃的时间；4. 计算水温不低于30℃的总时间，逐一核对选项。
【解析】
1. 加热阶段：开机加热时每分钟上升10℃，从20℃到100℃的温差为$100-20=80℃$，所需时间为$80÷10=8min$，故选项A错误。
2. 降温阶段：水温下降时$y$与$x$成反比例，设表达式为$y=\frac{k}{x}$，图像过点$(8,100)$，代入得$100=\frac{k}{8}$，解得$k=800$，因此降温阶段函数表达式为$y=\frac{800}{x}$，选项B错误。
3. 计算水温从100℃降至20℃的时间：将$y=20$代入$y=\frac{800}{x}$，得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，所以从100℃到20℃的时间为$40-8=32min$，选项C错误。
4. 计算水温不低于30℃的时间：加热阶段，从20℃到30℃需$(30-20)÷10=1min$；降温阶段，将$y=30$代入$y=\frac{800}{x}$，得$x=\frac{80}{3}$。因此水温不低于30℃的时间为$(8-1)+(\frac{80}{3}-8)=7+\frac{56}{3}=\frac{77}{3}min$，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用
【点评】
本题结合饮水机水温变化的实际情境，考查一次函数与反比例函数的综合应用，需分阶段分析函数关系，准确计算各阶段的时间，避免混淆函数表达式和时间节点。
【难度系数】
0.5
3. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”.如图，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量 $y(\mathrm{mg})$ 与燃烧时间$x(\mathrm{min})$ 成正比例；燃尽后，$y$ 与 $x$ 成反比例. 若 $y＞1.6$, 则 $x$ 的取值范围是
$2＜x＜50$
.答案
3. $2＜x＜50$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先根据图像分两段确定函数类型：药物燃烧阶段（$0≤x≤10$）是正比例函数，燃尽后（$x＞10$）是反比例函数。先分别求出两个函数的解析式，再分阶段解不等式$y＞1.6$，最后合并结果得到$x$的取值范围。
【解析】
1. 求正比例函数解析式：
设药物燃烧阶段的函数解析式为$y = k_1x$（$k_1≠0$，$0≤x≤10$），将点$(10,8)$代入得：
$8 = 10k_1$，解得$k_1 = 0.8$，
因此正比例函数为$y = 0.8x$（$0≤x≤10$）。
2. 求反比例函数解析式：
设燃尽后函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x＞10$），将点$(10,8)$代入得：
$8 = \frac{k_2}{10}$，解得$k_2 = 80$，
因此反比例函数为$y = \frac{80}{x}$（$x＞10$）。
3. 解不等式$y＞1.6$：
当$0≤x≤10$时，代入$y=0.8x$，得$0.8x＞1.6$，解得$x＞2$，结合范围得$2＜x≤10$；
当$x＞10$时，代入$y=\frac{80}{x}$，得$\frac{80}{x}＞1.6$，解得$x＜50$，结合范围得$10＜x＜50$。
综上，$x$的取值范围是$2＜x＜50$。
【答案】
$2＜x＜50$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、不等式应用
【点评】
本题考查分段函数的实际应用，关键是分阶段确定函数解析式，再结合不等式求解，需注意自变量的取值范围，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先根据图像分两段确定函数类型：药物燃烧阶段（$0≤x≤10$）是正比例函数，燃尽后（$x＞10$）是反比例函数。先分别求出两个函数的解析式，再分阶段解不等式$y＞1.6$，最后合并结果得到$x$的取值范围。
【解析】
1. 求正比例函数解析式：
设药物燃烧阶段的函数解析式为$y = k_1x$（$k_1≠0$，$0≤x≤10$），将点$(10,8)$代入得：
$8 = 10k_1$，解得$k_1 = 0.8$，
因此正比例函数为$y = 0.8x$（$0≤x≤10$）。
2. 求反比例函数解析式：
设燃尽后函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x＞10$），将点$(10,8)$代入得：
$8 = \frac{k_2}{10}$，解得$k_2 = 80$，
因此反比例函数为$y = \frac{80}{x}$（$x＞10$）。
3. 解不等式$y＞1.6$：
当$0≤x≤10$时，代入$y=0.8x$，得$0.8x＞1.6$，解得$x＞2$，结合范围得$2＜x≤10$；
当$x＞10$时，代入$y=\frac{80}{x}$，得$\frac{80}{x}＞1.6$，解得$x＜50$，结合范围得$10＜x＜50$。
综上，$x$的取值范围是$2＜x＜50$。
【答案】
$2＜x＜50$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、不等式应用
【点评】
本题考查分段函数的实际应用，关键是分阶段确定函数解析式，再结合不等式求解，需注意自变量的取值范围，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】
0.5
4. 方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B地,行驶路程为 480 km,设小汽车的行驶时间为 $t\ \mathrm{h}$,行驶速度为 $v\ \mathrm{km/h}$,且全程速度限定为不超过 120 km/h.
