9. (2024·灌南县期中)小明同学用圆规和直尺按下面方法作$∠ AOB$的平分线:作法:①如图,以点$O$为圆心,任意长为半径画弧与$OA$,$OB$交于点$C$,$D$;②再以点$O$为圆心,任意长为半径画弧与$OA$,$OB$交于点$E$,$F$;③连接$CF$,$DE$交于点$P$,连接$OP$,则$OP$平分$∠ AOB$.老师说:小明同学这种作角平分线的方法是正确的,并且小明已证出$OP$平分$∠ AOB$,请你也作出证明吧.

9.证明:由作法得 $OC=OD,OE=OF$.
在$△ OCF$ 和$△ ODE$ 中,$\begin{cases} OC=OD, \\ ∠ COF=∠ DOE, \\ OF=OE, \end{cases}$
$\therefore △ OCF≌△ ODE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ OEP=∠ OFP$.
$\because OE=OF,OC=OD,\therefore CE=DF$.
又$\because ∠ CPE=∠ DPF,\therefore △ CPE≌△ DPF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore PE=PF,\therefore △ OPE≌△ OPF(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ POE=∠ POF,\therefore OP$ 平分$∠ AOB$.

10. (2024·连云港改编)如图,$AB$与$CD$相交于点$E$,$EC=ED$,$AC// BD$.
(1)求证:$△ AEC≌△ BED$;
(2)尺规作图:作线段$CD$的垂直平分线$MN$,交$AC$于点$M$,交$BD$于点$N$,连接$DM$,$CN$;
(3)求证:$CM=MD=DN=NC$.

10.(1)证明:$\because AC// BD,\therefore ∠ EAC=∠ EBD,∠ ACE=∠ BDE$.
又$\because EC=ED,\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{AAS})$.
(2)解:如答图,直线 $MN$ 即为所求作.

(3)证明:由作图知$∠ DEM = ∠ CEM = ∠ DEN =∠ CEN=90°$.
又$\because EC=ED,ME=ME,\therefore △ MED≌△ MEC(\mathrm{SAS})$,
$\therefore MD=MC$. 同理,$ND=NC$.
在$△ CEM$ 和$△ DEN$ 中,$\begin{cases} ∠ MCE=∠ NDE, \\ EC=ED, \\ ∠ CEM=∠ DEN, \end{cases}$
$\therefore △ CEM≌△ DEN(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CM=DN,\therefore CM=MD=DN=NC$.

模型积累
[模型]一线三直角

[条件]$AB=AC,∠ D=∠ BAC=∠ AEC=90°$
[结论]$△ ABD ≌ △ CAE$,图①中,$DE=BD+CE$,图②中,$DE=CE-BD$

证明：
图①推导：
∵ ∠D = ∠BAC = 90°
∴ ∠DBA + ∠BAD = 90°，∠BAD + ∠CAE = 90°
∴ ∠DBA = ∠CAE
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠AEC \\∠DBA = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）
∴ BD = AE，AD = CE
∵ DE = AD + AE
∴ DE = BD + CE
---
图②推导：
∵ ∠BAC = ∠AEC = 90°
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，∠ACE + ∠CAE = 90°
∴ ∠BAD = ∠ACE
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠AEC = 90° \\∠BAD = ∠ACE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）
∴ BD = AE，AD = CE
∵ DE = AD - AE
∴ DE = CE - BD
综上，结论$△ ABD ≌ △ CAE$，图①中$DE=BD+CE$，图②中$DE=CE-BD$得证。