(1) $v$ 关于 $t$ 的函数表达式为
(2) 方方 8:00 驾驶小汽车从 A 地出发.
①若方方需要在当天 $12:48∼14:00$(含 12:48 和 14:00)到达 B 地,则小汽车行驶速度 $v$ 的取值范围是
②方方
(1) $v$ 关于 $t$ 的函数表达式为
$v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$
.(2) 方方 8:00 驾驶小汽车从 A 地出发.
①若方方需要在当天 $12:48∼14:00$(含 12:48 和 14:00)到达 B 地,则小汽车行驶速度 $v$ 的取值范围是
$80≤ v≤100$
;②方方
不能
在当天 11:30 前到达B地(填“能”或“不能”).答案
4. (1) $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$
(2) ①$80≤ v≤100$
②不能 提示:8:00 至 11:30 的时间长为 $\dfrac{7}{2}\ \mathrm{h}$,将$t=\dfrac{7}{2}$代入 $v=\dfrac{480}{t}$,得 $v=\dfrac{960}{7}＞120$,超速了,故方方不能在当天 11:30 前到达 B 地.
(2) ①$80≤ v≤100$
②不能 提示:8:00 至 11:30 的时间长为 $\dfrac{7}{2}\ \mathrm{h}$,将$t=\dfrac{7}{2}$代入 $v=\dfrac{480}{t}$,得 $v=\dfrac{960}{7}＞120$,超速了,故方方不能在当天 11:30 前到达 B 地.
解析
【分析】
本题是反比例函数在行程问题中的应用，核心思路是利用“路程=速度×时间”推导速度与时间的关系，再结合速度限定条件确定变量范围。首先根据行程公式得出v与t的函数关系，再通过速度上限确定t的取值范围；对于到达时间的问题，需先计算对应行驶时间，代入函数求速度范围，最后判断是否符合限速要求。
【解析】
(1) 根据路程=速度×时间，得 $ vt = 480 $，变形得 $ v = \dfrac{480}{t} $。
因为全程速度不超过120 km/h，即 $ v ≤ 120 $，代入得 $ \dfrac{480}{t} ≤ 120 $，解不等式得 $ t ≥ 4 $。
因此v关于t的函数表达式为 $ v = \dfrac{480}{t} (t ≥ 4) $。
(2) ① 计算行驶时间范围：从8:00到12:48的时间为 $ 12时48分 - 8时 = 4.8 \, \mathrm{h} $，从8:00到14:00的时间为 $ 14时 - 8时 = 6 \, \mathrm{h} $，即 $ 4.8 ≤ t ≤ 6 $。
由于 $ v = \dfrac{480}{t} $ 随t增大而减小，当t=4.8时，$ v = \dfrac{480}{4.8} = 100 $；当t=6时，$ v = \dfrac{480}{6} = 80 $，故v的取值范围是 $ 80 ≤ v ≤ 100 $。
② 从8:00到11:30的行驶时间为 $ 11时30分 - 8时 = 3.5 \, \mathrm{h} = \dfrac{7}{2} \, \mathrm{h} $，代入 $ v = \dfrac{480}{t} $ 得 $ v = \dfrac{480}{\dfrac{7}{2}} = \dfrac{960}{7} \approx 137.14 \, \mathrm{km/h} $，该速度超过120 km/h的限定，因此不能在11:30前到达。
【答案】
(1) $ v = \dfrac{480}{t} (t ≥ 4) $；(2) ① $ 80 ≤ v ≤ 100 $；② 不能
【知识点】
反比例函数的应用，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查反比例函数的应用，关键是利用速度限定条件确定变量范围，需准确计算行驶时间并结合函数关系求解，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数在行程问题中的应用，核心思路是利用“路程=速度×时间”推导速度与时间的关系，再结合速度限定条件确定变量范围。首先根据行程公式得出v与t的函数关系，再通过速度上限确定t的取值范围；对于到达时间的问题，需先计算对应行驶时间，代入函数求速度范围，最后判断是否符合限速要求。
【解析】
(1) 根据路程=速度×时间，得 $ vt = 480 $，变形得 $ v = \dfrac{480}{t} $。
因为全程速度不超过120 km/h，即 $ v ≤ 120 $，代入得 $ \dfrac{480}{t} ≤ 120 $，解不等式得 $ t ≥ 4 $。
因此v关于t的函数表达式为 $ v = \dfrac{480}{t} (t ≥ 4) $。
(2) ① 计算行驶时间范围：从8:00到12:48的时间为 $ 12时48分 - 8时 = 4.8 \, \mathrm{h} $，从8:00到14:00的时间为 $ 14时 - 8时 = 6 \, \mathrm{h} $，即 $ 4.8 ≤ t ≤ 6 $。
由于 $ v = \dfrac{480}{t} $ 随t增大而减小，当t=4.8时，$ v = \dfrac{480}{4.8} = 100 $；当t=6时，$ v = \dfrac{480}{6} = 80 $，故v的取值范围是 $ 80 ≤ v ≤ 100 $。
② 从8:00到11:30的行驶时间为 $ 11时30分 - 8时 = 3.5 \, \mathrm{h} = \dfrac{7}{2} \, \mathrm{h} $，代入 $ v = \dfrac{480}{t} $ 得 $ v = \dfrac{480}{\dfrac{7}{2}} = \dfrac{960}{7} \approx 137.14 \, \mathrm{km/h} $，该速度超过120 km/h的限定，因此不能在11:30前到达。
【答案】
(1) $ v = \dfrac{480}{t} (t ≥ 4) $；(2) ① $ 80 ≤ v ≤ 100 $；② 不能
【知识点】
反比例函数的应用，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查反比例函数的应用，关键是利用速度限定条件确定变量范围，需准确计算行驶时间并结合函数关系求解，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.6
5. 探索机器狗的速度问题.
素材1:机器狗是一种仿生腿足式机器人,通过模仿犬类或其他四足动物的运动方式,实现灵活移动与复杂任务执行,已从实验室走向家庭、工业等多领域应用.已知某款机器狗的最快速度$v (\mathrm{m/s})$与总质量$m (\mathrm{kg})$(包括自身质量及所载物体的质量)的部分数据如下表.
素材2:机器狗自身质量为 60 kg,实验室距离试验点 600 m,机器狗需从试验点出发,送 30 kg 设备到实验室,卸下设备后马上原路返回.(装卸设备时间忽略不计)
(1) 根据学习经验,判断$v$是$m$的哪种函数类型,并求出该函数表达式.
(2) 请画出$v$与$m$的函数图象.
(3) 求机器狗所用的最短时间.
素材1:机器狗是一种仿生腿足式机器人,通过模仿犬类或其他四足动物的运动方式,实现灵活移动与复杂任务执行,已从实验室走向家庭、工业等多领域应用.已知某款机器狗的最快速度$v (\mathrm{m/s})$与总质量$m (\mathrm{kg})$(包括自身质量及所载物体的质量)的部分数据如下表.
素材2:机器狗自身质量为 60 kg,实验室距离试验点 600 m,机器狗需从试验点出发,送 30 kg 设备到实验室,卸下设备后马上原路返回.(装卸设备时间忽略不计)
(1) 根据学习经验,判断$v$是$m$的哪种函数类型,并求出该函数表达式.
(2) 请画出$v$与$m$的函数图象.
(3) 求机器狗所用的最短时间.
答案
5. 解:(1) 由表可知 $v$ 是 $m$ 的反比例函数,设$v=\dfrac{k}{m}$,将 $m=60$,$v=6$ 代入,得 $k=360$,所以该函数的表达式为 $v=\dfrac{360}{m}.$
(2) 画出函数图象如下：
(3) 当 $m=60+30=90$ 时,$v=4$,当 $m=60$时,$v=6$,所以 $t=\dfrac{600}{4}+\dfrac{600}{6}=150+100=250\ \mathrm{s}.$
答:机器狗完成任务所用的最短时间为250 s.
解析
【分析】
要解决该问题，首先观察表格中总质量$ m $与最快速度$ v $的乘积是否为定值，以此判断函数类型；接着用待定系数法求反比例函数表达式；画函数图象时注意反比例函数的定义域为正数；求最短时间时，需分别计算带设备去实验室和返回时的总质量，对应求出速度，再根据“时间=路程÷速度”计算两段时间之和，即为最短时间。
【解析】
(1) 观察表格数据：$50×7.2=360$，$60×6=360$，$80×4.5=360$，…，可知$v$与$m$的乘积为定值，因此$v$是$m$的反比例函数。设函数表达式为$v=\frac{k}{m}$，将$m=60$，$v=6$代入得：$6=\frac{k}{60}$，解得$k=360$，所以函数表达式为$v=\frac{360}{m}$（$m＞0$）。
(2) 该函数是反比例函数，图象为位于第一象限的分支，根据表格中的点（如$(60,6)$、$(120,3)$等）描点连线即可得到图象。
(3) 机器狗带设备去实验室时，总质量$m_1=60+30=90\ \mathrm{kg}$，代入函数得速度$v_1=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s}$，去程时间$t_1=\frac{600}{4}=150\ \mathrm{s}$；返回时总质量$m_2=60\ \mathrm{kg}$，速度$v_2=\frac{360}{60}=6\ \mathrm{m/s}$，返程时间$t_2=\frac{600}{6}=100\ \mathrm{s}$；总时间$t=t_1+t_2=150+100=250\ \mathrm{s}$。
【答案】
5. 解:(1) 由表可知 $ v $ 是 $ m $ 的反比例函数,设$v=\dfrac{k}{m}$,将 $ m=60$，$v=6 $ 代入,得 $ k=360 $,所以该函数的表达式为 $ v=\dfrac{360}{m}.$
(2) 画出函数图象如下：
(3) 当 $ m=60+30=90 $ 时,$v=4$,当 $ m=60$时,$v=6$,所以 $ t=\dfrac{600}{4}+\dfrac{600}{6}=150+100=250\ \mathrm{s}.$
答:机器狗完成任务所用的最短时间为250 s.
【知识点】
反比例函数、函数应用、路程速度时间关系
【点评】
本题结合机器狗的实际运动问题，考查反比例函数的判定、表达式求解及实际应用，关键在于通过数据特征判断函数类型，再利用函数关系解决行程问题，体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，首先观察表格中总质量$ m $与最快速度$ v $的乘积是否为定值，以此判断函数类型；接着用待定系数法求反比例函数表达式；画函数图象时注意反比例函数的定义域为正数；求最短时间时，需分别计算带设备去实验室和返回时的总质量，对应求出速度，再根据“时间=路程÷速度”计算两段时间之和，即为最短时间。
【解析】
(1) 观察表格数据：$50×7.2=360$，$60×6=360$，$80×4.5=360$，…，可知$v$与$m$的乘积为定值，因此$v$是$m$的反比例函数。设函数表达式为$v=\frac{k}{m}$，将$m=60$，$v=6$代入得：$6=\frac{k}{60}$，解得$k=360$，所以函数表达式为$v=\frac{360}{m}$（$m＞0$）。
(2) 该函数是反比例函数，图象为位于第一象限的分支，根据表格中的点（如$(60,6)$、$(120,3)$等）描点连线即可得到图象。
(3) 机器狗带设备去实验室时，总质量$m_1=60+30=90\ \mathrm{kg}$，代入函数得速度$v_1=\frac{360}{90}=4\ \mathrm{m/s}$，去程时间$t_1=\frac{600}{4}=150\ \mathrm{s}$；返回时总质量$m_2=60\ \mathrm{kg}$，速度$v_2=\frac{360}{60}=6\ \mathrm{m/s}$，返程时间$t_2=\frac{600}{6}=100\ \mathrm{s}$；总时间$t=t_1+t_2=150+100=250\ \mathrm{s}$。
【答案】
5. 解:(1) 由表可知 $ v $ 是 $ m $ 的反比例函数,设$v=\dfrac{k}{m}$,将 $ m=60$，$v=6 $ 代入,得 $ k=360 $,所以该函数的表达式为 $ v=\dfrac{360}{m}.$
(2) 画出函数图象如下：
(3) 当 $ m=60+30=90 $ 时,$v=4$,当 $ m=60$时,$v=6$,所以 $ t=\dfrac{600}{4}+\dfrac{600}{6}=150+100=250\ \mathrm{s}.$
答:机器狗完成任务所用的最短时间为250 s.
【知识点】
反比例函数、函数应用、路程速度时间关系
【点评】
本题结合机器狗的实际运动问题，考查反比例函数的判定、表达式求解及实际应用，关键在于通过数据特征判断函数类型，再利用函数关系解决行程问题，体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.5
